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1.1.3 集合的基本运算(教案)


高 2015 级教案

必修 1

第一章

集合与函数概念

撰稿人:王海红

§1.1 §1.1.3
【教学目标】
l.知识与技能

集合

集合的基本运算

(1)理解两个集合的并集与交集的含义,

会求两个简单集合的交集与并集; (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; (3)能使用 Venn 图表达集合的运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。

2. 过程与方法
学生通过观察和类比,借助 Venn 图理解集合的基本运算。

3. 情感态度与价值观
(1)进一步树立数形结合的思想; (2)进一步体会类比的作用; (3)感受集合作为一种语言,在表示数学内容时的简洁和准确。

【教学重点】
交集与并集,全集与补集的概念。

【教学难点】
理解交集与并集的概念;符号之间的区别与联系。

【教学方法】
学生借助 Venn 图,通过观察、类比、思考、交流和讨论等,理解集合的基本运算。

【教学过程】
【导入新课】
思路:我们知道,实数有加法运算。类比实数的加法运算,集合是否也可以“相加”呢?请同学们考 察下列各个集合,你能说出集合 C 与集合 A, B 之间的关系吗? (1) A ? {1,3,5}, B ? {2, 4,6}, C ? {1, 2,3, 4,5,6}; (2) A ? {x | x是理数}, B ? {x | x是无理数}, C ? {x | x是实数} 引导学生通过观察、类比、思考和交流,得出结论。教师强调集合也有运算,这就是我们本节课所要 学习的内容。

【推进新课】
【新知探究】 【知识点 1】 1、并集的定义: 文字语言:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与集合 B 的并集。 记作: A ? B (读作: A 并 B ”。 “ ) 符号语言: A ? B ? x x ? A, 或x ? B 。 图形语言:
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必修 1

第一章

集合与函数概念

撰稿人:王海红

A

B

【说明】 (1) A ? B 仍是一个集合,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成。 (2) “或”的数学内涵:

A

B

A

B

A

B

A

B

(3)对于 A ? B ,不能认为是由 A 的所有元素和 B 的所有元素所组成的集合,因为 A 与 B 可能有公共元 素,公共元素只能算一次。 (4)求两个集合的并集,只需要把两个集合的元素放在一起作为一个集合的元素就可以了,注意它们的 公共元素在并集中只能出现一次。 【知识点 2】 2、并集的性质: (1) A ? B ? B ? A ; (2) A ? A ? A ; (3) A ? ? ? ? ? A ? A ; (4) A ? ? A ? B? , B ? ? A ? B ? ; (5) ? A ? B ? ? C ? A ? ? B ? C ? ; (6) A ? B ? A ? B ? B 。 【例 1】 (1)设 A ? ?4,5,6,8? , B ? ?3,5,7,8? ,求 A ? B 。

(2)设集合 A ? x ?1 ? x ? 2 ,集合 B ? x 1 ? x ? 3 ,求 A ? B 。

?

?

?

?

2 (3)若集合 A ? ?1, 4, x? , B ? 1, x , A ? B ? ?1, 4, x? ,则满足条件的实数 x 的个数是( ) 。

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?

A.1

B.2

C .3

D.4
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第一章

集合与函数概念

撰稿人:王海红

【变式 1】 (1)已知集合 A ? ? x ?

? ?

1 ? ? x ? 2? , B ? ? x ?1 ? x ? 2? ,求 A ? B 。 2 ?

2 2 (2)已知集合 M ? y y ? x ? 4 x ? 2, x ? R , N ? y y ? ? x ? 2 x ? 3, x ? R ,求 M ? N 。

?

?

?

?

(3)满足条件 M ? ?1? ? ?1, 2,3? 的集合 M 的个数是( )

A.1

B.2

C .3

D.4

【导入新课】
思路:请同学们考察下列各个集合,你能说出集合 C 与集合 A, B 之间的关系吗? (1) A ? {2, 4,6,8,10}, B ? {3,5,8,12}, C ? {8}; (2) A ? {x | x是新华中学2004年9月在校的女同学},

B ? {x | x是新华中学2004年9月在校的高一同学}, C ? {x | x是新华中学2004年9月在校的高一女同学}。
引导学生通过观察、类比、思考和交流,得出结论。教师强调集合也有运算,这就是我们本节课所要 学习的内容。 【知识点 3】 3、交集的定义: 文字语言:一般地,由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与集合 B 的交集。 记作: A ? B (读作: A 交 B ”。 “ ) 符号语言: A ? B ? x x ? A, 且x ? B 。 图形语言:
A B

?

?

【说明】 (1) A ? B 也是一个集合,是由集合 A 和 B 的所有公共元素组成的,而不是“部分”公共元素组 ...... .. 成的。例如, A ? ?a, b, c, d ?, B ? ?b, c, d , e? ,则 A ? B ? ?b, c, d? ,而不是 ?b, c? , ?b, d? , ?c, d? 等。 (2)交集定义中“所有”两字的含义: A ? B 中的任一元素都是 A 与 B 的公共元素; A 与 B 的所有公共 元素都属于 A ? B ;当集合 A 与 B 没有公共元素时,不能说 A 与 B 没有交集,而是 A ? B ? ? 。 (3)求两个集合的交集就是把属于两个集合的所有公共元素写在一起组成的另一个集合,这就是两集合 的交集。 【知识点 4】 4、交集的性质: (1) A ? B ? B ? A ; (2) A ? A ? A ; (3) A ? ? ? ? ? A ? ? ;
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第一章

集合与函数概念

撰稿人:王海红

(4) ? A ? B ? ? A, ? A ? B ? ? B ; (5) ? A ? B ? ? C ? A ? ? B ? C ? ; (6) A ? B ? A ? B ? A 。 【例 2】 (1)新华中学开运动会,设 A ? x x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学 ,

?

?

B ? x x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学 ,求 A ? B 。
(2)设平面内直线 l1 上点的集合为 L1 ,直线 l2 上点的集合为 L2 ,试用集合的运算表示 l1 , l2 的位置关系。 【变式 2】课本 P 11 练习 1、2、3

?

?

【例 3】 (1)已知集合 A ? x ?1 ? x ? 3 , B ? x ?2 ? x ? 1 ,求 A ? B, A ? B 。

?

?

?

?

(2)已知集合 A ? y y ? x ? 2 x ? 2, x ? R , B ? y y ? ? x ? 2 x, x ? R ,求 A ? B, A ? B 。
2 2

?

?

?

?

(3)已知集合 A ?

?? x, y ? y ? x
?

2

? 2 x ? 2, x ? R , B ?

?

?? x, y ? y ? ? x

2

? 2 x, x ? R ,求 A ? B,

?

A? B 。
2 (4)设集合 A ? ?4, 2a ? 1, a , B ? ?9, a ? 5,1 ? a? , 若 A ? B ? ?9? ,求实数 a 的值。

?

【变式 3】 (1)若 A ? ?0,1, 2,3?, B ? x x ? 3 a, a ? A ,则 A ? B ? (2)设集合 A ? x ?1 ? x ? 2 , B ? x 0 ? x ? 4 ,则 A ? B ?

?

?

。 。

?

?

?

?

2 (3)设集合 A ? ?4, 2a ? 1, a , B ? ?9, a ? 5,1 ? a? , 若 9 ? A ? B ,求实数 a 的值。

?

?

【导入新课】
思路:在研究问题时,我们经常需要确定研究对象的范围。例如,从小学到初中,数的研究范围逐步 地由自然数到正分数,再到有理数,引进无理数后,数的研究范围扩充到实数。在高中阶段,数的研究范 围将进一步扩充。
2 在不同范围研究同一个问题,可能有不同的结果。例如方程 ? x ? 2 ? x ? 3 ? 0 的解集,在有理数范

?

?

围内只有一个解 2 ,即 x ? Q ? x ? 2 ? x ? 3 ? 0 ? ?2? ;在实数范围内有三个解: 2, 3, ? 3 ,即:
2

?

?

?

?

?x ? R ? x ? 2? ? x ? 3? ? 0? ? ?2,
2

3, ? 3 。在研究集合问题时,也会遇到同样的问题,在不同的研究范

?

围内研究同样的问题,可能会出现不同的结果。所以,我们以后研究集合时,首先要先确定一个研究范围, 我们把这个研究范围就称为“全集” 。 【知识点 5】 5、补集: (1)全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么我们称这个集合为全 . 集,通常记作 U 。 .
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第一章

集合与函数概念

撰稿人:王海红

(2)补集的定义: 文字语言:对于全集 U 的一个子集 A ,由全集 U 中所有不属于集合 A 的元素组成的集合,称为集合 A 相 对于全集 U 的补集,简称为 A 的补集,记作: ? A 。 U 符号语言: ? A ? x x ? U , 且x ? A, A ? U 。 U 图形语言:
U

?

?

A

【说明】 (1)全集只是一个相对的概念,只包含所研究问题中所涉及的所有元素,补集只相对于相应的全 集而言。如我们在整数范围内研究问题,则 Z 为全集,而当问题扩展到实数集时,则 R 为全集。 (2)同一个集合在不同的全集中补集不同;不同的集合在同一个全集中的补集也不同。即补集的概念具 有某种相对性。 (3)符号 ? A 包含三层意思:① A ? U ;② ? A 表示一个集合,且 ? A ? A ;③ ? A 是 U 中不属于 A U U U U 的所有元素组成的集合。 (4)求一个集合在全集中的补集就是将全集中所有不属于该集合的元素写在一起组成的另一个集合,这 就是已知集合在全集中的补集。 【知识点 6】 6、补集的性质: (1) ? A ? A ; (2) ? U ? ? ; ? ? ? U ; (3) 痧 U U U U (5) A ? B ? 痧A ? U
U

?

?

?

?

?

U

(4) A ? ?痧A? ? U ; A ? ? U A? ? ? ; A? ? A ; U

B ? A ? 痧B ? ? ? B ? U

U

A ?U 。
U

【引例】已知全集 U ? ?1,2,3,4,5,6,7?, A ? ?2,4,5?, B ? ?1,3,5,7? ,求 A ? B, A ? B, 痧A, U

B,

痧? A ? B? , U
【知识点 7】 7、德摩根定律:

U

? A ? B? , ?痧A? ? ? U B? , ?痧A? ? ? U B? 。 U U

痧? A ? B? ? ? U A? ? ?痧 ? , U UB

U

? A ? B? ? ?痧A? ? ? U B? U

【例 4】 (1)设 U ? x x是小于9的正整数 ,A= ?1, 2,3? , B ? ?3, 4,5, 6? ,求 痧A, U (2)已知集合 A ? ?1,3,5,7,9? , B ? ?0,3,6,9,12? ,则 A ? ?N B =

?

?

U

B。


?

?

【变式 4】 设全集 U ? x x是三角形 , A= x x是锐角三角形 , B = x x是钝角三角形 , A ? B, (1) 求

?

?

?

?

?

?

?痧A? ? ?
U

U B? 。

U A B

(2)右图中阴影部分表示的集合是
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第一章

集合与函数概念

撰稿人:王海红

(3) 已知全集 U ? A ? B 中有 m 个元素, 痧A ? U 中有 个元素。

?

? ?
?

U

且 则 B ? 中有 n 个元素, A ? B ? ? , A ? B

2 【例 5】 (1)设全集 U ? 2,3, a ? 2a ? 3 , A ? 2a ? 1 , 2 , ? A ? ?5? ,求实数 a 的值。 U

?

?

?

(2)已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? , A ? x x ? px ? 4 ? 0 ,求 ? A 。 U
2

?

?

2 【变式 5】已知全集 U ? 2,3, a ? 2a ? 3 , A ? ?b, 2? , ? A ? ?5? ,求实数 a , b 的值。 U

?

?

【知识点 8】 8、若有限集中元素的个数: 若用 card ? A? 表示集合 A 的元素个数,则: (1) card ? A ? B? ? card ? A? ? card ? B? ? card ? A ? B? 。 (2) card ? A ? B ? C ? ? card ? A? ? card ? B ? ? card ?C ? ? card ? A ? B ? ? card ? A ? C ?

? card ? B ? C ? ? card ? A ? B ? C ? 。
【例 6】已知 50 名同学参加跳远和铅球两项测验,及格人数分别为 40 人、31 人,两项均不及格的有 4 人, 那么两项都及格的为 人。 【变式 6】某班学生共 45 人,一次考试后,数学 30 人得优,语文 25 人得优,则这两门都得优的人数最多 为 人,最少为 人。 【应用示例】 【例 1】 (1)设集合 A ? x ?1 ? x ? a , B ? x 1 ? x ? 3 ,且 A ? B ? x ?1 ? x ? 3 ,求实数 a 的取值 范围。

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(2)已知集合 A ? x ?2 ? x ? 4 , B ? x x ? m ,且 A ? B ? A ,求实数 m 的取值范围。

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2 2 (3)设集合 A ? x x ? 3x ? 2 ? 0 , B ? x x ? 4 x ? a ? 0 ,若 A ? B ?B ,求实数的取值范围。

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(4)已知集合 A ? x ?1 ? x ? 4 , B ? x a ? x ? 2a ? 2 ,且 A ? ?R B ,求实数 a 的取值的 集合。 【变式 1】 (1)已知集合 A ? x ax ? 2 ? 0 , B ? x x ? 3x ? 2 ? 0 ,且 A ? B ? B ,求实数 a 的值组成
2

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第一章

集合与函数概念

撰稿人:王海红

的集合 C

(2)设集合 A ? x ?3 ? x ? 7 , B ? x 2m ? 1 ? x ? 2m ? 1 ,若 A ? B ? A ,求实数 m 的取值 范围。

?

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?

(3)设集合 A ? x x ? 4 x ? 0 , B ? x x ? 2 ? a ? 1? x ? a ? 1 ? 0 ,若 A ? ?R B ? R ,求实
2 2 2

?

?

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?

?

?

数 a 的值。

【例 2】已知 A ? x 2a ? x ? a ? 3 , B ? x x ? ? 1, 或x ? 5 ,若 A ? B ? ? ,求 a 的取值范围。

?

?

?

?

【总结】若 A ? B ? ? ,则集合 A, B 可能的情况有: (1) A, B 均为空集; (2) A, B 中只有一个空集; (3) A, B 非空但无公共元素。
2 【变式 2】已知 A ? x ? R x ? 2 x ? p ? 0 ,且 A ? x ? R x ? 0 ? ? ,求 p 的取值范围。

?

?

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?

【例 3】 已知集合 A ? x x ? ax ? a ? 19 ? 0 , B ? x x ? 5 x ? 6 ? 0 , 是否存在实数 a , 使得集合 A, B
2 2 2

?

?

?

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能同时满足以下三个条件:① A ? ? ;② A ? B ? B ;③ A ? B ?若存在,求出这样的实数 a ; 若不存在,请说明理由。

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集合与函数概念

撰稿人:王海红

【知能训练】 1、课本习题 1.1A 组 6、7、8、9、10; 2、点金训练 1.1.3 集合的基本运算 点金测评 创新训练。

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