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高三数学(2012年高三二模汇编——三角函数)


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精锐教育学科教师辅导讲义
学员编号: 学员姓名: 课 题 年 级: 辅导科目: 2012 年高三二模汇编——三角函数 教学内容 一、填空题 (2012 奉贤区二模 9)(文)在△ ABC 中, sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C ,则 ? A ?
2 2 2

/>课时数:3 学科教师:



【正确答案】

? 3
? ?

(2012 奉贤区二模 11)(理)已知 cos ? x ? 【正确答案】 ? 1

??

?? 3 ? ,则 cos x ? cos ? x ? ? ? ??? 3? 6? 3 ?
?
3 ? x) 的值域是




(2012 徐汇、松江二模理 9)函数 f ( x ) ? 2 sin x ? sin( 【正确答案】 ? ?

? 3 1? , ? 2 2? ?


2 (2012 徐汇、松江二模文 2)在△ ABC 中,已知 2sin A ? 3cos A ? 0 ,则角 A 的大小为

【正确答案】

? 3
3 , ?C ?

(2012 浦东新区二模理 6)在△ ABC 中,若 b ? 1 , c ? 【正确答案】

2? ,则 S?ABC ? 3



3 4

(2012 浦东新区二模文 7)在△ ABC 中,若 b ? 1 , c ? 【正确答案】

3 , ?C ?

2? ,则 S?ABC ? 3



3 4


(2012 虹口区二模文 12)在△ ABC 中,边 BC ? 2 , AB ? 3 ,则角 C 的取值范围是 【正确答案】 (0,

?
3

]


(2012 虹口区二模理 12)在△ ABC 中,边 BC ? 2 , AB ? 3 ,则角 C 的取值范围是

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1

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中国领先的中小学教育品牌 【正确答案】 (0,

?
3

]
2

(2012 杨浦区二模理 6)函数 f ? x ? ? ? sin x ? cos x ? 的最小正周期为 【正确答案】 ?



(2012 杨浦区二模理 9)如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面 内的两个测点 C 与 D .测得 ?BCD ? 75? , ?BDC ? 60? , CD ? 30 米,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60? ,则塔高 AB ? ________米. 【正确答案】 45 2 (2012 杨浦区二模文 8)若向量 m ? ?1,sin x ? , n ? ? 2,cos x ? ,则函数 f ? x ? ? m ? n 的最小正周期为 . 【正确答案】 ? (2012 杨浦区二模文 9)如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水 平面 内的两个测点 C 与 D .测得 ?BCD ? 75? , ?BDC ? 60? , CD ? 30 米,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60? ,则塔高 AB ? ________米. 【正确答案】 45 2 (2012 嘉定、黄浦二模理 3)若 ?≤ x ≤ 【正确答案】

??

?

?? ?

?? ,则方程 2sin x ? 1 ? 0 的解 x ? 2



?? 6


5 4 ? ?? (2012 嘉定、黄浦二模理 8)已知 ? 、 ? ? ? 0, ? ,若 cos(? ? ? ) ? , sin(? ? ? ) ? ? ,则 cos 2? ? 13 5 ? 2?
【正确答案】

63 65

cos(? ? ?) ? (2012 嘉定、 黄浦二模文 11) 已知 ?、? ? (0, ) ,
【正确答案】

? 2

5 4 ,sin(? ? ?) ? ? , cos 2? = 则 13 5



63 65


(2012 闵行区二模理 6)函数 y ? cos2 x ? 3sin x cos x 的最小值为 【正确答案】 ?

1 2


(2012 闵行区二模文 6)函数 y ? cos2 x ? 3sin x cos x 的最小值为

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中国领先的中小学教育品牌 【正确答案】 ? 二、选择题 (2012 闵行区二模文 16)将 y ? sin 2 x 的图像向右平移

1 2

A . f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

).

C . f ( x) ? sin(2 x ? ) . 3 【正确答案】 C

?

? 个单位,即得到 y ? f ( x) 的图像,则( 6 ? B . f ( x) ? sin(2 x ? ) . 6 ? D . f ( x) ? sin(2 x ? ) . 3



(2012 闵行区二模理 16)要得到 y ? sin(2 x ?

?
3

) 的图像,只需将 y ? sin 2 x 的图像(



? 个单位. 3 ? C .向右平移 个单位. 6
A .向右平移
【正确答案】 C

? 个单位. 3 ? D . 向左平移 个单位. 6
B .向左平移

(2012 嘉定、黄浦二模文 17)现给出如下命题: (1)若某音叉发出的声波可用函数 y ? 0.002sin800?t (t ? R? ) 描述,其中 t 的单位是秒,则该声波的频 率是 400 赫兹;
2 2 2 (2)在 ?ABC 中,若 c ? a ? b ? ab ,则 ?C ?

? ; 3

(3)从一个总体中随机抽取一个样本容量为 10 的样本:11,10,12,10,9,8,9,11,12,8,则该总 体标准差的点估计值是

2 5 . 3

则其中正确命题的序号是………………………………………………………………( ) A.(1)、(2). B.(1)、(3). C.(2)、(3). D.(1)、(2)、(3). 【正确答案】 B (2012 杨浦区二模理 17) “ tan x ? ?

5? 3 ”是“ x ? ” ( 6 3

).

A .充分非必要条件; C .充要条件; 【正确答案】 B
(2012 杨浦区二模文 17)“ tan x ? ?

B .必要非充分条件; D .既非充分也非必要条件

5? 3 ”是“ x ? ”( 6 3

).

A .充分非必要条件; C .充要条件; 【正确答案】 B

B .必要非充分条件; D .既非充分也非必要条件

三、简答题 (2012 奉贤区二模 20)(本题满分 11 分)第(1)小题满分 5 分,第(2)小题满分 6 分.
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中国领先的中小学教育品牌 已知函数 f ? x ? ? 3 sin 2 x ? sin x ? cos x , x ? ? (1)求 f ? x ? 的零点; (2)求 f ? x ? 的的最大值和最小值. 【正确答案】 解: 【解法一】令 f ( x) ? 0 ,得 sin x ? ( 3 sin x ? cos x) ? 0 , (1) 所以 sin x ? 0 ,或 tan x ? ?

?? ? ,? . ?2 ? ?

3 . 3

2分 3分

由 sin x ? 0 , x ? [ , π] ,得 x ? π ; 由 tan x ? ?

π 2

π 5π 3 , x ? [ , π] ,得 x ? . 2 6 3
5π 或π. 6

4分 5分

综上,函数 f (x) 的零点为 【解法二】 f ( x) ?

3 1 π 3 . ( ? cos2x ? sin 2 x ? sin(2 x ? ) ? 1 ) 2 2 3 2 π 3 3 . 2

3分

令 f ( x) ? 0 ,得 sin(2 x ? ) ? ? 因为 x ? [ , π] ,所以 2 x ?

5分

π 2π 5π ?[ , ] . 3 3 3 π 4π π 5π 所以,当 2 x ? ? ,或 2 x ? ? 时, f ( x) ? 0 . 3 3 3 3 5π 即 x? 或 x ? π 时, f ( x) ? 0 . 6 5π 综上,函数 f (x) 的零点为 或π. 6
解: (2) f ( x) ?

π 2

7分 8分 9分

3 1 π 3 ( ? cos2x ? sin 2 x ? sin(2 x ? ) ? 1 ) . 2 2 3 2
π 2 π 2π 5π ?[ , ] . 3 3 3

8分 9分 10 分

因为 x ? [ , π] ,所以 2 x ? 当 2x ? 当 2x ?

π 2π π ? ,即 x ? 时, f (x) 的最大值为 3 ; 3 3 2

π 3π 11π 3 ? ,即 x ? 时, f (x) 的最小值为 ?1 ? . 3 2 12 2
4

11 分

(2012 徐汇、松江二模理 19)(本题满分 12 分)第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 8 分.
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中国领先的中小学教育品牌 在△ ABC 中,角 A , B , C ,且 a ? 5 , b ? 3 , sin C ? 2sin A . (1)求 c 的值; (2)求 sin ? 2 A ? 【正确答案】 解 :( 1 ) 由 正 弦 定 理 4分 (2)由余弦定理,得 cos A ?

? ?

??

? 的值. 3?
c a sin C ? ? a ? 2a ? 2 5 ,得 c? sin C sin A sin A

c 2 ? b2 ? a 2 2 5 ? 2bc 5

6分

所以 sin A ? 1 ? cos A ?
2

5 5
4 3 2 2 , cos 2 A ? cos A ? sin A ? 5 5

7分 9分

故 sin 2 A ? 2sin A cos A ? 所以 sin ? 2 A ?

? ?

??

? ? sin 2 A cos ? cos 2 A sin ? 3? 3 3

?

?

4?3 3 10
2? . 3

12 分

(2012 徐汇、松江二模文 19)(本题满分 12 分)第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 8 分. 在△ ABC 中,角 A , B , C ,且 a ? 6 , b ? 5 3 , B ? (1)求 sin A 的值; (2)求 cos ? B ? C ? ? cos 2 A 的值. 【正确答案】 解: (1)在△ ABC 中,由正弦定理

a b = , sin A sin B
2分

将 a ? 6, b ? 5 3, B ?

2? 6 5 3 ? 代入上式得, 3 sin A sin 2? 3

解得 sin A ?

3 5 4 5

4分 6分 8分 10 分

(2)在△ ABC 中, A ? B ? C ? ? ,且 B 为钝角,所以 cos A ? 所以 cos ? B ? C ? ? ? cos A ? ?

4 5

cos 2 A ? 1 ? 2sin 2 A ?

7 25 4 7 13 ? ?? 5 25 25
5

所以 cos ? B ? C ? ? cos 2 A ? ?

12 分

(2012 浦东新区二模理 19) (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分.
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中国领先的中小学教育品牌 已知函数 f ( x) ? 2 sin x cos x ? 2 cos x ,
2

(1)求函数 f (x) 的单调递增区间; (2)将函数 y ? f (x) 图像向右平移 【正确答案】 解(1) f ( x) ? 由 2k? ?

? 个单位后,得到函数 y ? g (x) 的图像,求方程 g ( x) ? 1 的解. 4

2 sin( 2 x ?

?
4

) ?1,

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

(k ? Z ) 得:

3? ?? ? , k? ? ? (k ? Z ) ; f (x) 的单调递增区间是 ?k? ? 8 8? ?
(2)由已知, g ( x) ?

?? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1, 4? ?
? ?

由 g ( x) ? 1 ,得 2 sin? 2 x ?

??

??0, 4?

?x ?

k? ? ? , (k ? Z ) . 2 8
2

(2012 浦东新区二模文 19) (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 已知函数 f ( x) ? 2 sin x cos x ? 2 cos x , (1)求函数 f (x) 的单调递增区间; (2)将函数 y ? f (x) 图像向右平移 【正确答案】 解(1) f ( x) ? 由 2k? ?

? 个单位后,得到函数 y ? g (x) 的图像,求方程 g ( x) ? 1 的解. 4

2 sin( 2 x ?

?
4

) ?1,

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

(k ? Z ) 得:

3? ?? ? , k? ? ? (k ? Z ) ; f (x) 的单调递增区间是 ?k? ? 8 8? ?
(2)由已知, g ( x) ?

?? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1, 4? ?
? ?

由 g ( x) ? 1 ,得 2 sin? 2 x ?

??

??0, 4?

?x ?

k? ? ? , (k ? Z ) . 2 8
?? ?

(2012 虹口区二模理 20) (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 已知函数 f ( x) ? m ? n ,其中 m ? ? 2cos x,1? , n ? cos x, 3 sin 2 x
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??

?

?

?? x ? R?( x ? R )
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中国领先的中小学教育品牌 (1)求 y ? f ( x) 的最小正周期及单调递增区间; (2)在△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对角,若 f ? A? ? 2 , b ? 1 ,△ ABC 的面积为 求:边 a 的长及△ ABC 的外接圆半径 R . 【正确答案】 解: (1) f ( x) ? 2 cos x ? 3 sin 2 x ? 2 sin( 2 x ?
2

3 3 , 2

?
6

) ?1

2分 3分

T ??
单调递增区间 [ k? ? 解: (2) f ( A) ? 2 sin( 2 A ?

?
3

, k? ?

?
6

] (k ? Z )

4分

?

6

) ? 1 ? 2 ,由 sin( 2 A ?

?
6

)?

1 ? ,得 A ? 2 3

6分

1 ? 3 3 , ? 1 ? c ? sin ? 2 3 2
∴c ? 6 8分

a ? 12 ? 6 2 ? 2 ? 1 ? 6 ?
a ? sin A 31 sin

1 ? 31 2

10 分

2R ?

?
3



∴R ?

93 3
?? ?

12分

(2012 虹口区二模文 20) (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 已知函数 f ( x) ? m ? n ,其中 m ? ? 2cos x,1? , n ? cos x, 3 sin 2 x (1)求 y ? f ( x) 的最小正周期及单调递增区间; (2) 在△ ABC 中,a 、b 、c 分别是角 A 、B 、C 的对角, f ? A? ? 2 ,b ? 1 , ABC 的面积为 若 △ 求:边 a 的长及△ ABC 的外接圆半径 R . 【正确答案】
2 解: 1) f ( x) ? 2 cos x ? 3 sin 2 x ? 2 sin( 2 x ? (

??

?

?

?? x ? R?( x ? R )
3 3 , 2

?
6

) ?1

2分 3分

T ??
单调递增区间 [ k? ? 解: 2) f ( A) ? 2 sin( 2 A ? (

?
3

, k? ?

?
6

] (k ? Z )

4分

?

6

) ? 1 ? 2 ,由 sin( 2 A ?

?
6

)?

1 ? ,得 A ? 2 3

6分

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1 ? 3 3 , ? 1 ? c ? sin ? 2 3 2
∴c ? 6 8分

a ? 12 ? 6 2 ? 2 ? 1 ? 6 ?
a ? sin A 31 sin

1 ? 31 2

10 分

2R ?

?
3



∴R ?

93 3

12分

(2012 闸北区二模文 20) (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分) 已知函数 f ( x) ? cos 2 ? x ?

? ?

1 π? ? , g ( x) ? 1 ? 2 sin 2 x . 12 ?

(1)设 x0 是函数 y ? f ( x) 的一个零点,求 g ( x0 ) 的值; (2)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间. 【正确答案】 解: (1)由题设知 f ( x) ?

1 π 1 [1 ? cos(2 x ? )] ? . 2 6 2

因为 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 的一个零点,所以 1 ? cos? 2 x ?

? ?

??

? ? 0, 6?

2分

5 ?? ? . cos? 2 x ? ? ? ?1 即 x ? k? ? ? ( k ? Z ) 12 6? ?
所以 g ( x0 ) ? 1 ?

3分

1 1 ? 5? ? 5 sin x0 ? 1 ? sin? 2k? ? ?? . 2 2 ? 6 ? 4

2分

解: (2) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1? π ?? 1 ? ?1 ? cos ? 2 x ? 6 ?? ? 1 ? 2 sin 2 x 2? ? ??

?

? 3 1? ? π? ? 3 1? 3 1 ?cos ? 2 x ? 6 ? ? sin 2 x ? ? 2 ? 2 ? 2 cos2x ? 2 sin 2 x ? ? 2 ? ? 2? ? ? ? ? ?
5分

1 ? π? 3 ? sin ? 2 x ? ? ? . 2 ? 3? 2
当 2kπ ?

π π π 5π π ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,即 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ( k ? Z )时, 2 3 2 12 12
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中国领先的中小学教育品牌 函数 h( x) ?

1 ? π? 3 sin ? 2 x ? ? ? 是增函数. 2 ? 3? 2 ? ? 5π π? . ,kπ ? ? ( k ? Z ) 12 12 ?
2分

故函数 h( x) 的单调递增区间是 ? kπ ?

(2012 嘉定、黄浦二模理 20) (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 已知函数 f ( x) ? 2 3sin x ? cos x ? cos2 x ? sin 2 x ? 1 ( x ? R ) (1)求函数 y ? f ( x) 的单调递增区间; (2)若 x ?[? 【正确答案】 [解](1)由题设 f ( x) ? 3sin 2 x ? cos2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1, 由 2k ? ?

5? ? , ] ,求 f ( x) 的取值范围. 12 3 ? 6
(2 分)

? ? ? ? ? ≤ 2x ? ≤ 2k ? ? ,解得 k ? ? ≤ x ≤ k ? ? , 2 6 2 3 6 ? ?? ? 故函数 y ? f ( x) 的单调递增区间为 ? k ? ? , k ? ? ? ( k ? Z ) . 3 6? ?

(6 分)

5? ? 2? ? ?? ≤ x ≤ ,可得 ? ≤ 2 x ? ≤ . 12 3 3 6 6 ? 考察函数 y ? sin x ,易知 -1≤ sin(2 x ? ) ≤1 , 6 ? 于是 -3 ≤ 2sin(2x ? ) ? 1≤1 . 6 故 y ? f ( x) 的取值范围为 [ ?3,1] .
(2)由 ? 已知函数 f ( x) ? 2 3sin x ? cos x ? cos 2x ?1( x ? R) . (1)求函数 y ? f ( x) 的单调递增区间; (2)若 x ? [? 【正确答案】 解(1)∵ f ( x) = 2 3sin x ?cos x 解 2k p -

(7 分) (10 分)

(12 分)

(2012 嘉定、黄浦二模文 20) (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分.

5? ? , ] ,求 f ( x) 的取值范围. 12 3

cos 2x - 1 , ∴ f ( x) = 2sin(2 x +
p ,k 2 Z ,得 k p -

p )- 1. 2 分 6 Z.
6分 7分 8分 12 分

p p #x k p + , k 3 6 p p , k p + ], k Z . ∴ 函数 y = f ( x) 的单调增区间是 [k p 3 6 5p p 2p p 5p , ] ,∴? 2x (2)∵x ? [ . 12 3 3 6 6 p ) 1. 考察函数 y = sin x ,易知, - 1 ? sin(2 x 6 p ) - 1 1. ∴ ∴ - 3 ? 2sin(2 x 函数 f ( x ) 的取值范围是 [- 3,1] . 6
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p ? 2x 2

p ? 2k p 6

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中国领先的中小学教育品牌 (2012 普陀区二模理 20) (本题满分 12 分,其中第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分) 已知向量 a ? ( , sin x ?

?

1 1 2 2

?? ? ? ? 3 cos x) 和向量 b ? (1, f ( x)) ,且 a∥b . 2

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和最大值; (2)已知 ?ABC 的三个内角分别为 A, B, C ,若有 f ( A ? 度. 【正确答案】 解: (1)由条件得

?
3

) ? 3 , BC ? 7 , sin B ?

21 ,求 AC 的长 7

? 1 1 3 f ( x) ? ( sin x ? cos x) ? 0 ,得 f ( x) ? 2 sin( x ? ) . 3 2 2 2

则函数 f (x) 的周期为 2? ,最大值为 2. 解: (2)由 f ( A ?

?
3

) ? 3 得 2 sin A ? 3 ,即 sin A ?

3 , 2

由正弦定理得

BC AC BC ? sin B 21 ? ? 2. ,又 BC ? 7 , sin B ? ,则 AC ? sin A sin B sin A 7

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10

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