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第13课 函数与方程


第13课

函数与方程 第13课 函数与方程
页)

【自主学习】

(本课时对应学生用书第

自主学习

回归教材

1.(必修1P75例1改编)对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),若ac<0,则该函数的零点个 数是 【答案】2 【解析

】可由一元二次方程的判别式得Δ=b2-4ac.又因为ac<0,所以Δ>0,此方程 有两个不相等的实根,即有两个零点. 2.(必修1P111复习13改编)已知函数f(x)=2x-3x,则函数f(x)的零点个数为 .

.

(第2题)

【答案】2

【解析】方法一:令 f(x)=0 ,则 2x=3x ,在同一平面直角坐标系中分别作出 y=2x 和 y=3x的图象如图所示,由图知函数y=2x和y=3x的图象有2个交点,所以函数f(x)的零 点个数为2. 方法二:由 f(0)>0 , f(1)<0 , f(3)<0 ,f(4)>0 , …,知f(x)有2 个零点,分别在区间 (0 , 1)和(3,4)内.

3.( 必修 1P96 练习 2 改编 ) 若方程 lg x=2-x 在区间 (n , n+1)(n∈Z) 内有解,则 n 的值 为 【答案】1 【解析】令f(x)=lg x+x-2,由f(1)=-1<0,f(2)=lg 2>0,知f(x)=0的根介于1和2之间, 即n=1. 4.(必修1P76习题1改编)若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点分别为2和3,则函数g(x)=bx2ax-1的零点是
1 1 【答案】- 2 ,- 3

.

.

?22 -2a-b ? 0, ?a ? 5, ? 2 ? 【解析】由 ?3 -3a-b ? 0, 得 ?b ? -6,
1 1 所以g(x)=-6x -5x-1的零点为- 2 ,- 3 .
2

5.(必修1P96练习5改编)若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分 法计算,其参考数据如下表:
f(1)=-2 f(1.375)=-0.260 f(1.5)=0.625 f(1.437 5)=0.162 f(1.25)=-0.984 f(1.406 25)=-0.054

那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根为 【答案】1.4

(精确到0.1).

【解析】f(1.406 25)=-0.054<0,f(1.437 5)=0.162>0且都接近0,由二分法可知其根 近似于1.4.

1.二次函数的零点 一般地,二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根就是二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的 函数值为0时自变量x的值,也就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标.因此,我们 把使二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的值为 0 的实数 x( 即一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的实数根)称为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点. 当a>0时,二次函数的零点、二次函数的图象与一元二次方程的实数根之间的 关系,如下表所示:
Δ=b2-4ac ax2+bx+c=0的根 Δ>0 Δ=0 Δ<0 方程没有实根

-b ? Δ x1,2= 2a

b x1=x2=- 2a

y=ax2+bx+c(a>0)的图象

y=ax2+bx+c的零点

-b ? Δ x1,2= 2a

b x1=x2=- 2a

函数无零点

2.一般地,把使函数y=f(x)的值为0的实数x称为y=f(x)的零点.函数y=f(x)的零点就是 方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,所以函数y=f(x) 有零点等价于函数y=f(x)的图象与x轴有交点,也等价于方程f(x)=0有根.

3.函数零点的存在性定理

一般地,若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,且 f(a)· f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0, 这个c就是函数y=f(x)的零点,也就是方程f(x)=0的根.这个结论称为零点的存在性定 理. 由上述可知,利用零点存在性定理判定函数f(x)在区间(a,b)上存在零点的两 个条件:(1)函数在区间[a,b]上的图象不间断;(2)f(a)· f(b)<0,两者缺一不可.

4.二分法 对于区间[a,b]上的连续不断,且f(a)· f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似 值的方法叫作二分法.

【要点导学】
要点导学 各个击破

函数零点的存在性问题
例1 判断下列函数在给定区间上是否存在零点.

(1)f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]; (2)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]. 【思维引导】第(1)问利用零点的存在性定理或直接求出零点;第(2)问利用零 点的存在性定理或利用两图象的交点来求解.

【解答】(1)方法一:因为f(1)=12-3×1-18=-20<0, f(8)=82-3×8-18=22>0, 所以f(1)· f(8)<0, 故f(x)=x2-3x-18在[1,8]上存在零点. 方法二:令f(x)=0,得x2-3x-18=0,x∈[1,8],解得x=6. 所以f(x)=x2-3x-18在[1,8]上存在零点. (2) 方 法 一 : 因 为 f(1)=log23-1>log22-1=0 , f(3)=log25-3<log28-3=0 , 所 以 f(1)· f(3)<0, 故f(x)=log2(x+2)-x在[1,3]上存在零点.

(例1)

方法二:设y=log2(x+2),y=x,在同一直角坐标系中画出它们的图象如图所示, 从图象中可以看出,当1≤x≤3时,两图象有1个交点,因此f(x)=log2(x+2)-x在[1,3] 上存在零点. 【精要点评】在判断函数零点是否存在的问题中,必须强调:(1)f(x)在[a,b] 上连续;(2)f(a)· f(b)<0;(3)在(a,b)内存在零点.这是零点存在的一个充分不必要条 件.

变式

已知二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3,其中m为实数,求证:不论m取

何实数,这个二次函数必有两个不同的零点. 【解答】令y=0,得x2-2(m-1)x+m2-2m-3=0,因为Δ=4(m-1)2-4(m2-2m-3)=4m28m+4-4m2+8m+12=16>0,所以方程x2-2(m-1)x+m2-2m-3=0必有两个不相等的实数 根.所以不论m取何值,这个二次函数必有两个不同的零点.

函数零点个数的判断
? x2 ? 2 x-3,x ? 0, ? 例2 函数f(x)= ?-2 ? lnx,x ? 0 的零点个数为

.

【思维引导】令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点. 【答案】 2 【解析】当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3; 当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e2, 所以函数f(x)有两个零点. 【精要点评】利用代数法求分段函数的零点时,一定要注意函数表达式所对 应的自变量的范围,即通过解方程得到的零点一定要检验.

变式

已知f(x+1)=f(x-1),f(x)=f(-x+2),方程f(x)=0在[0,1]内有且只有一个 .

1 根x= 2 ,则f(x)=0在区间[0,2 016]内根的个数为

【答案】2 016 【解析】由f(x+1)=f(x-1),可知f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期为2.由f(x)=f(x+2),可知函数f(x)关于直线x=1对称.因为函数f(x)=0在[0,1]内有且只有1个根x=
1 3 2 ,所以函数f(x)=0在[1,2]上有且只有1个根x= 2 ,所以f(x)=0在[0,2 016]内根的

个数为2 016. 【精要点评】判断函数零点个数的常用方法:(1)解方程法:令f(x)=0,如果能 求出解,那么有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理法:利用此定理不仅要判 断函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)· f(b)<0,还必须结合函数的图象与 性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.(3)数形结 合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象,看其交点 的个数,交点的个数就是函数零点的个数.

几个等价关系:方程f(x)=0有实数根 ? 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 ? 函数 y=f(x)有零点.

函数零点的应用
例3 已知函数f(x)=2ax2+2x-3-a.如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求

实数a的取值范围. 【思维引导】函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的根,据此,方程f(x)=0的根就是 函数f(x)与x轴交点的横坐标. 【解答】①当a=0时,f(x)=2x-3.
3 令2x-3=0,得x= 2 ? [-1,1],

所以f(x)在[-1,1]上无零点,故a≠0.

图(1)

图(2) (例3)

1 ②如图(1),当a>0时,f(x)=2ax2+2x-3-a的对称轴为x=- 2 a . 1 1 ⅰ)当- 2 a ≤-1,即0<a≤ 2 时,

? f (-1) ? 0, ?a ? 5, ? ? 有 ? f (1) ? 0, 即 ?a ? 1, 所以a无解.

1 1 ⅱ)当-1<- 2 a <0,即a> 2 时,

? ? 1 ? ? 1 ? f ? - ? ? 0, ?- -3-a ? 0, ? ? 2a ? ? 2a ? f (1) ? 0, ?a ? 1, 有? 即? 解得a≥1,
所以实数a的取值范围是[1,+∞). ③如图(2),当a<0时,
1 1 ⅰ)当0<- 2 a ≤1,即a≤- 2 时,

? f (-1) ? 0, ?a ? 5, ? ? ? ? 1 ? ? 1 f ? 0 , ? ? 2a ? ?- -3-a ? 0, ? 有? ? 即 ? 2a

-3- 7 -3 ? 7 解得a≤ 2 或 2 ≤a≤5,
? -3- 7 ? 1 ? , ? ? ? 2 ? ? 2 又a≤- ,所以a的取值范围是 .
1 1 ⅱ)当- 2 a >1,即- 2 <a<0时,

? f (-1) ? 0, ?a ? 5, ? ? 有 ? f (1) ? 0, 即 ?a ? 1, 所以a无解.
? -3- 7 ? ? ? -? , 2 ? ? ∪[1,+∞). 综上所述,实数a的取值范围是 ?

【精要点评】将方程问题转化为函数问题,利用数形结合的思想方法求解.

变式

已知关于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1=0.

(1)若方程两根一正一负,求实数m的取值范围; (2)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求实数 m的取值范围.

(变式)

【 解 答 】 设 一 元 二 次 方 程 x2+2mx+2m+1=0 所 对 应 的 二 次 函 数 为 f(x)=x2+2mx+2m+1.
1 (1)要使方程两根一正一负,则结合函数图象,有f(0)<0,解得m<- 2 .

(2)要使方程的一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,则结合函数图象,

? f (0) ? 2m ? 1 ? 0, ? f (-1) ? 2 ? 0, ? ? 5 1 ? f (1) ? 4m ? 2 ? 0, ? f (2) ? 6 m ? 5 ? 0 , 有? 解得- 6 <m<- 2 .
? 5 1? ?? ,? ? 所以实数m的取值范围为 ? 6 2 ? .

【精要点评】先作出符合根的分布的二次函数的图象,由图象可得到f(x)在区 间端点处的函数值和判别式的符号,以及对称轴的位置等情况,从而找到所需满足 的条件.

根据函数的零点(方程的解)个数确定参数范围
?2 ? ,x ? 2, ?x ?(x-1)3,x ? 2. 已知函数f(x)= ? 若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,

例4

则实数k的取值范围是

.

(例4)

【答案】(0,1) 【解析】作出函数f(x)的图象如图所示.该图象与直线y=k有两个交点时,0<k<1, 此时关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,故实数k的取值范围是(0,1). 【精要点评】本题考查利用数形结合思想判断方程的解的个数问题,准确作 出相应函数的图象是解答此类问题的关键.

变式

| x| 若函数f(x)= x -1 -kx2有4个零点,则实数k的取值范围是

.

【答案】(-∞,-4)
| x| 【解析】令f(x)=0,则方程 x -1 =kx2有4个不同的解,

显然,x=0是方程的一个实数根.

(变式)

1 当x≠0时,方程可化为 k =|x|(x-1), 1 设h(x)= k ,g(x)=|x|(x-1),

? x(x-1),x ? 0, ? 由题意知h(x)与g(x)图象有三个不同的交点,由g(x)= ?- x(x-1),x ? 0, 结合图象
1 1 知- 4 < k <0,所以k<-4.

【精要点评】由于函数y=f(x)的零点就是y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,则 函数f(x)=g(x)-h(x)的零点就是函数y=g(x)与y=h(x)图象交点的横坐标,所以求解与 函数零点相关的问题时,可以先画出函数图象,根据函数的图象并结合零点的存在 性定理,列出相关的相等或不等关系,进而解决参数的取值范围等问题.这样用数 形结合的方法将抽象的问题形象化,更利于解决问题.

1.(2015· 大同一中)若函数f(x)=log3x+x-3的零点所在的区间是(n,n+1)(n∈Z),则 n= 【答案】2 【解析】由f(2)=log32-1<0,f(3)=1>0,知f(x)=0的根在区间(2,3)内,即n=2. 2.(2016· 苏北四市期中)若函数f(x)=-x2+2x,则不等式f(log2x)<f(2)的解集为 【答案】(0,1)∪(4,+∞) 【解析】f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,由f(log2x)<f(2)=0,得log2x>2或log2x<0,所以x>4 或0<x<1. 3.(2015· 哈师大附中)已知关于x的一元二次方程x2-(k-1)x+1=0有两个实根,则实数k 的取值范围为 . .

.

【答案】(-∞,-1]∪[3,+∞) 【解析】由方程x2-(k-1)x+1=0有两个实根,知Δ=(k-1)2-4≥0,解得k≥3或k≤-1.

4.(2015· 吉林一中)若函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围 是 .

【答案】(1,+∞) 【解析】设函数y=ax(a>0,且a≠1)和函数y=x+a,则函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有 两个零点,就是函数y=ax(a>0,且a≠1)与函数y=x+a的图象有两个交点. 由图(1)可知,当0<a<1时两函数只有一个交点,不合题意; 由图(2)知,当a>1时,因为函数y=ax(a>1)与y轴交于点(0,1), 而直线y=x+a所经过的定点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点, 所以实数a的取值范围是(1,+∞).

图(1) (第4题)

图(2)

5.已知二次函数f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a. (1)判断命题“对于任意的a∈R,方程f(x)=1必有实数根”的真假,并写出判断过程;

? 1? ? 0, ? (2)若y=f(x)在区间(-1,0)及 ? 2 ? 内各有一个零点,求实数a的取值范围.
【解答】(1)“对于任意的a∈R,方程f(x)=1必有实数根”是真命题,判断过程如下: 方程f(x)=1,即x2+(2a-1)x-2a=0, 因为Δ=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0对于任意的a∈R恒成立,即x2+(2a-1)x-2a=0必有实根, 从而f(x)=1必有实根.

? ? f (-1) ? 0, ? ? ? f (0) ? 0, ? 1 ? ? 1? ?f ? ? ? ? 0, ? 0, ? ? ?2? (2)依题意,要使y=f(x)在区间(-1,0)及 ? 2 ? 内各有一个零点,只需 ? 即
? ?3-4a ? 0, ? ?1-2a ? 0, ?3 ? -a ? 0, ?4
1 3 解得 2 <a< 4 .

?1 3? ? ,? 故实数a的取值范围为 ? 2 4 ? .

【融会贯通】
融会贯通 能力提升
|x -m|

?1? ? ? 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈[0,2]时,f(x)= ? 2 ?

.

(1)求实数m的值; (2)设g(x)=log2x,求证:方程f(x)=g(x)只有一个实数解.

【思维引导】

【 规 范 解 答 】 (1) 由 x∈[0 , 2] 时 , f(x+2)=f(x) , 有 f(2)=f(0),……………………………2分 得 m=1. |2-m|=|m| , 所 以

……………………………………………………………………4分
|x -1|

?1? ? ? (2)由(1)知f(x)= ? 2 ?

,x∈[0,2],







x∈[0



2]





f(x)∈

?1 ? , 1 ? ?2 ? ?



…………………………………6分 又 f(x) 是 周 期 为 2 的 周 期 函 数 , 故 f(x) 的 值 域 为

?1 ? , 1 ? ?2 ? ? . …………………………………7分
当 x>2 时 , g(x)>1≥f(x) , 此 时 方 程 无 解 ;

…………………8分 当 0<x≤1 时 , g(x)≤0<f(x) , 此 时 方 程 无

解;………………………………………………9分 当 x=2 时 , f(x)≠g(x) , 方 程 无

解;…………………………………………………………10分
?1? ? ? 当1<x<2时,记F(x)=f(x)-g(x)= ? 2 ? -log2x,
x -1



F(1)· F(2)=-

1 2

<0





F(x)











……………………12分 所以函数F(x)在(1,2)内有唯一的零点, 即 方 程 f(x)=g(x) 在 x∈(1 , 2) 上 有 唯 一 实 数

解. ……………………………………………14分 综 解. 上 , 方 程 f(x)=g(x) 有 唯 一 的 实 数

……………………………………………………16分 【精要点评】处理函数零点问题的常用方法:(1)解方程法:令f(x)=0,求解;

(2)零点存在性定理法:利用定理不仅要判断函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线, 且f(a)· f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质才能确定;(3)数形结合法:转化为两 个函数的图象的交点个数问题.

趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第 25~26页.

【检测与评估】
第13课
一、 填空题

函数与方程

? x 2 -x-1,x ? 2或x ? -1, ? , ? x ? 2, 1.若函数f(x)= ?1-1 则函数g(x)=f(x)-x的零点为

.

2.下列函数图象与x轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是

.(填序号)



② (第2题)





3.根据表格中的数据,可以判定函数f(x)=ex-x-2的一个零点所在的区间为 x ex x+2 -1 0.37 1 0 1 2 1 2.72 3 2 7.39 4 3 20.09 5

.

2 4.若函数f(x)= 3 ? 1 +a的零点为1,则实数a的值为
x

.

? x2 ? 2 x-3,x ? 0, ? 5.(2014· 镇江模拟)函数f(x)= ?-2 ? lnx,x ? 0 的零点个数为

.

?1? ? 1 1? 1 ,? ? ? ? 3 6.已知方程 ? 2 ? = x 的解x0∈ ? n ? 1 n ? ,则正整数n=

x

.

?2-|x|,x ? 2, ? 2 7.(2015· 天津卷)已知函数f(x)= ?(x-2) ,x ? 2, 函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R,若函数
y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则实数b的取值范围是 .

8.已知函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x.若函数 g(x)=f(x)-kx-k在区间[-1,3]上有4个零点,则实数k的取值范围是 .

二、 解答题 9.若函数f(x)=log3(ax2-x)有零点,求实数a的取值范围.

10.已知函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab,当x∈(-3,2)时,f(x)>0;当x∈(-∞,-3)∪(2,+∞) 时,f(x)<0. (1)求f(x)在[0,1]上的值域; (2)c为何值时,ax2+bx+c≤0的解集为R?

11.已知函数f(x)=|x2-1|+x2+kx. (1)当k=2时,求方程f(x)=0的解; (2)若关于x的方程f(x)=0在(0,2)上有两个实数解x1,x2,求实数k的取值范围.

三、 选做题(不要求解题过程,直接给出最终结果) 12.已知函数f(x)=||x-1|-1|,若关于x的方程f(x)=m(m∈R)恰有四个互不相等的实数根 x1,x2,x3,x4,则x1x2x3x4的取值范围是 .

? x 2 ? bx ? 2,x ? 0, ? 13.设函数f(x)= ?|2-x|,x ? 0, 若f(-4)=f(0),则函数y=f(x)-ln(x+2)的零点个数
为 .

【检测与评估答案】

第13课

函数与方程

? x ? 2或x ? -1, ? 2 x -x-1 ? x 1. 1+ 2 或1 【解析】题目转化为求方程f(x)=x的根,所以 ? 或
?-1 ? x ? 2, ? ?1 ? x, 解得x=1+ 2 或x=1,所以g(x)的零点为1+ 2 或1.

2.③

【解析】只有零点两侧的函数值符号相反且在零点附近连续时才可用二分法,

故③正确.

3.(1,2) 【解析】由上表可知f(-1)<0,f(0)<0,f(1)<0,f(2)>0,f(3)>0,所以可以 判定函数的一个零点在区间(1,2)内.

1 4.- 2

2 1 【解析】由已知得f(1)=0,即 3 ? 1 +a=0,解得a=- 2 .
1

? x ? 0, ? x ? 0, ? 2 ? 5.2 【解析】由 ? x ? 2 x-3 ? 0, 得x=-3;由 ?-2 ? lnx ? 0, 得x=e2,所以f(x)的零点个
数为2.

6.2

?1? 1 ? ? 3 2 【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数y= ? ? ,y= x 的图象如图所示.
x

x

?1? ? 1 ? ? 1 ? 2 ? 1 ?3 ? 1 ? ? 1 ?3 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 由图可得x0∈(0,1),设f(x)= ? 2 ? - x ,因为f ? 2 ? = ? 2 ? - ? 2 ? <0,f ? 3 ? = ? 2 ? -

1

1

1

? 1 ?3 ? ? ? 3 ? >0,所以n=2.

1

(第6题)

?7 ? 2? ? , 4 ? ? 7.

?2-|x|,x ? 2, ?2-|2-x|,x ? 0, ? ? 2 2 【解析】由f(x)= ?(x-2) ,x ? 2, 得f(2-x)= ? x ,x ? 0,

?2-|x| ? x 2,x ? 0, ? x 2 ? x ? 2,x ? 0, ? ? 0 ? x ? 2, 0 ? x ? 2, ?4-|x|-|2-x|, ?2, ?2-|2-x| ? (x-2) 2,x ? 2, ? x 2 -5 x ? 8,x ? 2, 所以f(x)+f(2-x)= ? 即f(x)+f(2-x)= ?

y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b,所以y=f(x)-g(x)恰有4个零点等价于方程f(x)+f(2-x)-b=0有4 个不同的解,即函数y=b与函数y=f(x)+f(2-x)的图象的4个公共点,画出图象如图所

7 示,由图象可知 4 <b<2.

(第7题)

? 1? ? 0, ? 8. ? 4 ?

【解析】由f(x+1)=f(x-1),得f(x+2)=f(x),则f(x)是周期为2的周期函数.因

为f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,所以当x∈[-1,0]时,f(x)=-x.易得当x∈[1, 2]时,f(x)=-x+2;当x∈[2,3]时,f(x)=x-2.函数g(x)=f(x)-kx-k在[-1,3]上有4个零点, 即函数y=f(x)与y=kx+k在[-1,3]上的图象有4个不同的交点.作出函数y=f(x)与

? 1? ? 0, ? y=kx+k在[-1,3]上的图象(如图),结合图形知k∈ ? 4 ? .

(第8题) 9.因为f(x)=log3(ax2-x)有零点, 所以log3(ax2-x)=0有解. 所以ax2-x=1有解. 当a=0时,x=-1; 当a≠0时,若ax2-x-1=0有解,

1 则Δ=1+4a≥0,解得a≥- 4 且a≠0.
1? ? ?a a ? ? ? 4?. 综上所述,实数a的取值范围是 ?

10.由题意知f(x)的图象是开口向下,交x轴于点A(-3,0)和点B(2,0)的抛物线,对称

1 轴方程为x=- 2 ,图象如图所示.

(第10题) 那么,当x=-3和x=2时,有y=0,

?0 ? a ? (-3)2 ? (b-8) ? (-3)-a-ab, ? 2 代入原式得 ?0 ? a ? 2 ? (b-8) ? 2-a-ab,
?a ? 0, ?a ? -3, ? ? 解得 ?b ? 8 或 ?b ? 5.

?a ? 0, ? 经检验知 ?b ? 8 不符合题意,舍去.
所以f(x)=-3x2-3x+18. (1) 由图象知,函数在[0,1]上单调递减, 当x=0时,y=18;当x=1时,y=12. 所以f(x)在[0,1]上的值域为[12,18]. (2) 令g(x)=-3x2+5x+c, 要使g(x)≤0的解集为R. 则需要方程-3x2+5x+c=0的判别式Δ≤0,

25 即25+12c≤0,解得c≤- 12 . 25 所以当c≤- 12 时,ax2+bx+c≤0的解集为R.
11. (1) 当k=2时,f(x)=|x2-1|+x2+2x.

-1 ? 3 ①当x2-1≥0,即x≥1或x≤-1时,方程化为2x2+2x-1=0,解得x= 2 . -1 ? 3 -1- 3 因为0< 2 <1,所以x= 2 .

1 ②当x2-1<0,即-1<x<1时,方程化为1+2x=0,解得x=- 2 .

1 -1- 3 综上,当k=2时,方程f(x)=0的解是x= 2 或x=- 2 .
(2) 不妨设0<x1<x2<2,

?2 x 2 ? kx-1| , x| ? 1, ? , x| ? 1, 因为f(x)= ?kx ? 1|
所以f(x)在(0,1]上是单调函数. 故f(x)=0在(0,1]上至多有一个解.

1 若x1,x2∈(1,2),则x1x2=- 2 <0,
故不符合题意. 因此,x1∈(0,1],x2∈(1,2).

1 由f(x1)=0,得k=- x1 ,所以k≤-1; 1 由f(x2)=0,得k= x 2 -2x2,

7 所以- 2 <k<-1.
? 7 ? ?k|- ? k ? -1? ?. 故实数k的取值范围是 ? 2

12.(-3,0) 【解析】作出函数f(x)的图象如图所示,设一根x0∈(0,1), 则由图可知另外三根为2+x0,-x0,2-x0, 则x1x2x3x4=x0(2+x0)(-x0)(2-x0),因为x0∈(0,1),故x1x2x3x4的取值范围为(-3,0).

(第12题)

? x2 ? 4 x ? 2,x ? 0, ? 13.4 【解析】由f(-4)=f(0)可得16-4b+2=2,即b=4,所以f(x)= ?|2-x|,x ? 0,
令y=f(x)-ln(x+2)=0,即f(x)=ln(x+2),在同一平面直角坐标系中分别作出y=f(x)与 y=ln(x+2)的图象如图所示,由图象易知,y=f(x)与y=ln(x+2)的图象有4个交点.

(第13题)


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