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第一章《计数原理》单元测试(2)(新人教A版选修2-3)


第一章 计数原理单元测试题
时间:120 分钟,满分 150 分

温情告白
本套题难度适中,主要考查学生的基本知识,基本方法,基本能力,如 1—9 题和 13 题都是这一部分的 基本题目类型,对排列, 组合和二项式定理的基本知识考查比较全面,且在考查基本知识的同时,也注重学生 数学思想的考查,如 10,12,18 题考查了学生分类讨论的思想方法,11,14,17,21,22 考查了学生转化与化 归的思想方法,这些题目需要大家有较高的分析能力和运算能力,以及综合应用能力.

小题, 一,选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 选择题( 1.5 位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方 法共有( ) D.32 种 A.10 种 B.20 种 C.25 种 2.甲,乙,丙 3 位同学选修课程,从 4 门课程中,甲选修 2 门,乙,丙各选修 3 门,则不 同的选修方案共有 A.36 种 B.48 种 C.96 种 D.192 种 3. 记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照,要求排成一排,2 位老人相邻但不排 在两端,不同的排法共有( ) A.1440 种 B.960 种 C.720 种 D.480 种 4. 某城市的汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个数字组成,其中 4 个数字互不相同的牌 照号码共有( ) A. C26

( )
1

2

4 A10 个

B. A26 A10 个

2

4

C. C26

( ) 10
1 2

4



D. A2610 个

2

4

5. 从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五,星期六,星期日参加公益活动,每人一天,要求 星期五有 2 人参加,星期六,星期日各有 1 人参加,则不同的选派方法共有 B 60 种 C 100 种 D 120 种 A 40 种 6. 由数字 0,1,2,3,4,5 可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有( A.72 B.60 C.48 D.52 )

7.用 0,1,2,3,4 组成没有重复数字的全部五位数中,若按从小到大的顺序排列,则数字 12340 应是第( )个数. A.6 B.9 C.10 D.8

8.AB 和 CD 为平面内两条相交直线,AB 上有 m 个点,CD 上有 n 个点,且两直线上各有一个 与交点重合,则以这 m+n-1 个点为顶点的三角形的个数是( ) A. C m C n + C n C m
1 2 1 2

B. C m C n + C n 1C m
1 2 1 2

C. C m 1C n + C n C m
1 2 1 2

1 2 1 2 D. C m 1C n + C n 1C m 1

用心

爱心

专心

9.设

(

2x

)

10

= a0 + a1 x + a 2 x 2 + + a10 x10 ,则

(a0 + a2 + + a10 )2 (a1 + a 2 + + a9 )2 的值为(
A.0 B.-1 C.1 D.

)

10. 2006 年世界杯参赛球队共 32 支,现分成 8 个小组进行单循环赛,决出 16 强(各组的前 2 名小组出线),这 16 个队按照确定的程序进行淘汰赛,决出 8 强,再决出 4 强,直到决出冠, 亚 军和第三名,第四名,则比赛进行的总场数为( ) A.64 B.72 C.60 D.56 11.用二项式定理计算 9.98 ,精确到 1 的近似值为( A.99000 B.99002 C.99004 D.99005 )
5

)

12. 从不同号码的五双靴中任取 4 只,其中恰好有一双的取法种数为 ( A.120 B.240 C.360 D.72 填空题( 小题, 二, 填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)

13. 今有 2 个红球,3 个黄球,4 个白球,同色球不加以区分,将这 9 个球排成一列 有 种不同的方法(用数字作答). 个

14. 用数字 0, 2, 4 组成没有重复数字的五位数, 1, 3, 则其中数字 1, 相邻的偶数有 2 (用数字作答).

15. 若(2x +

3

1 x

) 的展开式中含有常数项,则最小的正整数 n 等于

n

.

16. 从班委会 5 名成员中选出 3 名, 分别担任班级学习委员, 文娱委员与体育委员, 其中甲, 乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有_____种. (用数字作答)

小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 三,解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 解答题(

17.如图,电路中共有 7 个电阻与一个电灯 A,若灯 A 不亮,分析因电阻断路的可能性共 有多少种情况.
用心 爱心 专心

R R R R

R R R
A ○

18.从 1 到 9 的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问: ①能组成多少个没有重复数字的七位数? ②上述七位数中三个偶数排在一起的有几个? ③在①中的七位数中,偶数排在一起,奇数也排在一起的有几个? ④在①中任意两偶然都不相邻的七位数有几个?

19.把 1,2,3,4,5 这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们按由小到大的顺序排 列成一个数列. (1) 43251 是这个数列的第几项? (2) 这个数列的第 96 项是多少? (3) 求这个数列的各项和.

用心

爱心

专心

20.(本小题满分 12 分)求证:

能被 25 整除.

3 3 1 21. (本小题满分 14 分)已知 a 的展开式的各项系数之和等于 43 b 5b a 3 3 展开式中的常数项,求 a 展开式中含 a
n

n

5

的项的二项式系数.

用心

爱心

专心

22. (本小题满分 14 分) 若某一等差数列的首项为 C 5 n 展开式中的常数项,其中 m 是 77 出这个最大值.
77

11 2 n

5 23 2 2n2 P113n ,公差为 x 2x 5

m

15 除以 19 的余数,则此数列前多少项的和最大?并求

单元测试卷参考答案 排列,组合, 排列,组合,二项式定理

一,选择题:(每题 5 分,共 60 分) 选择题:(每题 :( 1,D 解析:5 位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同 5 的报名方法共有 2 =32 种,选 D 2,C 解析.甲,乙,丙 3 位同学选修课程,从 4 门课程中,甲选修 2 门,乙,丙各选修 3 门,则不同的选修方案共有 C4 C4 C4 = 96 种,选 C
2 3 3

3,解析:5 名志愿者先排成一排,有 A5 种方法,2 位老人作一组插入其中,且两位老人有 左右顺序,共有 2 4 A5 =960 种不同的排法,选 B
5

5

4,A 解析:某城市的汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个数字组成,其中 4 个数字互不
1 相同的牌照号码共有 C26

( )

2

4 A10 个,选 A

5,B 解析:从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五,星期六,星期日参加公益活动,每人一 天, 要求星期五有 2 人参加, 星期六, 星期日各有 1 人参加, 则不同的选派方法共有 C5 A3 = 60
2 2

种,选 B

6,B

3 3 2 3 解析:只考虑奇偶相间,则有 2 A3 A3 种不同的排法,其中 0 在首位的有 A2 A3 种不符合

3 3 2 3 题意,所以共有 2 A3 A3 A2 A3 = 60 种.

用心

爱心

专心

7, C

3 解析: 比 12340 小的分三类:第一类是千位比 2 小为 0,有 A3 = 6 个; 第二类是千位

2 为 2 ,百位比 3 小为 0,有 A2 = 2 个; 第三类是十位比 4 小为 0,有 1 个.共有 6+2+1=9 个,所

以 12340 是第 10 个数. 8,D 解析:在一条线上取 2 个点时,另一个点一定在另一条直线上,且不能是交点. 9,C 解析: 由

(
)

2x
10

)

10

= a0 + a1 x + a 2 x 2 + + a10 x10 可得:

当 x = 1 时, 当 x = 1 时,

(

2 1

= a 0 + a11 + a 2 12 + + a10 110 = a0 + a1 + a 2 + + a10 = a0 a1 + a 2 a3 + + a10 = a 0 a1 + a 2 + + a10

(

2 +1

)

10

∴ (a0 + a 2 + + a10 )2 (a1 + a 2 + + a9 )2 = (a0 + a1 + a 2 + + a10 ) (a0 a1 + a 2 a3 + + a10 ) =

(

2 1

)(
10

2 +1

) = [(
10

2 1

)(

2 +1

)]

10

=1.

10, A

2 解析:先进行单循环赛,有 8C 4 = 48 场,在进行第一轮淘汰赛,16 个队打 8 场,在决出

4 强,打 4 场,再分别举行 2 场决出胜负,两胜者打 1 场决出冠,亚军,两负者打 1 场决出三, 四名,共举行:48+8+4+2+1+1=64 场. 11,C 解析: 9.98 = (10 0.02 )
5 5

1 = 105 C5 × 104 × 0.02 + C52 × 103 × ( 0.02 )

2

3 + C5 × 10 2 × (0.02)3 +

= 10 5 10 3 + 4 0.06 + ≈ 99004 .

12,A

解析:先取出一双有 C 5 种取法,再从剩下的 4 双鞋中取出 2 双,而后从每双中各取

1

2 1 1 1 2 1 1 一只,有 C 4 C 2 C 2 种不同的取法,共有 C5 C 4 C 2 C 2 = 120 种不同的取法.

填空题( 二, 填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13,1260 解析: 由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有

C94 C52 C33 = 1260
14,24 解析:可以分情况讨论:① 若末位数字为 0,则 1,2,为一组,且可以交换位置, 3,4,各为 1 个数字,共可以组成 2 A3 = 12 个五位数;② 若末位数字为 2,则 1 与它相
3

邻,其余 3 个数字排列,且 0 不是首位数字,则有 2 A2 = 4 个五位数;③ 若末位数字为 4,
2

则 1, 为一组, 2, 且可以交换位置, 0, 3, 各为 1 个数字, 0 不是首位数字, 且 则有 2 (2 A2 ) =8
2

个五位数,所以全部合理的五位数共有 24 个

用心

爱心

专心

15, 解析: 7 若(2x +

3

1 x

n ) 的展开式中含有常数项,Tr +1 = Cn r (2 x3 ) n r (
n

1 r ) 为常数项, x

即 3n

7r =0,当 n=7,r=6 时成立,最小的正整数 n 等于 7. 2

16,36 种 解析.从班委会 5 名成员中选出 3 名,分别担任班级学习委员,文娱委员与 体育委员,其中甲,乙二人不能担任文娱委员,先从其余 3 人中选出 1 人担任文娱委员,再 从 4 人中选 2 人担任学习委员和体育委员,不同的选法共有 C3 A4 = 3 × 4 × 3 = 36 种
1 2

三,解答题(共六个小题,满分 74 分) 解答题(共六个小题, 17.解:每个电阻都有断路与通路两种状态,图中从上到下的三条支线路,分别记为支线 a, 2 b,c,支线 a,b 中至少有一个电阻断路情况都有 2 ―1=3 种;………………………4 分 2 支线 c 中至少有一个电阻断路的情况有 2 ―1=7 种,…………………………………6 分 每条支线至少有一个电阻断路,灯 A 就不亮, 因此灯 A 不亮的情况共有 3×3×7=63 种情况.………………………………………10 分
3 18. 解:①分步完成:第一步在 4 个偶数中取 3 个,可有 C 4 种情况;

4 第二步在 5 个奇数中取 4 个,可有 C 5 种情况;

7 第三步 3 个偶数,4 个奇数进行排列,可有 A7 种情况, 3 4 7 所以符合题意的七位数有 C 4 C 5 A7 = 100800 个.………3 分 3 4 5 3 ②上述七位数中,三个偶数排在一起的有个. C 4 C 5 A5 A3 = 14400 ……6 分

③上述七位数中,3 个偶数排在一起,4 个奇数也排在一起的有
3 4 5 3 2 2 C 4 C 5 C 5 A3 A4 A2 = 5760 个.……………………………………………9 分

④上述七位数中,偶数都不相邻,可先把 4 个奇数排好,再将 3 个偶数分别插入 5
4 3 3 个空档,共有 A5 C 4 A5 = 28800 个.…………………………………12 分

19.解:⑴先考虑大于 43251 的数,分为以下三类
4 第一类:以 5 打头的有: A4 =24

3 第二类:以 45 打头的有: A3 =6

2 第三类:以 435 打头的有: A2 =2………………………………2 分 5 4 3 2 故不大于 43251 的五位数有: A5 A4 + A3 + A2 = 88 (个)

(

)

即 43251 是第 88 项.…………………………………………………………………4 分 ⑵数列共有 A=120 项,96 项以后还有 120-96=24 项,
用心 爱心 专心

即比 96 项所表示的五位数大的五位数有 24 个, 所以小于以 5 打头的五位数中最大的一个就是该数列的第 96 项.即为 45321.…8 分 ⑶因为 1,2,3,4,5 各在万位上时都有 A 个五位数,所以万位上数字的和为: (1+2+3+4+5) A10000……………………………………………………………10 分 同理它们在千位,十位,个位上也都有 A 个五位数,所以这个数列各项和为: (1+2+3+4+5) (1+10+100+1000+10000) A =15×24×11111=3999960……………………………………………………………12 分 20.证明:因 2 n + 2 3 n + 5n 4 = 4 6 n + 5n 4 = 4 (5 + 1)n + 5n 4 ………………3 分

1 2 n n = 4. 5 n + C n 5 n 1 + C n 5 n 2 + + C n 2 5 2 + C n 1 5 + 1 + 5n 4 ……………………8 分

(

)

1 2 n = 4. 5 n + C n 5 n 1 + C n 5 n 2 + + C n 2 5 2 + 25n ……………………………………10 分

(

)

1 2 n 显然 5 n + C n 5 n 1 + C n 5 n 2 + + C n 2 5 2 能被 25 整除,25n 能被 25 整除,

(

)

所以 2 n + 2 3 n + 5n 4 能被 25 整除.…………………………………………………12 分
1 r 的展开式的通项为 Tr +1 = C5 43 b 21. 设 43 b 5b 1 r 4 5 r C 5 b = 5
r 10 5 r 6 5

( )

5 r

1 5b

r

, (r = 0,1,2,3,4,5) .………………………………6 分

若它为常数项,则

10 5r = 0,∴ r = 2 ,代入上式∴T3 = 2 7 . 6

即常数项是 2 ,从而可得

7

3

3 a 中 n=7,…………………10 分 a

n

同理

3

3 a 由二项展开式的通项公式知,含 a

7

的项是第 4 项,

其二项式系数是 35.…………………………………………………………14 分 22. 由已知得:
11 2n ≤ 5n ,又 n ∈ N ,∴ n = 2 ,………………………………2 分 2n 2 ≤ 11 3n

用心

爱心

专心

11 2 2 7 3 ∴ C5 n2 n P11n n = C10 P52 = C10 P52 = 3

10 × 9 × 8 5 × 4 = 100 3× 2

所以首项 a1 = 100 .……………………………………………………………………4 分
1 1 77 77 15 = (76 + 1)77 15 = 76 77 + C 77 76 76 + + C77 76 + 1 15

= 76M 14, (M ∈ N ) ,所以 77 77 15 除以 19 的余数是 5,即 m = 5 ………6 分

5 23 2 r 5 x 的展开式的通项 Tr +1 = C 5 2x 5 2x

m

5 r

23 2 x 5

r

r5 = ( 1)r C 5 2

5 2 r

5

x3

r 5

, (r = 0,1,2,3,4,5) ,

若它为常数项,则 r 5 = 0,∴ r = 3 ,代入上式∴ T4 = 4 = d . 从而等差数列的通项公式是: a n = 104 4n ,……………………………………10 分 设其前 k 项之和最大,则
104 4n ≥ 0 ,解得 k=25 或 k=26, 104 4(k + 1) < 0

5 3

故 此 数 列 的 前
S 25 = S 26 =

25

项 之 和 与 前

26

项 之 和 相 等 且 最 大 ,

100 + 104 4 × 25 × 25 = 1300 .………………………………………14 分 2

用心

爱心

专心

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