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福州大学第十届数学建模竞赛A题


2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮 件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问 题。 我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他 公开的资料(包括网上查到的资料

) ,必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是(从 A/B/C/D 中选择一项填写) : 我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话) : 所属学校(请填写完整的全名) : 参赛队员 (打印并签名) :1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名): 日期: C

2014 年 8 月 17 日

赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):

2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编 号 专 用 页

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评 分

备 注

全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号):

全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):

钒和稀土对合金性能的影响
摘要
用Al-Zn-Mg-Cu合金铸造的新型铝盘头工件已经投入市场使用,但生产过程 中仍会出现较为严重的热裂缺陷, 本文就是根据改变钒和稀土的添加量来改善该 合金的力学性能和抗热裂性能。 针对问题一:我们通过对实验数据的分析、拟合,分别得出产品的抗拉强度、延 伸率、热裂倾向值 HCS 关于钒的数量之间的近似函数关系。 针问对题二:我们通过对表一的数据分析,经数据拟合,分别得出产品的抗拉强 度、延伸率、热裂倾向值HCS关于稀土的数量之间的近似函数关系。求出函数的 最值,得出满足条件的稀土添加量,其分别为0.132609wt%,0.136842wt%, 0.125862wt%。 为了使得产品整体影响较好,我们建立了多元线性回归模型,求得 抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS关于钒和稀土添加数量的回归方程,再运用 lingo求得整体效果最好时单独添加稀土的数量,为0.3503084wt%。 针对问题三:我们通过对实验数据的分析拟合,建立多元线性回归模型,分别得 出产品的抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS关于钒和稀土混合添加时数量之间 的近似函数关系。再建立线性规划模型,利用lingo求得添加钒和稀土数量的最 优解。 针对问题四:我们根据问题(1)、(2)、(3)的研究,以及对数据的分析, 简要说明了当混合添加微量的矾和稀土时,对提高产品的总体性能更好。

关键词:数据拟合 多元回归模型
向值HCS

线性规划

抗拉强度

延伸率

热裂倾

一、 问题重述
纺织经编机铝盘头已是纺织工业重要的零部件之一 [1] 。先进一种新型铸造 Al-Zn-Mg-Cu 合金, 能够在以铸代锻工艺下生产出满足实际应用需要的铝盘头工 件, 但生产过程中仍会出现较为严重的热裂缺陷,因此需进一步改善该合金的力 学性能和抗热裂性能。解决以下问题: 1、分别建立对该合金单独添加微量的钒时,产品的抗拉强度、延伸率、热裂倾 向值HCS关于钒的数量之间的近似函数关系; 2、求出当添加多少稀土时,产品的抗拉强度达到最大,延伸率达到最大,热裂 倾向值HCS达到最小; 以及单独添加稀土的数量约为多少时,使得产品的抗拉 强度、延伸率、减少热裂倾向值HCS在整体上能产生较好的影响。 3、在研究混合添加微量的钒和稀土对抗拉强度、延伸率、热裂倾向值的影响时, 分别求出添加钒和稀土的相应含量,使得产品的抗拉强度不低于150,延伸率 不低于7.00,同时使热裂倾向值HCS尽可能减少。 4、根据问题(1)、(2)、(3)的研究结果,简要说明单独添加微量的钒、单 独添加微量的稀土、混合添加微量的钒和稀土这三种方案中,哪一种对提高 产品的抗拉强度和延伸率、减少热裂倾向值HCS整体上效果更加明显。

二、 问题分析
题中通过数据分别表示出单独添加钒以及单独添加稀土时对产品的力学性 能和抗热性能的影响。 ,以及钒和稀混合添加时土对产品产生的影响。 2.1 问题一的分析: 我们根据已给出来的数据进行数据的拟合,分别得出产品的抗拉强度、延伸 率、热裂倾向值HCS对钒的数量之间的近似函数关系。 2.2 问题二的分析: 我们根据已给出来的数据进行数据拟合, 分别得出产品的抗拉强度、 延伸率、 热裂倾向值HCS对稀土的数量之间的近似函数关系
[2]

。求函数的最值,分别得到

产品的抗拉强度达到最大,延伸率达到最大和热裂倾向值HCS达到最小时的稀土 的添加量。对于求产品的抗拉强度、延伸率、减少热裂倾向值HCS在整体上造成 较好的影响时,我们利用多元回归建立模型求解。 2.3 问题三的分析: 由题中的钒(V)和稀2.0土(RE)的添加数量分别在0.01—0.25(wt%)时, 使得产品的抗拉强度不低于150,延伸率不低于7.00,同时使热裂倾向值HCS尽可 能减少等条件可以看出,建立线性规划模型能得到钒和稀土添加数量的最优解。 2.4 问题四的分析: 通过对前面三题的研究以及对数据的分析, 我们很容易得出当混合添加微量 的钒和稀土时,对提高产品总体的性能影响更好。

三、 模型假设与符号系统
3.1 模型的假设 1、假设此产品的力学性能和热裂性能只由抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS

决定。 2、假设实验测量的数据误差不大; 3、假设单独研究钒或者稀土对产品力学性能和热裂性能的影响时,不受其他因 素影响; 3.2 符号系统 符号 含义 x 钒的添加量(wt%) y 稀土的添加量(wt%) a 抗拉强度(Mpa) b 延伸率(%) c 热裂倾向值 HCS

f1 ( x)
f 2 ( x)

抗拉强度与钒添加量的函数关系 延伸率与钒添加量的函数关系 热裂倾向值 HCS 与钒添加量的函数关系 抗拉强度与稀土添加量的函数关系 延伸率与稀土添加量的函数关系 热裂倾向值 HCS 与稀土添加量的函数关系 产品在提高抗拉强度和延伸率、 减少热裂倾 向值整体上造成的影响 抗拉强度关于钒添加量和稀土添加量之间 的函数关系 延伸率关于钒添加量和稀土添加量之间的 函数关系 热裂倾向值 HCS 关于钒添加量和稀土添加量 之间的函数关系

f 3 ( x)
g1 ( y) g 2 ( x)

g 3 ( x)

s
h1 ( x, y) h2 ( x, y)

h3 ( x, y)

四、 模型建立与求解
4.1 问题一的模型建立与求解: 根据数据分析,利用matlab进行数据拟合(附录1) ,分别得出产品的抗拉强度、 延伸率、热裂倾向值HCS关于钒的数量之间的近似函数关系的函数图形。 假设拟合得到的函数方程为:

f ( x) ? a1 x 3 ? a2 x 2 ? a3 x ? a4 (其中 a1 ?a4 为系数)
4.1.1抗拉强度关于钒的数量之间的近似函数关系图:

4.1.2 延伸率关于钒的数量之间的近似函数关系:

4.1.3 热裂倾向值 HCS 关于钒的数量之间的近似函数关系:

因此,产品的抗拉强度、延伸率、热裂倾向值 HCS 关于钒的数量之间的近似函数 关系分别为:

a ? f1 ( x) ? ?2200x1 ? 460x1 ? 140 b ? f 2 ( x) ? ?1800x1 ? 200x1 ? 33x1 ? 4.7
3 2

2

c ? f 3 ( x) ? 2800x1 ? 440x1 ? 110
4.2 问题二的模型建立于求解 4.2.1 步骤一:问题假设 由于稀土含量的增加, 抗拉强度与延伸率程增长趋势,热裂倾向趋势呈下降 趋势,故设其为线性。 4.2.2 步骤二:建立数学模型 根据数据分析,利用matlab进行数据拟合,分别得出产品的抗拉强度、延伸 率、热裂倾向值HCS关于稀土的数量之间的近似函数关系的函数图形:

2

根据三个图形所得的函数关系式可得:
2 g1 ( y) ? -2300y ? 610y? 140

(1)式

当 y=0.132609 时
2 g 2 ( y) ? -190y ? 52y? 5.1

g1 ( y) max ? 180.446
(2)式

当 y= 0.136842 时
2 g3 ( y) ? 2900y - 730y? 110

g 2 ( y) max ? 8.65789
(3)式

当 y=0.125862 时 即:

g 3 ( x) min ? 64.0603

当单独添加 0.132609wt%的稀土时,产品的抗拉强度达到最大; 当单独添加 0.136842wt%的稀土时,产品的延伸率达到最大; 当单独添加 0.136842wt%的稀土时,产品的热裂倾向值 HCS 达到最小; 设回归模型为:

y ? ? 0 ? ?1 x1 ? ? 2 x2 ? ? 3 x3 ? ?
我们根据图形可以确立总体的影响 s 与抗拉强度 a、延伸率 b 以及热裂倾向 c 之 间的关系:

s ? ? 0 ? ?1a ? ? 2b ? ? 3c ? ?
4.2.3 模型求解 利用 matlab 求解得出回归系数(附录 2) 参数 估计值

(4)式

?0
-0.70774

?1
0.0032221

?2
0.0067497

?3
0.0029234

将(1)、(2)、(3)式带入(4)式可以得到总体的影响 s 关于稀土添加数量 y 的函数方程(附录 3):

s ? -0.70774 ? 0.0032221 g1 ( x) ? 0.0032221 g 2 ( x) ? 0.0067497 g 3 ( x)
求得: s 取得最大值时,y=0.3503084 即当添加 0.3503084wt%的稀土数量时,对提高产品的抗拉强度、延伸率、减少 热裂倾向值 HCS 整体上能产生较好的影响。 4.3 问题三的模型建立于求解 首先我们建立多元线性回归模型,根据 matlab 求解出产品的抗拉强度、延 伸率、 热裂倾向值 HCS 关于钒和稀土混合时数量之间的近似函数关系 (附录 4) :

h1 ( x, y) ? 192.2002? 530.0000x ? 121.4098y (5)式 h2 ( x, y) ? 8.7007? 27.3000x ? 4.5555y
(6)式 (7)式

h3 ( x, y) ? 71.3709? 100.0000x ?12.9932y
为使热裂倾向值 HCS 尽可能减小,目标函数如下:

h3 ( x, y) min ? 71.3709? 100.0000x ? 12.9932y
根据(5)式、(6)式、(7)式以及钒(V)和稀土(RE)的添加数量分别在 0.01—0.25(wt%) ,产品的抗拉强度不低于 150 ,延伸率不低于 7.00 的要求, 可得约束条件: ?192.2002? 530.0000x ? 121.4098y ? 150 ? 8.7007? 27.3000x ? 4.5555y ? 7 ? ? x ? 0.01 ? s.t(约束条件): ? x ? 0.25 ? ? y ? 0.01 ? ? y ? 0.25 ? 利用 lingo 对此线性模型进行求解(附录 5),解得: 当 x=0.01wt%,y=0.25wt%时, h3 ( x, y) min ? 69.12 即当添加 0.01wt%的钒的含量和添加 0.25wt%稀土的含量时,会使得产品的抗拉 强度不低于 150 ,延伸率不低于 7.00,同时使热裂倾向值 HCS 最小为 69.12。 4.4 问题四的模型建立与求解 我们根据对前面问题的研究,得出混合添加钒和稀土的含量时,产品的整体 性能效果更加明显。 在给定数据中比较混合添加与单独添加每一种因素时发现, 单独添加一定量 的钒或稀土,此时若再适量的添加另一种物质,整体性能均会有所提高。综合以 上研究结果,可知混合添加钒和稀土对提高合金的整体性能效果会更加明显。

五、 模型评价

5.1 模型的优点: (1) 合理利用好题中给出数据,对数据进行拟合,建立变量与因变量之间的函 数关系的模型。 (2) 在求解问题时,我们采用线性规划进行函数关系的确立得出最优解。 (3) 充分利用了 matlab,lingo 数学软件求解。 5.2 模型的缺点: (1)在拟合数据时,我们发现数据较少,拟合不够准确。 (2)我们在本文中我们在考虑提高产品整体性能的影响因素时,只选择了三种 因素,忽略了其他的因素。

参考文献
[1] 吴 益 文 , 华 沂 , 张 霁 菁 , 胥 成 民 , 不 锈 钢 保 温 杯 管 柸 开 裂 分 析 , http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-GAGU198001000.htm(2007 年) [2] 彭 宏 伟 , 稀 土 元 素 对 低 合 金 耐 磨 钢 组 织 和 性 能 的 影 响 , http://cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-10533-1011179030.htm(2011 年)

附录
附录 1: v = [ 0 133.0000 0.0500 160.0000 0.1000 154.0000 0.2000 140.0000 x=v(:,1)' y1=v(:,2)' y2=v(:,3)' y3=v(:,4)' plot(x,y1,'*') plot(x,y2,'*') plot(x,y3,'*') 4.6600 112.0000 6.6000 83.0000 8.2100 100.0000 5.1000 131.0000]

附录 2: data=[ 0 133.0000 4.6600 112.0000 0.0500 165.0000 7.5800 88.0000 0.0800 169.0000 8.2600 80.0000 0.1000 171.0000 8.9900 72.0000 0.1200 186.0000 8.7300 64.0000 0.1500 175.0000 7.7100 72.0000 0.2000 156.0000 7.0000 80.0000 0.2500 152.0000 6.4900 116.0000] y=data(:,1); x=[ones(8,1),data(:,2:end)]; [b,bint,r,rint,stats] = regress(y,x,0.05) 附录 3

Y1=-2300*x^2+610*x+140; Y2=-190*x^2+52*x+5.1; Y3=2900*x^2-730*x+110; MAX=-0.70774+0.0032221*Y1+0.0032221* Y2+0.0067497* Y3; 附录4 date=[160 0.05 0 153 0.05 0.1 130 0.05 0.25 186 0 0.12 146 0.05 0.12 133 0.1 0.12] y=data(:,1); x=[ones(6,1),data(:,2:end)]; [b,bint,r,rint,stats] = regress(y,x,0.05) 得:F1(x,y)=192.2002 -530.0000*x -121.4098*y data=[ 6.6 0.05 0 7.22 0.05 0.1 5.57 0.05 0.25 8.73 0 0.12 6.66 0.05 0.12 6 0.1 0.12] y=data(:,1); x=[ones(6,1),data(:,2:end)]; [b,bint,r,rint,stats] = regress(y,x,0.05) 得 F2(x,y)= 8.7007-27.3000*x-4.5555*y data=[ 83 0.05 0 80 0.05 0.1 80 0.05 0.25 64 0 0.12 68 0.05 0.12 74 0.1 0.12] y=data(:,1); x=[ones(6,1),data(:,2:end)]; [b,bint,r,rint,stats] = regress(y,x,0.05) 得 F3(x,y)= 71.3709+100.0000*x -12.9932*y 附录 5 min=71.3709+100*x -12.9932*y; 192.2002 -530.0000*x -121.4098*y>150; 8.7007-27.3000*x-4.5555*y>7; 0.01<=x; x<=0.25; 0.01<=y;

y<=0.25;


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