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参数方程


参数方程 考点要求 1 了解参数方程的定义。 2 分析直线,圆,圆锥曲线的几何性质。会选择适当的参数,写出他们的参数方程。并理解直线参数方 程标准形式中参数的意义。 3 掌握曲线的参数方程与普通方程的互化。 考点与导学 1 参数方程的定义:在取定的坐标系中。如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变量 t 的函数

? x ? f (t ) (t ? T)

? ? y ? g (t )

(1)

这里 T 是 f (t ), g (t ) 的公共定义域。并且对于 t 的每一个允许值。由方程(1)所确定的点

M ( x, y) 。都在这条曲线上;那么(1)叫做这条曲线的参数方程,辅助变数 t 叫做参数。
2 过点 p 0 ( x0 , y 0 ), 倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程 (错误!未找到引用源。 ? )

? x ? x 0 ? t cos? (t 为参数) ? y ? y 0 ? t sin ?

(错误!未找到引用源。 )通常称(错误!未找到引用源。 )为直线 l 的参数方程的标准形式。其中 t 表示

p0 ( x0 , y 0 ), 到 l 上一点 p ( x, y ) 的有向线段 p 0 p 的数量。
t>0 时,p 在 p 0 上方或右方;t<0 时,p 在 p 0 下方或左方,t=0 时,p 与 p 0 重合。 (错误!未找到引用源。 )直线的参数方程的一般形式是: ? 这里直线 l 的倾斜角 ? 的正切 tan? ?

? x ? x0 ? at (t 为参数) ? y ? y 0 ? bt

a 0 0 2 2 ( ? ? 0 或? ? 90 时例外) 。当且仅当 a ? b ? 1 且 b>0 时. b

(1)中的 t 才具有(错误!未找到引用源。 )中的 t 所具有的几何意义。 2 圆的参数方程。 圆心在点 o ( x 0 , y 0 ), 半径为 r 的圆的参数方程是 ?
'

? x ? x 0 ? r cos? ( ? 为参数) ? y ? y 0 ? r sin ?

3 椭圆

? x ? a cos? x2 y2 ? 2 ? 1 的参数方程。 ? ( ? 为参数) 2 a b ? y ? b sin ? ? x ? a sec? x2 y2 ? 2 ? 1 的参数方程: ? ( ? 为参数) 2 a b ? y ? b tan?
2

4 双曲线

5 抛物线 y ? 2 px 的参数方程。 ?

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

(t 为参数)

1

例 1 已知某曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? 2t
2 ? y ? at

(其中 t 是参数, a ? R ),点 M(5,4)在该曲线上。 (1)

求常数 a ; (2)求曲线 C 的普通方程。 例 2 圆 M 的参数方程为 x ? y ? 4 Rx cos? ? 4 Ry sin ? ? 3R ? 0 (R>0).(1)求该圆的圆心的坐标以
2 2 2

及圆 M 的半径。 (2)当 R 固定, ? 变化时。求圆心 M 的轨迹。并证明此时不论 ? 取什么值,所有的圆 M 都外切于一个定圆。 例 3 已知 A,B 分别是椭圆 轨迹的普通方程。 例 4 求经过点(1,1) 。倾斜角为 135 的直线截椭圆 〔解题能力测试〕
0

x2 y2 ? ? 1 的右顶点和上顶点,动点 C 在该椭圆上运动,求?ABC 的重心的 36 9

x2 ? y 2 ? 1 所得的弦长。 4

1 1 ? ? x ? 2 (a ? a ) ? 1 已知某条曲线的参数方程为: ? 其中 a 是参数。则该曲线是( ) ? y ? 1 (a ? 1 ) ? 2 a ?
A 线段 B 圆 C 双曲线的一部分 D 圆的一部分 )

2 已知某条曲线的参数方程为 ? A 线段 B 圆弧

? x ? 3t 2 ? 2 ? (0 ? t ? 5) 则该曲线是( ?y ? t 2 ?1 ?
D 射线

C 双曲线的一支

3 实数 x, y 满足

x2 y2 ? ? 1 ,则 z ? x ? y 的最大值为: 16 9

;最小值为



4 已知直线 l 的斜率为 k ? ?1 .经过点 M 0 (2,?1) 。点 M 在直线上,以 ?M?? 的数量 t 为参数.则直线 ? M
0

l 的参数方程为:
5 已知直线 l 的参数方程是 ? 则直线 l 的倾斜角是: 〔潜能强化训练〕 1 在方程 ? A (2,?7)



? x ? 1 ? t sin ? ? (t 为参数) 其中实数 ? 的范围是 ( , ? ) 。 2 ? y ? ?2 ? t cos?


? x ? sin ? ( ? 为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为 ( ? y ? cos 2?
B ( , )



1 2 3 3

C ( , )
2

1 1 2 2

D (1,0) )

2 下列参数方程(t 为参数)与普通方程 x ? y ? 0 表示同一曲线的方程是(

2

A

?x ? t ? ?y ? t

B ?

? x ? cos t
2 ? y ? cos t

C ?

? x ? tan t ? 1 ? cos 2t ? y ? 1 ? cos 2t ?

D ?

? x ? tan t ? 1 ? cos 2t ? y ? 1 ? cos 2t ?

3 直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 与圆 ? A 相切 B 相离

? x ? 2 cos? ( ? 为参数)的位置关系是( ) ? y ? 2 sin ?
D 相交但直线不过圆心。

C 直线过圆心

4 设直线 ? 的角是( A

? x ? 1 ? t cos? ? y ? 2 ? t sin ?
) B

(t 为参数) 。如果 ? 为锐角,那么直线 l1到直线l 2 : x ? 1 ? 0

? ?? 2

? ?? 2
o

C

?

D

? ??


5 过点(1,1) ,倾斜角为 135 的直线截椭圆

x2 ? y 2 ? 1 所得的弦长为( 4
3 2 5

A

2 2 5

B

4 2 5

C

2

D

6 双曲线 ?

? x ? 3 tan ? ? y ? sec?

( ? 为参数) ,那么它的两条渐近线所成的锐角是:



7 参数方程 ?

? x ? sin 2? ( ? 为参数)表示的曲线的普通方程是: ? y ? sin ? ? cos?
2



8 已知点 M(2,1)和双曲线 x ?

y2 ? 1 ,求以 M 为中点的双曲线右支的弦 AB 所在直线 l 的方程。 2

9 已知椭圆的中心在原点。焦点在 y 轴上且长轴长为 4,短轴长为 2。直线 l 的参数方程为

?x ? t ? ? y ? m ? 2t

(t 为参数) 。当 m 为何值时,直线 l 被椭圆截得的弦长为 6 ?

x2 y2 ? ? 1 上的点到直线 ? : x ? 2 y ? 12 ? 0 的最大距离和最小距离。 10、求椭圆 16 12

〔知识要点归纳〕 1. 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程,是曲线在同一坐标系下的一种表示形式, 而且有的参数还有几何意义或物理意义。 2. 面临一个轨迹问题,如何选择参数?如何用参数?是主要问题,必须在学习过程中深刻去领会。 3. 在参数方程与普通方程互化过程中,要注意等价性。

3

解: (1)由题意可知有 ?

?1 ? 2t ? 5
2 ?at ? 4

故 ?

?t ? 2 ∴a ?1 ?a ? 1
? x ? 1 ? 2t ?y ? t
2

(2)由已知及(1)可得,曲线 C 的方程为 ?

由第一个方程得 t ?

x ?1 代入第二个方程得: 2

y?(

x ?1 2 ) 。即 ( x ? 1) 2 ? 4 y 为所求。 2

〔点评〕 参数方程化为普通方程的关键是消参数,并且要保证等价性。若不可避免地破坏了同解变形, 则一定要通过 x ? f (t ), y ? g (t ) 。根据 t 的取值范围导出 x, y 的取值范围。 解 : 1 ) 依 题 意 得 圆 M 的 方 程 为 ( x ? 2 R cos? ) ? ( y ? 2 R sin ? ) ? R (
2 2 2

故圆心的坐标为 M

( 2R cos? ,2R sin ? ).半径为R 。 (2)当 ? 变化时,圆心 M 的轨迹方程为 ?

? x ? 2 R cos? (其中 ? 为参数)两式平方相加得 ? y ? 2 R sin ?

x 2 ? y 2 ? 4R 2 。所以所有的圆 M 的轨迹是圆心在原点。半径为 2R 的圆
由于

(2 R cos? ) 2 ? (2 R sin ? ) 2 ? 2 R ? 3R ? R (2 R cos? ) 2 ? (2 R sin ? ) 2 ? 2 R ? R ? R

所以所有的圆 M 都和定圆 x ? y ? R 外切,和定圆
2 2 2

x 2 ? y 2 ? 9R 2 内切。
〔点评〕本题中所给的方程中含有多个参数,像这样的问题有时容易分不清哪个是真正的参数,究竟在 具体的题目中哪个是真正的参数应视题目给定的条件,分清参数。 解:由动点 C 在椭圆上运动,可设 C 的坐标为(6cos ? ,3 sin ? ),点 G 的坐标为 ( x, y ) . 依题意可知:A(6,0) ,B(0,3) 由重心坐标公式可知

6 ? 0 ? 6 cos? ? ? 2 ? 2 cos? ?x ? 2 ?x ? ? cos? (1) ? ? 3 (1) 2 ? (2) 2 得 由此得: ? 2 ? ? y ? 1 ? sin ? ( 2) ? y ? 0 ? 3 ? 3 sin ? ? 1 ? sin ? ? ? 3 ?

( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 即为所求。 4
〔点评〕错误!未找到引用源。本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性。运用参 数方程显得很简单。运算更简便。常用于解决有关最值问题。错误!未找到引用源。 “平方法”是消参的 常用方法。

? 2 t ?x ? 1 ? ? 2 解:由条件可知直线的参数方程是: ? (t 为参数)代入椭圆方程可得: 2 ?y ? 1? t ? 2 ?
4

(1 ?

2 2 t) 2 2 5 2 ? (1 ? t ) ? 1 即 t 2 ? 3 2t ? 1 ? 0 设方程的两实根分别为 t1 , t 2 。 4 2 2

? 6 2 ?t1 ? t 2 ? ? ? 5 则直线截椭圆的弦长是 则? ?t t ? 2 ?1 2 5 ?

t1 ? t 2 ? (t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 ?

6 2 5

〔点评〕利用直线参数方程的几何意义求弦长的常用方法。但必须注意:直线的参数方程必须是标准形 式。即 ?

? x ? x0 ? at (t 为参数)当 a 2 ? b 2 ? 1 且 b>0 时才是标准形式。若不满足 a 2 ? b 2 ? 1 且 b>0 ? y ? y 0 ? bt

两个条件。 则弦长为 d= 1 ? ( ) t1 ? t 2
2

b a

四、参数方程 〔解题能力测试〕

1.C 2、A 3、5,-5

? ? x ? 2? ? 4、 ? ? y ? ?1 ? ? ?

2 t 2 2 t 2

5、

3? ?? 2

〔潜能强化训练〕 1、C 2、D 3、C 4、B 5、B 6、60
0

7、 y ? x ? 1(?1 ? x ? 1)
2

8、 4 x ? y ? 9 ? 0 9、 m ? ?

4 5 5

10、 d max ? 4 5

d min ?

4 5 5

第 104 课时曲线的参数方程 教学目标 知识与技能:弄清理解曲线参数方程的概念. 过程与方法:能选取适当的参数,求简单曲线的参数方程 情感、态度与价值观:初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题,在问题解决的过程中,形 成数学抽象思维能力,初步体验参数的基本思想。 教学重点:曲线参数方程的概念。 教学难点:曲线参数方程的探求。 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教学过程: (一)曲线的参数方程概念的引入 引例: 2002 年 5 月 1 日,中国第一座身高 108 米的摩天轮,在上海锦江乐园正式对外运营。并以此高度跻 身世界三大摩天轮之列,居亚洲第一。
5

已知该摩天轮半径为 51.5 米,逆时针匀速旋转一周需时 20 分钟。如图所示,某游客现在 P0 点(其中 。问:经过 t 秒,该游客的位置在何处? P0 点和转轴 O 的连线与水平面平行)

引导学生建立平面直角坐标系,把实际问题抽象到数学问题,并加以解决 (1、通过生活中的实例,引发学生研究的兴趣;2、通过引例明确学习参数方程的现实意义;3、通 过对问题的解决,使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果,从而了解学习曲线 的参数方程的必要性;4、通过具体的问题,让学生找到解决问题的途径,为研究圆的参数方程作准备。 ) (二)曲线的参数方程 1、圆的参数方程的推导 (1) 一般的, 设⊙ O 的圆心为原点, 半径为 r ,OP0 所在直线为 x 轴, 如 图,以 OP0 为始边绕着点 O 按逆时针方向绕原点以匀角速度 ? 作圆周 运动, 则质点 P 的坐标与时刻 t 的关系该如何建立呢?(其中 r 与 ? 为常数, 变数) 结合图形,由任意角三角函数的定义可知:

t



? x ? r cos?t t ? [0,??) t 为参数 ① ? ? y ? r sin ?t (2)点 P 的角速度为 ? ,运动所用的时间为 t ,则角位移 ? ? ?t ,那么方程组①可以改写为何种形
式? 结合匀速圆周运动的物理意义可得: ?

? x ? r cos? ? y ? r sin ?

? ? [0,??) ? 为参数



(在引例的基础上,把原先具体的数据一般化,为圆的参数方程概念的形成作准备,同时也培养了学 生数学抽象思维能力) (3)方程①、②是否是圆心在原点,半径为 r 的圆方程?为什么? 由上述推导过程可知:对于⊙ O 上的每一个点 P( x, y ) 都存在变数 t (或 ? )的值,使 x ? r cos?t ,

y ? r sin ?t (或 y ? r sin? , x ? r cos? )都成立。 对于变数 t (或 ? )的每一个允许值,由方程组所确定的点 P( x, y ) 都在圆上;
(1、对曲线的方程以及方程的曲线的定义进行必要的复习;2、学生从曲线的方程以及方程的曲线的 定义出发,可以说明以上由变数 t (或 ? )建立起来的方程是圆的方程; ) (4)若要表示一个完整的圆,则 t 与 ? 的最小的取值范围是什么呢? ?

s ? x ? r c o ?t ? ? ? y ? rs in t

t ? [0,

2?

?

),

? x ? r cos? ? ? y ? r sin ?

? ? [0,2? )

(5)圆的参数方程及参数的定义 我们把方程①(或②)叫做⊙ O 的参数方程,变数 t (或 ? )叫做参数。 (6)圆的参数方程的理解与认识 (ⅰ)参数方程 ?

? x ? 3 cos? ? y ? 3 sin ?

? ? [0,2? ) 与 ?

? x ? 3 cos? ? y ? 3 sin ?

? ? ? [0, ] 是否表示同一曲线?为什么?
2

(ⅱ)根据下列要求,分别写出圆心在原点、半径为 r 的圆的部分圆弧的参数方程: ①在 y 轴左侧的半圆(不包括 y 轴上的点) ; ②在第四象限的圆弧。 (通过具体问题的解决,加深对圆的参数方程的理解与认识,体会到参数的取值范围也是圆的参数方
6

程的重要组成部分;并为曲线的参数方程的定义及其理解与认识作铺垫。 ) (7)曲线的参数方程的定义 (ⅰ)一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线 C 上任意一点的坐标 x 、 y 都是某个变数 t 的函数

? x ? f (t ) (t ? D) ③,并且对于 t 的每一个允许值,由方程组③所确定的点 P( x, y ) 都在这条曲线 ? ? y ? g (t ) C 上,那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程。变数 t 叫做参变量或参变数,简称参数。 (ⅱ)相对于参数方程来说,直接给出曲线上点的坐标 x 、 y 间关系的方程 F ( x, y) ? 0 叫做曲线
的普通方程。 (8)曲线的参数方程的理解与认识 (ⅰ)参数方程的形式; (横、纵坐标 x 、 y 都是变量 t 的函数,给出一个 t 能唯一的求出对应的 x 、 y 的值,因而得出唯一的 对应点;但横、纵坐标 x 、 y 之间的关系并不一定是函数关系。 ) (ⅱ)参数的取值范围; (在表述曲线的参数方程时,必须指明参数的取值范围;取值范围的不同,所表示的曲线也可能会有 所不同。 ) (ⅲ)参数方程与普通方程的统一性; (普通方程是相对参数方程而言的,普通方程反映了坐标变量 x 与 y 之间的直接联系,而参数方程是 通过变数反映坐标变量 x 与 y 之间的间接联系;普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式; 参数方程可以与普通方程进行互化。 ) (ⅳ)参数的作用; (参数作为间接地建立横、纵坐标 x 、 y 之间的关系的中间变量,起到了桥梁的作用。 ) (ⅴ)参数的意义。 (如果参数选择适当,参数在参数方程中可以有明确的几何意义,也可以有明确的物理意义,可以给 问题的解决带来方便。即使是同一条曲线,也可以用不同的变数作为参数。 ) (三)巩固曲线的参数方程的概念 例题 1: (1)质点 P 开始位于坐标平面内的点 P0 (3,1) 处,沿某一方向作匀速直线运 动。水平分速度 v x ?

3 厘米/秒,铅锤分速度 v y ? 1 厘米/秒,

(ⅰ)求此质点 P 的坐标与时刻 t (秒)的关系; (ⅱ)问 5 秒时质点 P 所处的位置。 (2)写出经过定点 P(3,1) ,且倾斜角为

? 的直线 l 的参数方程。 6

问题:作出例题 1 中两小题的直线图像,判断它们的位置关系;从中你能得到什么启示呢? (第一小题通过运动质点的位置与时间有关建立表现质点位置的参数方程;第二小题通过选取适当的 参数建立直线的参数方程;从而使学生了解参数的选取有多种方法,同一曲线可以由不同的参数方程来 表示。 ) 例题 2:已知点 A( x, y ) 在圆 C : x ? y ? 4 上运动,求 x ? y 的最大值。 (通过普通方程化为参数方程求得函数的最值,使学生初步体验参数方程的作用与意义。 ) (四)课堂小结 1、知识内容:知道圆的参数方程以及曲线参数方程的概念;能选取适当的参数建立参数方程;通过对 圆和直线的参数方程的研究,理解其中参数的意义。 2、思想与方法:参数思想。 (引导学生回顾本节课的学习过程,小结与交流学习体会,包括数学知识的获得,数学思想方法的领 悟。 ) (五)作业 课本 P26,习题 2.1,第 1、2 题。 (六)思考
2 2

(1)若圆的一般方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,你能写出它的一个参数方程吗?
2 2 2

(2) 针对引例中的实际情况, 游客总是从摩天轮的最低点登上转盘。 若某游客登上转盘的时刻记为 t 0 ,
7

则经过时间 t 该游客的位置在何处?在引例所建立的坐标系下,你能否通过建立相对应的参数方程,并得 到游客的具体位置呢?

第 105 课时圆的参数方程 教学目的: 知识与技能:弄清曲线参数方程的概念 过程与方法:能选取适当的参数,求圆的参数方程 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:掌握圆的参数方程的推导方法和结论 教学难点:选择适当的参数写出曲线的参数方程. 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教学过程: 一、复习圆的标准方程:学生回答 二、圆的参数方程的推导: (标准式和一般式叫普通方程) 1.圆心在原点的圆的参数方程 圆心在原点、半径为 r 的圆的参数方程为

? x ? r cos ? ? ? y ? r sin ?

( ? 为参数)

θ 有意义:旋转角 0 到 2π (x 轴到连心线) 2.圆心不在原点的圆的参数方程 问:怎样得到圆心在

O1 (a, b) ,半径为 r 的圆的参数方程呢?

可将圆心在原点、半径为 r 的圆按向量 r 的圆的参数方程为

v ? ( a, b) 平行移动后得到,所以圆心在 O1 (a, b) ,半径为

? x ? a ? r cos ? ? ? y ? b ? r sin ?

(θ 为参数)

3.一般曲线参数方程的定义(书 P23) 参数方程、参数及其意义、普通方程 参数方程化为普通方程 三、例题:书例 2(参数方程的应用) 四、练习:1―3(投影) 补充例.已知 A(―1,0) 、B(1,0),P 为圆

( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 上的一点,求 PA 2 ?
的最大值和最小值以及对应 P 点的坐标.

PB

2

8

? x ? 3 ? 2 cos ? ? y ? 4 ? 2 sin ? ? 解:☉ C 的参数方程为 ? ( 为参数),

PA ? PB
=

2

2

2 2 2 2 = (4 ? 2 cos ? ) ? (4 ? 2 sin ? ) ? (2 ? 2 cos ? ) ? (4 ? 2 sin ? )

60 ? 8(3 cos ? ? 4 sin ? ) ? 60 ? 40 sin(? ? ? )
cos ? ? 4 sin ? ? 3 5. 5,

其中



2 2 sin(? ? ? ) ? 1 时, PA ? PB 有最大值 100.



sin(? ? ? ) ? 1 , cos(? ? ? ) ? 0

cos ? ? cos[(? ? ? ) ? ? ] ? cos(? ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? ) sin ? ?
sin ? ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? ) sin ? ?
21 28 , ∴P 点的坐标为( 5 5 ).

3 5

4 5



sin(? ? ? ) ? ?1, PA ? PB 有最小值 20.
2 2

sin(? ? ? ) ? ?1, cos(? ? ? ) ? 0 , ? ? ? ? 2k? ? 2 ∵
cos ? ? cos[(? ? ? ) ? ? ] ? cos(2k? ?
sin ? ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? sin(2k? ?
9 12 , ∴P 点的坐标为( 5 5 ).
凡是涉及圆上的点旋转和有关距离时,可考虑采用圆的参数法,最后归结到三角运算. 五.小结:圆的参数方程和普通方程互化

?

?
2

? ? ) ? ? sin ? ? ?

3 5

?
2

? ? ) ? ? cos ? ? ?

4 5,

第 106 课时圆参数方程的应用 教学目标: 知识与技能:利用圆的几何性质求最值(数形结合) 过程与方法:能选取适当的参数,求圆的参数方程
9

情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:会用圆的参数方程求最值。 教学难点:选择圆的参数方程求最值问题. 授课类型:复习课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教学过程: 一、最值问题 2 2 1.已知 P(x,y)圆 C:x +y -6x-4y+12=0 上的点。

(1)求

y x

的最小值与最大值

(2)求 x-y 的最大值与最小值 2 2 2.圆 x +y =1 上的点到直线 3x+4y-25=0 的距离最小值是



2 .圆(x-1) +(y+2) =4 上的点到直线 2x-y+1=0 的最短距离是_______; 3. 过点(2,1)的直线中,被圆 x +y -2x+4y=0 截得的弦: 为最长的直线方程是_________;为最短的直线方程是__________;
2 2

/

2

2

4.若实数 x,y 满足 x +y -2x+4y=0,则 x-2y 的最大值为

2

2



二、参数法求轨迹 2 2 1)一动点在圆 x +y =1 上移动,求它与定点(3,0)连线的中点的轨迹方程 2)已知点 A(2,0),P 是 x +y =1 上任一点, ?AOP 的平分线交 PA 于 Q 点,求 Q 点的轨迹.
2 2

C.参数法 解题思想:将要求点的坐标 x,y 分别用同一个参数来表示 2 2 例题:1)点 P(m,n)在圆 x +y =1 上运动, 求点 Q(m+n,2mn)的轨迹方程 2 2 2 4 2)方程 x +y -2(m+3)x+2(1-4m )y+16m +9=0.若该方 程表示一个圆,求 m 的取值范围和圆心的轨迹方程。 三、小结:本节学习内容要求掌握 1.用圆的参数方程求最值; 2.用参数法求轨迹方程,消参。

第 107 课时圆锥曲线的参数方程 教学目的: 知识与技能:了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义 过程与方法:能选取适当的参数,求简单曲线的参数方程 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:圆锥曲线参数方程的定义及方法 教学难点:选择适当的参数写出曲线的参数方程.
10

授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教学过程: 一、复习引入: 1.写出圆方程的标准式和对应的参数方程。 (1)圆 x ? y ? r 参数方程 ?
2 2 2

? x ? r cos? ? y ? r sin ?
2

( ? 为参数)

(2)圆 ( x ? x0 ) ? ( y \ y 0 ) ? r 参数方程为: ?
2 2

? x ? x 0 ? r cos? ? y ? y 0 ? r sin ?

( ? 为参数)

2.写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。 3.能模仿圆参数方程的推导,写出圆锥曲线的参数方程吗? 二、讲解新课: 1.椭圆的推导:椭圆

x2 y2 ? ? 1 参数方程 a2 b2

s ?x ? a c o ? ( ? 为参数) ? ? ?y ? bs i n c ?x ? a s e ? ( ? 为参数) ? ? ?y ? b t a n

2.双曲线的参数方程:双曲线

x2 y2 ? ? 1 参数方程 a2 b2
2

? x ? 2 Pt 2 3.抛物线的参数方程:抛物线 y ? 2 Px 参数方程 ? (t 为参数) ? y ? 2 Pt
1、 关于参数几点说明: (1) 参数方程中参数可以是有物理意义,几何意义,也可以没有明显意义。 (2) 同一曲线选取的参数不同,曲线的参数方程形式也不一样 (3) 在实际问题中要确定参数的取值范围 2、 参数方程的意义: 参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式,它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地 联系起来,参数方程与变通方程同等地描述,了解曲线,参数方程实际上是一个方程组,其中 x , y 分 别为曲线上点 M 的横坐标和纵坐标。 3、 参数方程求法 (1)建立直角坐标系,设曲线上任一点 P 坐标为 ( x, y ) (2)选取适当的参数 (3)根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,建立点 P 坐标与参数的函数式 (4)证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 4、 关于参数方程中参数的选取 选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。 与运动有关的问题选取时间 t 做参数 与旋转的有关问题选取角 ? 做参数 或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。 一、 典型例题: 例 1.设炮弹发射角为 ? ,发射速度为 v 0 , (1)求子弹弹道曲线的参数方程(不计空气阻力)
11

(2)若 Vo ? 100 m / s , ? ? ① 求炮弹高度 ② 求出炮弹的射程

?
6

,当炮弹发出 2 秒时,

例 2.求椭圆的参数方程(见教材 P.40) 椭圆

x2 y2 ? ? 1 参数方程 a2 b2

s ?x ? a c o ? ( ? 为参数) ? ? ?y ? bs i n

变式训练 1. 已知椭圆 ? 求 (1) ? ?

? x ? 3 cos? ? y ? 2 sin ?

( ? 为参数)

?
6

时对应的点 P 的坐标

(2)直线 OP 的倾斜角

变式训练 2 A 点椭圆长轴一个端点,若椭圆上存在一点 P,使∠OPA=90°,其中 O 为椭圆中心,求 椭圆离心率 e 的取值范围。

例 3.把圆 x ? y ? 6 x ? 0 化为参数方程
2 2

(1) 用圆上任一点过原点的弦和 x 轴正半轴夹角 ? 为参数 (2) 用圆中过原点的弦长 t 为参数 三、巩固与练习 四、小 结:本节课学习了以下内容: 1.选择适当的参数表示曲线的方程的方法; 2.体会参数的意义 第 108 课时圆锥曲线参数方程的应用 教学目的: 知识与技能:利用圆锥曲线的参数方程来确定最值,解决有关点的轨迹问题 过程与方法:选择适当的参数方程求最值。 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:选择适当的参数方程求最值。 教学难点:正确使用参数式来求解最值问题 授课类型:新授课 教学模式:讲练结合 教学过程: 一、复习引入:
12

通过参数 ? 简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中以计算问题化为三角问题,从而运用三角性 质及变换公式帮助求解诸如最值,参数取值范围等问题。 二、讲解新课: 例 1.求椭圆的内接矩形面积的最大值

变式训练 1 椭圆

x2 y2 (O ? ? 1 ( a ? b ? 0 )与 x 轴正向交于点 A,若这个椭圆上存在点 P,使 OP⊥AP, a2 b2

为原点) ,求离心率 e 的范围。

例 2.AB 为过椭圆

x2 y2 ? ? 1 中心的弦, F1 , F2 为焦点,求△ABF1 面积的最大值。 25 16

例 3. 抛物线 y ? 4 x 的内接三角形的一个顶点在原点, 其重心恰是抛物线的焦点, 求内接三角形的周长。
2

例4 、过 P(0,1)到双曲线 x ? y ? 1 最小距离
2 2

变式训练 2:
2 2 设 P 为等轴双曲线 x ? y ? 1 上的一点, F1 , F2 为两个焦点,证明 F1 P ? F2 P ? OP
2

例 5,在抛物线 y ? 4ax (a ? 0) 的顶点,引两互相垂直的两条弦 OA,OB,求顶点 O 在 AB 上射影 H
2

的轨迹方程。

第 109 课时直线的参数方程 教学目的: 知识与技能:了解直线参数方程的条件及参数的意义 过程与方法:能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:曲线参数方程的定义及方法 教学难点:选择适当的参数写出曲线的参数方程. 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 一、复习引入: 1.写出圆方程的标准式和对应的参数方程。 圆 x ? y ? r 参数方程 ?
2 2 2

? x ? r cos? ? y ? r sin ?

( ? 为参数)

13

(2)圆 ( x ? x0 ) ? ( y \ y 0 ) ? r 参数方程为: ?
2 2 2

? x ? x 0 ? r cos? ? y ? y 0 ? r sin ?

( ? 为参数)

2.写出椭圆参数方程. 3.复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角,如何表示直线的参数方程? 二、讲解新课: 1、 教师引导学生推导直线的参数方程: 过定点 P( x0 , y 0 ) 倾斜角为 ? 的直线的参数方程

s ? x ? x0 ? t c o ? ? ? ? y ? y0 ? t s i n

( t 为参数)

2、 辨析直线的参数方程: T 的几何意义是指它表示点 P0P 的长,带符号. 三、直线的参数方程应用: 课本例题,此略. 第 110 课时参数方程与普通方程互化 教学目的: 知识与技能:掌握参数方程化为普通方程几种基本方法 过程与方法:选取适当的参数化普通方程为参数方程 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:参数方程与普通方程的互化 教学难点:参数方程与普通方程的等价性 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教学过程: 一、复习引入: (1)圆的参数方程 (2)椭圆的参数方程 二、讲解新课: 1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种: (1) 代入法:利用解方程的技巧求出参数 t,然后代入消去参数 (2) 三角法:利用三角恒等式消去参数 (3) 整体消元法:根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去。 化参数方程为普通方程为 F ( x, y) ? 0 :在消参过程中注意变量 x 、 y 取值范围的一致性,必须根 据参数的取值范围,确定 f (t ) 和 g (t ) 值域得 x 、 y 的取值范围。 2、常见曲线的参数方程 (1)圆 x ? y ? r 参数方程 ?
2 2 2

? x ? r cos? ? y ? r sin ?
2

( ? 为参数)

(2)圆 ( x ? x0 ) ? ( y \ y 0 ) ? r 参数方程为: ?
2 2

? x ? x 0 ? r cos? ? y ? y 0 ? r sin ?

( ? 为参数)

14

x2 y2 (3)椭圆 2 ? 2 ? 1 参数方程 a b
(4)双曲线

s ?x ? a c o ? ( ? 为参数) ? ? ?y ? bs i n c ?x ? a s e ? ( ? 为参数) ? ? ?y ? b t a n
(t 为参数)

x2 y2 ? ? 1 参数方程 a2 b2
2

(5)抛物线 y ? 2 Px 参数方程 ?

? x ? 2 Pt 2 ? y ? 2 Pt

(6)过定点 P( x0 , y 0 ) 倾斜角为 ? 的直线的参数方程

s ? x ? x0 ? t c o ? ? ? ? y ? y0 ? t s i n

( t 为参数)

典型例题 1、 将下列参数方程化为普通方程
2 ? ? x ? t ? 2t (1) ? ?y ? t 2 ? 2 ?

(2) ?

? x ? sin ? ? cos? ? y ? sin 2?

t ?1 ? ?x ? t ? 2 ? (3) ? ? y ? 2t ? t?2 ?
变式训练 1

2 ? ?x ? 1 ? t 2 ? (4) ? ? y ? 2t ? 1? t2 ?

1 ? ? x ? 2(t ? t ) ? (5) ? ? y ? 3(t 2 ? 1 ) ? t2 ?

1 ? ?x ? t ? 2、 (1)方程 ? t ?y ? 2 ?
A、一条直线

表示的曲线

B、两条射线
2

C、一条线段

D、抛物线的一部分

(2)下列方程中,当方程 y ? x 表示同一曲线的点

?x ? t A、 ? 2 ?y ? t

2 ? ? x ? sin t B、 ? ? y ? sin t ?

?x ? 1 ? 1 C、 ? ?y ? t

1 ? xos2t ? ?x ? D、 ? 1 ? cos 2t ? y ? tan t ?

例 2 化下列曲线的参数方程为普通方程,并指出它是什么曲线。 (1) ?

?x ? 1 ? 2 t ? ?y ? 3 ? 4 t ?
x? t 1 ? 2t 2 1 ? 2t 2 y? 1 ? 2t 2

(t 是参数)

(2)

x ? 2c o ? s y ? c o s? 2

( ? 是参数)

(3)

(t 是参数)

15

变式训练 2。P 是双曲线 ?

? x ? 4 sin ? (t 是参数)上任一点, F1 , F2 是该焦点: ? y ? 3 tan?

求△F1F2 的重心 G 的轨迹的普通方程。 例 3、已知圆 O 半径为 1,P 是圆上动点,Q(4,0)是 x 轴上的定点,M 是 PQ 的中点,当点 P 绕 O 作 匀速圆周运动时,求点 M 的轨迹的参数方程。 变式训练 3: 已知 P( x, y ) 为圆 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 4 上任意一点,求 x ? y 的最大值和最小值。
2 2

第二章 参数方程 【课标要求】 1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。 2、理解直线的参数方程及其应用;理解圆和椭圆(椭圆的中心在原点)的参数方程及其简单应用。 3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。 第一课时 一、教学目标: 1.通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系,写出抛物运动轨迹的参数方程,体会参数的意 义。 2.分析曲线的几何性质,选择适当的参数写出它的参数方程。 二、教学重点:根据问题的条件引进适当的参数,写出参数方程,体会参数的意义。 教学难点:根据几何性质选取恰当的参数,建立曲线的参数方程。 三、教学方法:启发诱导,探究归纳 四、教学过程 (一) .参数方程的概念 1.问题提出:铅球运动员投掷铅球,在出手的一刹那,铅球的速度为 铅球运动的轨迹呢? 2.分析探究理解: (1) 、斜抛运动:
y v=v0

参数方程的概念

?

0 ,与地面成

? 角,如何来刻画

? x ? v0 cos? ? t ? ? 1 2 (t为参数) ? y ? v0 sin ? ? t ? 2 gt ?

?
O x

(2) 、抽象概括:参数方程的概念。说明: (1)一般来说,参数的变化范围是有限制的。 (2)参数是联系变量 x,y 的桥梁,可以有实际意义,也可无实际意义。
16

(3)平抛运动:

y 500 v=100m/s A

? x ? 100 t ? (t为参数) ? 1 y ? 500 ? gt 2 ? 2 ?
(4)思考交流:把引例中求出的铅球运动的轨迹

O

x

的参数方程消去参数 t 后,再将所得方程与原方程进行比较,体会参数方程的作用。 (二) 、应用举例: 例 1、已知曲线 C 的参数方程是 ? 的位置关系; (2)已知点

? x ? 3t
2 ? y ? 2t ? 1

(t 为参数)(1)判断点 M 1 (0,1),

M 2 (5,4)与曲线 C

M 3 (6,a)在曲线 C 上,求 a 的值。

分析:只要把参数方程中的 t 消去化成关于 x,y 的方程问题易于解决。学生练习。 反思归纳:给定参数方程要研究问题可化为关于 x,y 的方程问题求解。

例 2、设质点沿以原点为圆心,半径为 2 的圆做匀速(角速度)运动,角速度为 rad/s,试以时间 t 为参数,建立质点运动轨迹的参数方程。

? 60

解 析 : 如图 , 运动 开 始时 质 点 位于 A 点 处, 此时 t=0 , 设 动点 M ( x,y) 对 应 时刻 t, 由 图可 知

{

x ?2cos? y ?2sin?

又? ?

? 60

t ,得参数方程为

{

? x ? 2cos 60 t ? y ? 2sin 60 t
3000
Y

(t ? 0) 。

2500

2000

1500

1000

M

500

A
X

-4000

-3000

-2000

-1000

1000

2000

3000

4000

5000

-500

-1000

c1

-1500

-2000

-2500

-3000

反思归纳:求曲线的参数方程的一般步骤。 (三) 、课堂练习: (四) 、小结:1.本节学习的数学知识;2、本节学习的数学方法。学生自我反思、教师引导,抓住重点 知识和方法共同小结归纳、进一步深化理解。 (五) 、作业: 补充:设飞机以匀速 v=150m/s 作水平飞行,若在飞行高度 h=588m 处投弹(设投弹的初速度等于飞机 的速度,且不计空气阻力)(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程; 。 (2)试问飞机在离目标多远(水平距离)
17

处投弹才能命中目标。简解: (1) ? 第二课时 一、教学目标:

?

x ? 150t

2 ? y ? 588 ? 4.9t

(2)1643m。 (t为参数) 。

圆的参数方程及应用

知识与技能:分析圆的几何性质,选择适当的参数写出它的参数方程。利用圆的几何性质求最值(数 形结合) 过程与方法:能选取适当的参数,求圆的参数方程 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 二、重难点:教学重点:能选取适当的参数,求圆的参数方程 教学难点:选择圆的参数方程求最值问题. 三、教学方法:启发、诱导发现教学. 四、教学过程:
O y r M

?
x M0 x

(一) 、圆的参数方程探求 1、根据图形求出圆的参数方程,教师准对问题讲评。

? x ? r cos? ? ? y ? r sin ?

(?为参数) 这就是圆心在原点、半径为 r 的圆的参数方程。

说明: (1)参数θ 的几何意义是 OM 与 x 轴正方向的夹角。 (2)随着选取的参数不同,参数方程形式也有 不同,但表示的曲线是相同的。 (3)在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。

? x ? 2 cos? ? 5 2、指出参数方程? (?为参数)所表示圆的圆心坐标、半径,并化为普通方程。 ? y ? 3 ? 2 sin ?
8 6 4
P

2

A

-10

-5

C

5

10

-2

c1
-4

-6

-8

3、若如图取<PAX=θ ,AP 的斜率

为 K,如何建立圆的参数方程,同学们讨论交流,自我解决。 结论:参数取的不同,可以得到圆的不同形式的参数方程。 4,反思归纳:求参数方程的方法步骤。 (二) 、应用举例

45 (? 为参数)和c 2 : ? 例 1、已知两条曲线的参数方程 c1 : ? 0 (t为参数) y ?5sin ? y ?3?t sin 45
18

x ?5cos?

x ? 4 ?t cos

0

(1) 、判断这两条曲线的形状; 、求这两条曲线的交点坐标。学生练习,教师准对问题讲评。 (2) (三) 、最值问题:利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值(数形结合) 例 2、1、已知点 P(x,y)是圆 x ? y ? 6 x ? 4 y ? 12 ? 0 上动点,求(1) x ? y 的最值,
2 2 2 2

(2)x+y 的最值, (3)P 到直线 x+y- 1=0 的距离 d 的最值。 解:圆 x ? y ? 6 x ? 4 y ? 12 ? 0 即 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 1 ,用参数方程表示为 {
2 2 2 2

x ? 3 ? cos? y ? 2 ? sin ?

由于点 P 在圆上,所以可设 P(3+cosθ ,2+sinθ ) , (1) x ? y ? (3 ? cos? ) ? (2 ? sin ? ) ? 14 ? 4 sin ? ? 6 cos? ? 14 ? 2 13 sin(? ? ? )
2 2 2 2

(其中 tan

? = ) ∴ x 2 ? y 2 的最大值为 14+2

3 2

13 ,最小值为 14- 2 13



(2) x+y= 3+cosθ + 2+sinθ =5+ 2 sin θ + (

? 4

) x+y 的最大值为 5+ ∴

2

, 最小值为 5 - 2 。

(3)

d?

3 ? cos ? ? 2 ? sin ? ? 1 2

4 ? 2 sin(? ? ? 2

?
4

)

显然当 sin( θ +

? 4

)= ? 1 时,d 取最大值,最小值,分别为 1 ? 2 2 , 1 ? 2 2 .
2 2

2、 过点(2,1)的直线中,被圆 x +y -2x+4y=0 截得的弦:为最长的直线方程是_________;为最短的直线 方程是__________; 3、若实数 x,y 满足 x +y -2x+4y=0,则 x-2y 的最大值为 (三) 、课堂练习:学生练习:1、2 (四) 、小结:1、本课我们分析圆的几何性质,选择适当的参数求出圆的参数方程。2、参数取的不同, 可以得到圆的不同形式的参数方程。从中体会参数的意义。3、利用参数方程求最值。要求大家掌握方法 和步骤。 (五) 、作业: 1、方程 x 2 ? y 2 ? 4tx ? 2ty ? 5t 2 ? 4 ? 0 (t 为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是(D) A.一个定点 2、已知 ? B.一个椭圆 C.一条抛物线 D.一条直线
2 2



? x ? 2 ? cos? (?为参数) ,则 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 4) 2 的最大值是 6。 y ? sin ? ?

19

第三课时 圆锥曲线的参数方程 四、教学过程: (一) 、复习引入: 1.写出圆方程的标准式和对应的参数方程。 (1)圆 x ? y ? r 参数方程 ?
2 2 2

? x ? r cos? ? y ? r sin ?
2

( ? 为参数)

(2)圆 ( x ? x0 ) ? ( y \ y 0 ) ? r 参数方程为: ?
2 2

? x ? x 0 ? r cos? ? y ? y 0 ? r sin ?

( ? 为参数)

2.写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。 3.能模仿圆参数方程的推导,写出圆锥曲线的参数方程吗? (二) 、讲解新课: 1.椭圆的参数方程推导:椭圆

x2 y2 ? ? 1 参数方程 a2 b2

? x ? a cos? ( ? 为参数),参数 ? 的几何意 ? ? y ? b sin ?

义是以 a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与 X 轴正半轴的夹角。
6 5

4

3

A

2

1

M

-8

-6

-4

-2 -1

O

L1

2

N

4

6

8

10

-2

-3

-4

-5

-6

-7

参数 ? 几何意义为以 a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与 X 轴正半轴的夹角。 (1) 、关于参数几点说明: A.参数方程中参数可以是有物理意义,几何意义,也可以没有明显意义。 B.同一曲线选取的参数不同,曲线的参数方程形式也不一样 C.在实际问题中要确定参数的取值范围 (2)、参数方程的意义: 参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式,它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地 联系起来,参数方程与变通方程同等地描述,了解曲线,参数方程实际上是一个方程组,其中 x , y 分 别为曲线上点 M 的横坐标和纵坐标。 (3) 、参数方程求法: (A)建立直角坐标系,设曲线上任一点 P 坐标为 ( x, y ) ; (B)选取适当的参数; (C)根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,建立点 P 坐标与参数的函数式; (D)证明这个参数方
20

程就是所由于的曲线的方程 (4)、关于参数方程中参数的选取:选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系 相对简单。与运动有关的问题选取时间 t 做参数;与旋转的有关问题选取角 ? 做参数;或选取有向线段的 数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。 4、椭圆的参数方程常见形式: (1) 、椭圆
x ?b cos? y ?a sin?

x2 y2 ? ? 1 参数方程 a2 b2

? x ? a cos? ( ? 为参数) ;椭圆 ? ? y ? b sin ?

2 x ? y ? 1(b ? a ? 0) 的参数方程是 2 2 b a

2

?

(?为参数,且0 ? ? ? 2?).
x?

(2) 、以 (

。 x , y ) 为中心焦点的连线平行于 x 轴的椭圆的参数方程是{y ? y ?b sin? (? 为参数) (3)在
0 0
0

x 0? a cos?

利用 ?

? x ? a cos? 研究椭圆问题时,椭圆上的点的坐标可记作(acos ? ,bsin ? ) 。 ? y ? b sin ?

(三) 、巩固训练

1 ? ?x ? t ? t (t为参数) 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 4 。 1、曲线 ? 1 ?y ? t ? t ?
2、曲线 ? A.
1 2
? x ? cos? ? y ? sin ? (?为参数) 上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是(D)

B.

2 2

C.1

D. 2

3、已知椭圆 ?

? x ? 3 cos? ? y ? 2 sin ?

( ? 为参数) 求 (1) ? ?

?
6

时对应的点 P 的坐标

(2)直线 OP 的倾斜角

例 3、设 P 是椭圆 36 点 P 的坐标。

x ?

2

y
4

2

? 1 在第一象限部分的弧 AB 上的一点,求使四边形 OAPB 的面积最大的

分析:本题所求的最值可以有几个转化方向,即转化为求 点 P 到 AB 的最大距离,或者求四边形 OAPB 的最大值。

s

?POA ?

s

?poB ,

S

OAPB 的最大值或者求

? 学生练习,教师准对问题讲评。 ? = 4 【
(三) 、巩固训练

时四边形 OAPB 的最大值=6 2 ,此时点 P 为(3 2 ,2)】 。

21

1、直线 ? A.

? x ? t cos? ? x ? 4 ? 2 cos? (?为参数) 与圆 ? (?为参数) 相切,那么直线的倾斜角为(A) y ? t sin ? ? ? y ? 2 sin ?

? 5? 或 6 6

B.

? 3? 或 4 4

C.

? 2? 或 3 3

D. ?

?
6

或?

5? 6

x2 y2 2、椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )与 x 轴正向交于点 A,若这个椭圆上存在点 P,使 OP⊥AP, 为原 (O a b
点) ,求离心率 e 的范围。 5、求直线 ?
?x ? 1 ? t ?y ? 1? t

与圆 x 2 ? y 2 ? 4 的交点坐标。 (t为参数)
2 2

解: 把直线的参数方程代入圆的方程, 得(1+t) +(1-t) =4,得 t=±1,分别代入直线方程,得交点为 (0, 2)和(2,0) 。 第五课时 直线的参数方程

一、教学目标: 知识与技能:了解直线参数方程的条件及参数的意义 过程与方法:能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 二重难点:教学重点:曲线参数方程的定义及方法 教学难点:选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法:启发、诱导发现教学. 四、教学过程 (一) 、复习引入: 1.写出圆方程的标准式和对应的参数方程。 圆 x ? y ? r 参数方程 ?
2 2 2

? x ? r cos? ? y ? r sin ?
2 2

( ? 为参数)

(2)圆 ( x ? x0 ) ? ( y \ y 0 ) ? r 参数方程为: ?
2

? x ? x 0 ? r cos? ? y ? y 0 ? r sin ?

( ? 为参数)

2.写出椭圆参数方程. 3.复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角,如何表示直线的参数方程? (二) 、讲解新课: 1、问题的提出:一条直线 L 的倾斜角是 30 0 ,并且经过点 P(2,3) ,如何描述直线 L 上任意点的位 置呢? 如果已知直线 L 经过两个
22

Y P

L M Q

A

定点 Q(1,1) ,P(4,3) , 那么又如何描述直线 L 上任意点的 位置呢? 2、教师引导学生推导直线的参数方程: (1)过定点 P( x0 , y 0 ) 倾斜角为 ? 的直线的 参数方程

? x ? x0 ? t cos? ? ? y ? y 0 ? t sin ?

( t 为参数)

【辨析直线的参数方程】 设 M(x,y)为直线上的任意一点, : 参数 t 的几何意义是指从点 P 到点 M 的位 移,可以用有向线段 PM 数量来表示。带符号. ( 2 )、 经 过 两 个 定 点 Q (

???? ?

x,y)
1 1

,P (

x ,y )
2 2

(其中

x ?x
1

2

)的直线的参数方程为

Y L P M Q A N B

O

X

{

x? y?

x1?? X 2 1?? y1?? y 2 1??

(?为参数,? ? ?1) 。其中点 M(X,Y)为直线上的任意一点。这里参数 ? 的几何意义与参数方
??? ?
QM

程(1)中的 t 显然不同,它所反映的是动点 M 分有向线段 QP 的数量比 MP 。当 ? ? o 时,M 为内分点; 当 ? ? o 且 ? ? ?1 时,M 为外分点;当 ? ? o 时,点 M 与 Q 重合。 (三) 、直线的参数方程应用,强化理解。 1、例题: 学生练习,教师准对问题讲评。反思归纳:1、求直线参数方程的方法;2、利用直线参数方程求交点。 2、巩固导练: 补充:1、直线 ? A.
? x ? t cos? ? x ? 4 ? 2 cos? (?为参数) 与圆 ? (?为参数) 相切,那么直线的倾斜角为(A) ? y ? t sin ? ? y ? 2 sin ?

? 5? 或 6 6

B.

? 3? 或 4 4

C.

? 2? 或 3 3
23

D. ?

?
6

或?

5? 6

2、 (2009 广东理) (坐标系与参数方程选做题) 若直线 l1 : ? 为参数)垂直,则 k ? 解:直线 l1 : ? .

? x ? 1 ? 2t , ? x ? s, (t为参数) 与直线 l2 : ? (s ? y ? 2 ? kt. ? y ? 1 ? 2 s.

? x ? 1 ? 2t , k (t为参数) 化为普通方程是 y ? 2 ? ? ( x ? 1) , 2 ? y ? 2 ? kt. k 该直线的斜率为 ? , 2 ? x ? s, 直线 l2 : ? ( s 为参数)化为普通方程是 y ? ?2 x ? 1, ? y ? 1 ? 2 s. 该直线的斜率为 ? 2 ,

则由两直线垂直的充要条件,得 ? ?

? k? ? ? ?? 2 ? ? ?1 , ? 2?

k ? ?1。

(四) 、小结: (1)直线参数方程求法; (2)直线参数方程的特点; (3)根据已知条件和图形的几何性质, 注意参数的意义。 (五) 、作业: 补充: (2009 天津理)设直线 l1 的参数方程为 ? 则 l1 与 l 2 的距离为_______ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【考点定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离,基础题。 解析:由题直线 l1 的普通方程为 3 x ? y ? 2 ? 0 ,故它与与 l 2 的距离为

?x ? 1? t (t 为参数) ,直线 l 2 的方程为 y=3x+4 ? y ? 1 ? 3t

|4? 2| 10

?

3 10 。 5

第六课时 一、教学目标:

参数方程与普通方程互化

知识与技能:掌握参数方程化为普通方程几种基本方法 过程与方法:选取适当的参数化普通方程为参数方程 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 二、重难点:教学重点:参数方程与普通方程的互化 教学难点:参数方程与普通方程的等价性 三、教学方法:启发、诱导发现教学. 四、教学过程: (一) 、复习引入: (1) 、圆的参数方程; 、椭圆的参数方程; 、直线的参数方程; (2) (3) (二) 、新课探究: 1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种:
24

(1) 代入法:利用解方程的技巧求出参数 t,然后代入消去参数 (2) 三角法:利用三角恒等式消去参数 (3) 整体消元法:根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去。 化参数方程为普通方程为 F ( x, y) ? 0 :在消参过程中注意变量 x 、 y 取值范围的一致性,必须根据 参数的取值范围,确定 f (t ) 和 g (t ) 值域得 x 、 y 的取值范围。 2、探析常见曲线的参数方程化为普通方程的方法,体会互化过程,归纳方法。 (1)圆 x ? y ? r 参数方程 ?
2 2 2

? x ? r cos? ? y ? r sin ?
2

( ? 为参数)

(2)圆 ( x ? x0 ) ? ( y \ y 0 ) ? r 参数方程为: ?
2 2

? x ? x 0 ? r cos? ? y ? y 0 ? r sin ?

( ? 为参数)

(3)椭圆

x2 y2 ? ? 1 参数方程 a2 b2

? x ? a cos? ( ? 为参数) ? ? y ? b sin ? ? x ? a sec? ( ? 为参数) ? ? y ? b tan?
(t 为参数)

x2 y2 (4)双曲线 2 ? 2 ? 1 参数方程 a b
(5)抛物线 y ? 2 Px 参数方程 ?
2

? x ? 2 Pt 2 ? y ? 2 Pt

(6)过定点 P( x0 , y 0 ) 倾斜角为 ? 的直线的参数方程

? x ? x0 ? t cos? ? ? y ? y 0 ? t sin ?

( t 为参数)

3、理解参数方程与普通方程的区别于联系及互化要求。 (二) 、例题探析 例 1、将下列参数方程化为普通方程 (1) ?
2 ? ? x ? t ? 2t 2 ? ?y ? t ? 2

(2) ?

? x ? sin ? ? cos? ? y ? sin 2?

t ?1 ? ?x ? t ? 2 ? (3) ? ? y ? 2t ? t?2 ?

2 ? ?x ? 1 ? t 2 ? (4) ? ? y ? 2t ? 1? t2 ?

1 ? ? x ? 2(t ? t ) ? (5) ? ? y ? 3(t 2 ? 1 ) ? t2 ?

学生练习,教师准对问题讲评,反思归纳方法。 例 2 化下列曲线的参数方程为普通方程,并指出它是什么曲线。
25

(1) ?

?x ? 1 ? 2 t ? ?y ? 3 ? 4 t ?

(t 是参数) (2)

x ? 2 cos? y ? cos 2?

x?
( ? 是参数) (3)

t 1 ? 2t 2 1 ? 2t 2 y? 1 ? 2t 2

(t 是参数)

学生练习,教师准对问题讲评,反思归纳方法。 例 3、已知圆 O 半径为 1,P 是圆上动点,Q(4,0)是 x 轴上的定点,M 是 PQ 的中点,当点 P 绕 O 作匀 速圆周运动时,求点 M 的轨迹的参数方程。 学生练习,教师准对问题讲评,反思归纳方法。 (三) 、巩固导练:

1 ? ?x ? t ? 1、 (1)方程 ? t ?y ? 2 ?
A、一条直线

表示的曲线(

) 。

B、两条射线
2

C、一条线段

D、抛物线的一部分

(2)下列方程中,当方程 y ? x 表示同一曲线的点

A、 ?

?x ? t
2 ?y ? t

B、 ?

? x ? sin 2 t ? ? y ? sin t ?

C、 ?

?x ? 1 ? 1 ?y ? t

D、 ?

1 ? xos2t ? ?x ? 1 ? cos 2t ? y ? tan t ?

2、P 是双曲线 ?

? x ? 4 sin ? (t 是参数)上任一点, F1 , F2 是该焦点: ? y ? 3 tan?

求△F1F2 的重心 G 的轨迹的普通方程。 3、 已知 P( x, y ) 为圆 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 4 上任意一点,求 x ? y 的最大值和最小值。
2 2

三、参数方程 1.参数方程的意义

? x ? f (t ) 在平面直角坐标系中,若曲线 C 上的点 P( x, y ) 满足 ? ,该方程叫曲线 C 的参数方程,变量 t y ? f (t ) ? 是参变数,简称参数. 2.参数方程与普通方程的互化 (1)参数方程化为普通方程 常见参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线:
①?

?x ? x ? a t ? x ? a cos ? 0 (t为参数) ( ? 为参数) ② ? ; ; 0 ? y ? b sin ? ?y ? y ? b t

26

? x ? sin ? ③? ? ? [0, 2? ) ; 2 ? y ? cos ?

? ?x ? ④? ? ?y ? ? ?

a 1 (t ? ) 2 t (t 为参数) ; b 1 (t ? ) 2 t

⑤?

? x ? a ? r cos ? ( ? 为参数). ? y ? b ? r sin ?

注:参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程,不要忘了参数的范围! (2)普通方程化为参数方程 ①经过点 P ( x0,y0 )倾斜角为? 的参数方程; ②圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的参数方程;
2 2 2

③椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程; a 2 b2
2

④抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的参数方程.

注:普通方程化为参数方程需要引入参数,选择的参数不同,所得的参数方程也不一样。 考点 3 参数方程与直角坐标方程互化 例 3 已 知 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为 ?

? x ? ?2 ? 10 cos? ? ? y ? 10 sin ? ?

( ? 为 参 数 ) 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为 ,

? ? 2 cos? ? 6 sin? .
(1)将曲线 C1 的参数方程化为普通方程,将曲线 C 2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)曲线 C1 ,C 2 是否相交,若相交请求出公共弦的长,若不相交,请说明理由.

练习 1

P 是以原点为圆心,r=2 的圆上的任意一点, Q(6,0) ,M 是 PQ 中点,当点 P 在圆上运动时,

求点 M 的轨迹的参数方程.

练2 考点 4

在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(x,y ) 是椭圆 利用参数方程求值域

x2 ? y 2 ? 1 上的一个动点,求 S ? x ? y 的最大值. 3

例4

1 ? x ? ?2 2 ? t ? ? ? x ? 1 ? cos? 2 (t为参数) (?为参数) 上求一点, 在曲线 C1 :? 使它到直线 C 2 :? ? y ? sin ? ? y ? 1? 1 t ? ? 2

的距离最小,并求出该点坐标和最小距离.

27

练习 1

在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 动 圆 x + y - 8x cos? - 6 y sin ? + 7cos ? + 8 = 0 的 圆 心 为
2 2 2

P( x, y ) ,求 2x -

y 的取值范围.
3 ? ?x ? ? 5 t ? 2 , ( t 为参数) ? 2 sin? ,设直线 L 的参数方程是 ? 4 . ?y? t 5 ?

练习 2 已知曲线 C 的极坐标方程是 ?

(1)将曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程; (2)设直线 L 与 x 轴的交点是 M , N 曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值.

考点 5 直线参数方程中的参数的几何意义 例 5 已知直线 l 经过点 P( 1 , 1 ) ,倾斜角 ? ? ①写出直线 l 的参数方程; ②设 l 与圆 x ? y ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积.
2 2

?
6

.

4 ? ?x ? 1? 5 t ? ? 练习 1 求直线 ? ( t为参数 )被曲线 ? ? 2 c o s (? 所截的弦长. ? ) 4 ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ?

练习 2 已知直线 l是过点P(?1,2), 倾斜角为 ?的直线.圆方程? ? 2 cos( ? ? (1)求直线 l 的参数方程; (2)设直线 l 与圆相交于 M、N 两点,求 PM· 的值. PN 三、参数方程 1.参数方程的意义

2 3

?
3

).

? x ? f (t ) 在平面直角坐标系中,若曲线 C 上的点 P( x, y ) 满足 ? ,该方程叫曲线 C 的参数方程,变量 t 是参 ? y ? f (t ) 变数,简称参数 2.参数方程与普通方程的互化 (1)参数方程化为普通方程 常见参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线:
⑴?

? x ? a cos ? ( ? 为参数) ; ? y ? b sin ?

⑵?

? x ? x0 ? at (t为参数) ? y ? y0 ? bt
a 1 (t ? ) 2 t (t 为参数) b 1 (t ? ) 2 t

? x ? sin ? (3) ? ? ? [0, 2? ) 2 ? y ? cos ?

? ?x ? (4) ? ? ?y ? ? ?

28

(5) ?

? x ? a ? r cos ? ( ? 为参数) ? y ? b ? r sin ?

☆参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程,不要忘了参数的范围! (2)普通方程化为参数方程 常见化普通方程为参数方程, 1、圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的参数方程。
2 2 2

2、经过点 P ( x0,y0 )倾斜角为?的参数方程 。

x2 y 2 3、椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程。 a b 2 4、抛物线 y ? 2 px( p ? 0)
普通方程化为参数方程需要引入参数,选择的参数不同,所得的参数方程也不一样。 二、考点阐述 考点 1、极坐标与直角坐标互化 例题 1、在极坐标中,求两点 P(2,

?

), Q(2,? ) 之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程。 4 4

?

练习 1.1、已知曲线 C1,C2 的极坐标方程分别为 ? cos ? ? 3 , ? ? 4 cos ? ? ? ≥ 0,≤? ? 0 线 C1 与 C2 交点的极坐标为 .

? ?

π? ? ,则曲 2?

?? ? 2 3 ? ? cos ? ? 3 ? ? ( ? ? 0,0 ? ? ? ) 解 得 ? 【解析】我们通过联立解方程组 ? ,即两曲线的交点为 ? 2 ?? ? ? ? 4cos ? ? 6 ?

(2 3, ) 。 6
1.2. (宁夏 09)已知圆 C: ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 1 ,则圆心 C 的极坐标为_______ ( ? ? 0, 0 ? ? ? 2? )
2 2

?

答案: (2, (

2? ) 3



练习 1.2(2009 丹东) (1)已知点 c 极坐标为 (2, 出解题过程) ;

?
3

) ,求出以 C 为圆心,半径 r=2 的圆的极坐标方程(写

(2)P 是以原点为圆心,r=2 的圆上的任意一点, Q(6,0) ,M 是 PQ 中点,当点 P 在圆上运动时,求 点 M 的轨迹的参数方程。

解:1)如图所示,设M为圆上一点,M (? ,? ), (

则?MOC ? ? ?

?
3



?

? ?,由余弦定理得4 ? ? 2 ? 4? cos(? ? ) ? 4 3 3
29

?

?极坐标方程为? =4cos(? ? )。 3
(2)依题意 ? o的参数方程为 ?

?

? x ? 2cos? 设M(x,y),点P(2cos? ,2sin? ). ? y=2sin?

? M为PQ中点,Q(6, ? M的参数方程为 0),
6 ? 2sin ? ? ?x ? ? x ? 3 ? cos? ? 2 即? ? ? y=sin? ? y ? 2sin ? ? ? 2
考点 2、极坐标与直角坐标方程互化 例题 2、福建省龙岩市 2009 年 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4sin ? .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半

? 2 t ?x ? ? 2 (t为 参数) P 是曲线 C 上的 轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ? ,点 ?y ? ? 4? 2 t ? ? 2 动点,点 Q 是直线 l 上的动点,求| PQ |的最小值.
解:曲线 C 的极坐标方程 ? ? 4sin ? 可化为 ? ? 4 ? sin ? ,
2

其直角坐标方程为 x ? y ? 4 y ? 0 ,即 x ? ( y ? 2) ? 4 .
2 2 2 2

?????(3分)

直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 . 所以,圆心到直线 l 的距离 d ?

?2 ? 4 2

?3 2

????????(6分)

所以, PQ 的最小值为 3 2 ? 2 .
2

??????????(10分)
2

练习 2.1、 (沈阳二中 2009)设过原点 O 的直线与圆 C : ( x ? 1) ? y ? 1 的一个交点为 P ,点 M 为线段

OP 的中点。
(1) 求圆 C 的极坐标方程; (2) 求点 M 轨迹的极坐标方程,并说明它是什么曲线. 解:圆 ( x ? 1) ? y ? 1 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? ??4 分
2 2

设点 P 的极坐标为 ( ?1 ,?1 ) ,点 M 的极坐标为 ( ? ,? ) , ∵点 M 为线段 OP 的中点, ∴ ?1 ? 2 ? , ?1 ? ? ??7 分 将 ?1 ? 2 ? , ?1 ? ? 代入圆的极坐标方程,得 ? ? cos ?
30

∴点 M 轨迹的极坐标方程为 ? ? cos ? ,它表示圆心在点 ( , 0) ,半径为 练习 2.2 考点 3、参数方程与直角坐标方程互化 例题 3: (2009 学年海南省)已知曲线 C1 的参数方程为 ? 坐标方程为 ? ? 2 cos? ? 6 sin? .

1 2

1 的圆. ??10 分 2

? ? x ? ?2 ? 10 cos? ? y ? 10 sin ? ?

( ? 为参数) ,曲线 C 2 的极

(1)将曲线 C1 的参数方程化为普通方程,将曲线 C 2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)曲线 C1 , C 2 是否相交,若相交请求出公共弦的长,若不相交,请说明理由. 解: (1)由 ?

? x ? ?2 ? 10 cos? ? ? y ? 10 sin ? ?

得 ( x ? 2) ? y ? 10
2 2

∴曲线 C1 的普通方程为 ( x ? 2) ? y ? 10
2 2

∵ ? ? 2 cos? ? 6 sin?
2 2 2

∴ ? ? 2 ? cos? ? 6 ? sin ?
2

∵ ? ? x ? y , x ? ? cos? , y ? ? sin ?
2

∴ x ? y ? 2 x ? 6 y ,即 ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 10
2 2 2 2 2

∴曲线 C 2 的直角坐标方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 10 ????????(5分) (2)∵圆 C1 的圆心为 (?2,0) ,圆 C 2 的圆心为 (1,3) ∴ C 1C 2 ?

(?2 ? 1) 2 ? (0 ? 3) 2 ? 3 2 ? 2 10 ∴两圆相交

设相交弦长为 d ,因为两圆半径相等,所以公共弦平分线段 C1C2 ∴( ) ? (
2

d 2

3 2 2 ) ? ( 10 ) 2 ∴ d ? 22 2

∴公共弦长为 22 ????????(10 分) 练习 3.1(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程. 已知曲线 C: ?

? x ? 3 ? 2 cos ? ? y ? 1 ? 2 sin ?

(? 为参数,0≤ ? <2π ),

(Ⅰ)将曲线化为普通方程; (Ⅱ)求出该曲线在以直角坐标系原点为极点, x 轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程. (Ⅰ) x ? y ? 2 3 x ? 2 y ? 0
2 2

(Ⅱ) ? ? 2

?

3 cos ? ? sin ?

?

? 5分 ? 10 分
2 t? 2 2 (t为参数) 。 2 t 2

? ?x ? ? x ? cos ? 练习 3.2(08 海南)已知曲线 C1: ? (? 为参数) ,曲线 C2: ? ? ? y ? sin ? ?y ? ? ?
31

C

A

E O

B

D

(1)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数; (2)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线
F

C1 ' , C2 ' 。写出 C1 ' , C2 ' 的参数方程。 C1 ' 与 C2 ' 公共点的个数
和 C1 与 C2 公共点的个数是否相同?说明你的理由。 考点 4:利用参数方程求值域 例题 4、 (2008 年宁夏)

1 ? ? x ? ?2 2 ? 2 t ? x ? 1 ? cos? ? (?为参数) 上求一点,使它到直线 C 2 : ? 在曲线 C1 : ? 的距 (t为参数) 1 ? y ? sin ? ? y ? 1? t ? ? 2
离最小,并求出该点坐标和最小距离。 解:直线 C2 化成普通方程是 x+y-2 2 -1=0?????????????2 分 设所求的点为 P(1+cos ? ,sin ? ),????????????????3 分 则 C 到直线 C2 的距离 d=
| 1 ? cos? ? sin ? ? 2 2 ? 1 | 2

??????????5 分

=|sin( ? + 当? ?

? )+2|??????????????7 分 4

?
4

?

3? 5? 时,即 ? = 时,d 取最小值 1????????????9 分 4 2
2 2 ,)??????????????10 分 2 2

此时,点 P 的坐标是(1练习 4.1

( 09 厦 门 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 动 圆 x2 + y 2 - 8x cos? - 6 y sin ? + 7cos2 ? + 8 = 0 的 圆 心 为
P( x, y ) ,求 2x - y 的取值范围..
ì x = 4cos q, ? 【解】由题设得 ? ( q 为参数, q ? R). í ? y = 3sin q ? ?

??????3 分

于是 2 x ? y ? 8cos ? ? 3sin ? ? 73 cos(? ? ? ) ???6 分 所以 ? 73≤2 x ? y≤ 73 . 练习 4.2. (宁夏 09) (本小题满分 10 分)
3 ? ?x ? ? 5 t ? 2 , ( t 为参数) 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 sin? ,设直线 L 的参数方程是 ? . 4 ?y? t 5 ?

??????10 分

(Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 L 与 x 轴的交点是 M , N 曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值. 答案: (本小题满分 10 分) 解: (1)曲线 C 的极坐标方程可化为:

? 2 ? 2? sin?
32



x2 ? y2 ? ? 2 ,

x ? ? cos ? ,

y ? ? sin? . x2 ? y2 ? 2y ? 0

所以,曲线 C 的直角坐标方程为:

(2)将直线 L 的参数方程化为直角坐标方程得: y ? ? 令

4 ( x ? 2) 3

y ? 0 得 x ? 2 即 M 点的坐标为 ( 2,0)

又曲线 C 为圆,圆 C 的圆心坐标为 ( 0,1) ,半径 r ? 1 , 则 MC ?

5

∴ MN ? MC ? r ?

5 ?1

考点 5:直线参数方程中的参数的几何意义 例题 5:2009 年泉州 已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ? ①写出直线 l 的参数方程; ②设 l 与圆 x ? y ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积.
2 2

?
6



? ? ? 3 t ?x ? 1? ? x ? 1 ? t cos 6 ? ? 2 . 解 (1)直线的参数方程为 ? ,即 ? ? y ? 1? 1 t ? y ? 1 ? t sin ? ? ? 6 ? ? 2
? 3 t ?x ? 1? ? 2 代入 x 2 ? y 2 ? 4 , (2)把直线 ? ? y ? 1? 1 t ? ? 2
得 (1 ?

3分

3 2 1 t ) ? (1 ? t ) 2 ? 4, t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 , t1t2 ? ?2 , 2 2

6分 10 分

则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2 . 练习 5.1 抚顺一中 2009

4 ? ?x ? 1? 5 t ? ? 求直线 ? ( t为参数 )被曲线 ? ? 2 cos(? ? ) 所截的弦长. 4 ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ?
? 解:将方程 ? ? 4 x ? 1? t 5 ,? ? ? ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ?

2 cos(? ? ) 分别化为普通方程: 4

?

3x ? 4 y ? 1 ? 0 , x 2 ? y 2 ? x ? y ? 0, --------------------------------------(5 分)
33

1 1 2 1 1 1 7 圆心C( ,- ),半径为 圆心到直线的距离d= ,弦长=2 r2 ? d 2 ? 2 ? ? . -----10 分 2 2 2 10 2 100 5
练习 5.2 大连市 2009 已知直线 l是过点P(?1,2), 倾斜角为 ?的直线.圆方程? ? 2 cos( ? ? (I)求直线 l 的参数方程; (II)设直线 l 与圆相交于 M、N 两点,求|PM|?|PN|的值。

2 3

?
3

).

1 ? 2? ? ? x ? ?1 ? 2 t , ? x ? ?1 ? t cos 3 , ? ? (t为参数) 。 (t为参数) ,即 ? 解: (Ⅰ) l 的参数方程为 ? ? y ? 2 ? 3 t. ? y ? 2 ? t sin 2? . ? ? 3 ? ? 2
(Ⅱ)由 ?

?5 分

? ? cos ? ? x, ? 可将 ? ? 2 cos(? ? ) ,化简得 x 2 ? y 2 ? x ? 3 y ? 0 。 3 ? ? sin ? ? y.

将直线 l 的参数方程代入圆方程得 t 2 ? (3 ? 2 3)t ? 6 ? 2 3 ? 0.

| ∵ t1t2 ? 6 ? 2 3 ,∴ | PM |? PN |?| t1t2 |? 6 ? 2 3 。 ????10 分
? x ? 1 ? 2t (t 为参数) ,则直线的斜率为() ? y ? 2 ? 3t

练习 5.3(宁夏 09)若直线的参数方程为 ? A.

3 2

B.

2 3

C.—

3 2

D.-

2 答案: (C ) 3
) 答案: ( D)

3、 (宁夏 09)极坐标方程ρ =cosθ 和ρ =sinθ 的两个圆的圆心距是( A. 2 一、选择题 B. 2 C. 1 D.

2 2

? x ? 1 ? 2t (t为参数) ,则直线的斜率为( ) ? y ? 2 ? 3t 2 2 3 3 A. B. ? C. D. ? 3 2 3 2 ? x ? sin 2? (? 为参数) 上的点是( 2.下列在曲线 ? ) ? y ? cos ? ? sin ? 1 3 1 A. ( , ? 2) B. (? , ) C. (2, 3) D. (1, 3) 2 4 2 ? x ? 2 ? sin 2 ? ? (? 为参数) 化为普通方程为( 3.将参数方程 ? ) 2 ? y ? sin ? ? A. y ? x ? 2 B. y ? x ? 2 C. y ? x ? 2(2 ? x ? 3) D. y ? x ? 2(0 ? y ? 1)
1.若直线的参数方程为 ? 4.化极坐标方程 ? cos ? ? ? ? 0 为直角坐标方程为(
2

) D. y ? 1

A. x ? y ? 0或y ? 1
2 2

B. x ? 1

C. x ? y ? 0或x ? 1
2 2

34

5.点 M 的直角坐标是 ( ?1, 3) ,则点 M 的极坐标为( A. (2,



?
3

3 6.极坐标方程 ? cos ? ? 2sin 2? 表示的曲线为(
A.一条射线和一个圆 B.两条直线 7.圆 ? ? 5cos ? ? 5 3 sin ? 的圆心坐标是( A. ( ?5, ?

)

B. (2, ?

?

)

C. (2,

2? ) 3

D. (2, 2k? ?

?
3

), (k ? Z )
D.一个圆

) C.一条直线和一个圆 ) D. (?5,

4? ) 3

B. ( ?5,

?
3

)

C. (5,

?
3

)

5? ) 3

二、填空题 x ? 3 ? 4t 8.直线 ? (t为参数) 的斜率为______________________。 ? ? y ? 4 ? 5t

? x ? et ? e ? t ? (t为参数) 的普通方程为__________________。 9.参数方程 ? t ?t ? y ? 2(e ? e ) ?
10.已知直线 l1 : ?

? x ? 1 ? 3t (t为参数) 与直线 l2 : 2 x ? 4 y ? 5 相交于点 B ,又点 A(1, 2) , ? y ? 2 ? 4t

则 AB ? _______________。
? 11.直线 ? ? 1 t 2 被圆 x 2 (t为参数) ? ? y ? ?1 ? 1 t ? ? 2 x ? 2?

? y 2 ? 4 截得的弦长为______________。

12.直线 x cos ? ? y sin ? ? 0 的极坐标方程为____________________。 13.极坐标方程分别为 ? ? cos ? 与 ? ? sin ? 的两个圆的圆心距为_____________。 三、解答题 1.已知点 P( x, y ) 是圆 x ? y ? 2 y 上的动点,
2 2

(1)求 2x ? y 的取值范围 (2)若 x ? y ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。

2.求直线 l1 : ?

?x ? 1? t ? (t为参数) 和直线 l2 : x ? y ? 2 3 ? 0 的交点 P 的坐标,及点 P ? y ? ?5 ? 3t ?

与 Q(1, ?5) 的距离。

3.在椭圆

x2 y2 ? ? 1 上找一点,使这一点到直线 x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离的最小值。 16 12

4、 (宁夏 09)已知椭圆 C 的极坐标方程为 ? 2 ?

12 ,点 F1,F2 为其左,右焦点,直线 l 的 3 cos ? ? 4 sin 2 ?
2

35

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 (t为参数,t ? R ) . 参数方程为 ? 2 ?y ? t ? 2 ?
(1)求直线 l 和曲线 C 的普通方程; (2)求点 F1,F2 到直线 l 的距离之和.

数学选修 4-4 一、选择题 1.D 2.B 3.C 4.C 5.C 6.C

坐标系与参数方程

k?

y ? 2 ?3t 3 ? ?? x ? 1 2t 2
2

转化为普通方程: y ? 1 ? x ,当 x ? ?

3 1 时, y ? 4 2

转化为普通方程: y ? x ? 2 ,但是 x ?[2,3], y ?[0,1]

? ( ? cos ? ? 1) ? 0, ? ? x 2 ? y 2 ? 0, 或? cos ? ? x ? 1
(2, 2k? ? 2? ), (k ? Z ) 都是极坐标 3

? cos ? ? 4sin ? cos ? , cos ? ? 0, 或? ? 4sin ? , 即? 2 ? 4 ? sin ?
则 ? ? k? ?

?
2

, 或 x2 ? y 2 ? 4 y

二、填空题 1. ?

5 4
2 2

k?

y ? 4 ?5t 5 ? ?? x ? 3 4t 4
y ? t ? x ? et ? e ? t ? x ? 2 ? 2e y y ? ? ?? ? ( x ? )( x ? ) ? 4 ?y t ?t 2 2 ? ? e ?e ? x ? y ? 2e ? t ?2 ? ? 2

2.

x y ? ? 1, ( x ? 2) 4 16

3.

5 2

将?

? x ? 1 ? 3t 1 5 5 代入 2 x ? 4 y ? 5 得 t ? ,则 B ( , 0) ,而 A(1, 2) ,得 AB ? 2 2 2 ? y ? 2 ? 4t
2 2 14 1 2 2 ) ? ? , 弦长的一半为 2 ? ( , 2 2 2 2

4. 14

直线为 x ? y ? 1 ? 0 , 圆心到直线的距离 d ?

得弦长为 14 5. ? ?

?
2

??

? cos? cos ? ? ? sin ? sin ? ? 0,cos(? ? ? ) ? 0 ,取 ? ? ? ?

?
2

三、解答题

36

1.解: (1)设圆的参数方程为 ?

? x ? cos ? , ? y ? 1 ? sin ?

2 x ? y ? 2cos ? ? sin ? ? 1 ? 5 sin(? ? ? ) ? 1
?? 5 ? 1 ? 2 x ? y ? 5 ? 1

? a ? ?(cos ? ? sin ? ) ? 1 ? ? 2 sin(? ? ) ? 1 (2) x ? y ? a ? cos ? ? sin ? ? 1 ? a ? 0 4 ? a ? ? 2 ?1
2.解:将 ?

?

?x ? 1? t ? 代入 x ? y ? 2 3 ? 0 得 t ? 2 3 , ? y ? ?5 ? 3t ?
(2 3) 2 ? 6 2 ? 4 3

得 P(1 ? 2 3,1) ,而 Q(1, ?5) ,得 PQ ? 3.解:设椭圆的参数方程为 ?

4 cos ? ? 4 3 sin ? ? 12 ? x ? 4 cos ? ? ,d ? 5 ? y ? 2 3 sin ? ?

?

4 5 4 5 ? cos ? ? 3 sin ? ? 3 ? 2 cos(? ? ) ? 3 5 5 3

当 cos(? ?

?
3

) ? 1 时, d min ?

4 5 ,此时所求点为 (2, ?3) 。 5
????????????3 分 ?????6 分 ???????7 分

4 解: (Ⅰ) 直线 l 普通方程为 y ? x ? 2 ; 曲线 C 的普通方程为
x y ? ?1. 4 3
2 2

(Ⅱ) ∵ F1 (?1, 0) , F2 (1, 0) , ∴点 F1 到直线 l 的距离 d1 ?

?1 ? 0 ? 2 2 1? 0 ? 2 2

?

3 2 , 2 2 , 2

???????8 分

点 F2 到直线 l 的距离 d 2 ? ∴ d1 ? d 2 ? 2 2. 参数方程与普通方程的互化 【学习目标】 学案

?

??????9 分

?????10 分

1.能通过消去参数将参数方程化为普通方程,由普通方程识别曲线的类型 2.能选择适当的参数将普通方程化成参数方程 【学习重难点】 参数方程与普通方程相互转化。
37

【学习过程】 一、导入新课 同学们,请回答下面的方程各表示什么样的曲线: 例:2x+y+1=0 表示直线

(1) y ? 3 x 2 ? 2 x ? 1 x2 y2 ? ?1 9 4 ? x ? cos? ? 3 (3)? (?为参数) ? y ? sin ? (2)

请同学们阅读课本 24 页,回答第(3)小题。 思考:1、通过什么样的途径,能从参数方程得到普通方程? 2、在参数方程与普通方程的互化中,要注意哪些方面?

二、例题选讲 【例 3】把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线 (1) ?

?x ? t ? 1 ? ?y ? 1? 2 t ?

(t 为参数)

(2) ?

? x ? sin ? ? cos? ? y ? 1 ? sin 2?

( ? 为参数)

解: (1)由 x ?

t ?1 ? 1 有 t ? x ?1

(2) x ? sin ? ? cos? ? 2 sin(? ? 所以 x ? ? 2 , 2 把

?
4

)

代入 y ? 1 ? 2 t 得到 y ? ?2 x ? 3( x ? 1) 这是以(1,1)为端点的一条射线 三.课堂练习
1、若曲线{

?

? ? ?

x ? 1 ? cos 2? y ? sin 2 ?

x ? sin? ? cos?平方后减去y ? 1 ? sin 2?
(?为参数), 则点( x, y )的轨迹是( B、以(2,0)为端点的射线 )

A、直线x ? 2 y ? 2 ? 0, C、圆( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1,

得到 x 2 ? y

x ? ? 2, 2

这是抛物线的一部分 D、以(2,0)和(0,1)为端点的线段
x ? 1? t y ? 1? t (t为参数)则它与曲线{ x ? 2 cos? y ? 2 sin ? (?为参数)

2、 若已知直线的参数方程为{ 的交点有 ____个.

四、例 4 (请同学们自学课本例 4,思考并讨论) 归纳:把含有参数等式代入即可 回答问题: 1.如果没有明确 x、y 与参数的关系,则参数方程是有限个还是无限个? 2.为什么(1)的正负取一个,而(2)却要取两个?如何区分? 五、高考链接

? x ? 1 ? 2t (09广东(文))若直线? (t为参数)与直线4 x ? ky ? 1垂直, 则常数k ? _______ ? y ? 2 ? 3t
六、小结 把参数方程转化为普通方程: ?1?x的范围

?2?消 去 参 数

把普通方程转化参数方程:把含有参数等式代入即可 七、课后作业 x ? cos? 1 若已知曲线的参数方程为{ 、 (t为参数)与直线y ? a有两个交点, 38 y ? cos 2? ? 1

则a的取值范围为_______

2、P ( x, y )是曲线{

x ? 2 ? cos? y ? sin ?

(?为参数)上任意一点, 则( x ? 5) 2 ? ( y ? 4) 2 的最大值

? x ? ?2 ? cos? 为(汕头市2010 年普通高中高三教学质量测评(理))已知点P ( x, y )在曲线? _________ 3、 ? y ? sin ? y (?为参数, ? ? [?, ? ))上, 则 的取值范围为 __________ 2 x

参数方程的概念学案 一、 【课前预习】 引例: 一架救援飞机在离灾区地面 500m 高处以 100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确 落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢?救援物资做何运动?你能用物理 知识解决这个问题吗?
y 500 v=100m/s A

O

x

思考交流:把引例中求出的物资运动轨迹的参数方程消去参数 t 后,再将所得方程与原方程进行比 较,体会参数方程的作用。 二、 【新知探究】 1、参数方程的概念 一 般 地 , 在平 面直 角 坐标 系 中 , 如果 曲 线上 任意一 点 的坐 标( x, y )都是 某 个变 数 t 的函 数

? ? ?

,并且对于 t 的每一个允许值, 由方程组(1) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 那么方

程(1) 就叫做这条曲线的_______________, 联系变数 x,y 的变数 t 叫做____________,简称________。 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做_______________。 2、关于参数几点说明: (1)一般来说,参数的变化范围是有限制的。 (2)参数是联系变量 x,y 的桥梁,可以有实际意义,也可无实际意义。 3、求曲线的参数方程的一般步骤。 (1)建立直角坐标系,设曲线上任一点 P 坐标为 ( x, y ) (2)选取适当的参数 (3)根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,建立点 P 坐标与参数的函数式 (4)证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 三、 【预习检测】 ? x ? 1? t2 1、曲线 ? 与 ) , (t为参数) x 轴的交点坐标是( y ? 4t ? 3 ? A、 (1,4) B、 (? 25 , 0)
16

C、 ( 25 ,0)
16

D、 (1, ?3) ) D、 (1,0)

? x ? sin ? 2、方程 ? 所表示的曲线上一点的坐标是( , (? 为参数) ? y ? cos ?
A、 (2,7) B、 ( 1 , 2 )
3 3

C、 ( 1 , 1 )
2 2

3、已知曲线 C 的参数方程是 ? x ? 3 cos? ( ? 为参数) ,当 ? ? 时,曲线上对应点的坐标是 ? 3 ? y ? 2 sin ? 4、已知曲线 C 的参数方程是 ?

?

.

?x ? 3t
2 ?y ? 2t ? 1

( t 为参数).
39

(1)判断点 M 1 (0, 1) , M 2 (5, 4) 与曲线 C 的位置关系; (2)已知点 M 3 (6, a) 在曲线 C 上,求 a 的值. 四、 【典型例题】 【例 1】已知曲线 C 的参数方程是 ? (1)求常数 a;(2)求曲线 C 的普通方程.

? x ? 1 ? 2t ,
2 ? y ? at .

(t为参数,a ? R ) , 点 M(5,4) 在 该 曲 线 上 .

【例 2】动点 M 作匀速直线运动,它在 x 轴和 y 轴方向的分速度分别为 3m/s 和 4m/s,直角坐标系的长度 单位是 1m,点 M 的起始位置在点 M 0 (2, 1) 处,求点 M 的轨迹的参数方程.

五、 【课后检测】 1、物体从高处以初速度 v0 (m / s ) 沿水平方向抛出.以抛出点 为原点,水平直线为 x 轴,写出物体所经路线的参数方程. 5 ? x ? 1 ? 2 sin ? 2、已知曲线 C 的参数方程是 ? ( ? 为参数, 0 ? ? ? 2? ) ,试判断点 A(1,3), B(0, ) 是否在曲 2 ? y ? 3 ? sin ? 线 C 上. ? x ? sin 2? 3、在方程 ? ( ? 为参数)所表示的曲线上的一点的坐标是( ) ? y ? sin ? ? cos? A. (1, 3 ) 4、方程 ? B. (2, 3 ) C. ( ,?2)

5、曲线 xy ? 1 的参数方程是(

? x ? sin ? ( ? 为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为( ) ? y ? cos 2? 1 2 1 1 A. (2, ?7) B. ( , ) C. ( , ) D. (1, 0) 3 3 2 2

? x ? cos? C. ? 1 ? ? y ? cos? ?

1 2

3 1 D. (? , ) 4 2

? x?t A. ? ? 1 ? y ? t?2 ?
1 2

? x ? sin ? B. ? 1 ? ? y ? sin ? ?
2

? x ? tan ? D. ? 1 ? ? y ? tan ? ?

6、已知圆 x ? y ? 4 x ? 0 ,在圆上任取一点 P,坐标原点为 O,设 OP 的倾斜角为 ? ,取 ? 为 参数,求圆的参数方程。
2

40


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