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高中数学必修五 第一章 解三角形章末测试(人教A版必修5)


高中数学必修五 第一章 解三角形章末测试
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.在△ABC 中,已知 a=3,b=4,c= 13,则角 C 为( A.90° C.45° 解析: 根据余弦定理: a2+b2-c2 32+42-? 13?2 1 cos C= = = , 2ab 2 2×3×4 ∴C=60° . 答案: B 2.在△ABC 中,a= 5,b= 15,A=30° ,则 c 等于( A.2 5 C.2 5或 5 B. 5 D.以上都不对 ) B.60° D.30° )

bsin A 3 解析: 由于 sin B= = ,故 B=60° 120° 或 . a 2 当 B=60° 时,C=90° 时,c=30° .c= a2+b2=2 5; 当 B=120° 时,C=30° ,c=a= 5. 答案: C 3.已知三角形的两边长分别为 4,5,它们夹角的余弦是方程 2x2+3x-2=0 的根,则第 三边长是( A. 20 C. 22 解析: 设长为 4,5 的两边的夹角为 θ, 1 由 2x2+3x-2=0 得:x= 或 x=-2(舍). 2 1 ∴cos θ= , 2 ∴第三边长为 答案: B 4.符合下列条件的三角形有且只有一个的是( A.a=1,b=2,c=3 C.a=1,b=2,A=100° ) 1 42+52-2×4×5× = 21. 2 ) B. 21 D. 61

B.a=1,b= 2,A=30° D.b=c=1,B=45°

解析: A:a+b=3=c,不能构成三角形;
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B:bsin A<a<b,故有两解. C:a<b,故 A 应为锐角,而已知 A=100° ,故不能构成三角形. D:b=c=1,故△ABC 为等腰三角形, ∴C=B=45° ,∴A=90° ,故只有一解. 答案: D 5.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a2+b2=c2+ab,则 C=( A.60° C.45° 解析: 由余弦定理得 a2+b2-c2 ab 1 cos C= = = 2ab 2ab 2 又∵C∈(0° ,180° ) ∴C=60° . 答案: A 6.在△ABC 中,若 a2+b2-c2<0,则△ABC 是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 ) B.120° D.30° )

B.直角三角形 D.都有可能

a2+b2-c2 解析: 由余弦定理,得 cos C= <0. 2ab 所以 C 为钝角.于是△ABC 为钝角三角形. 答案: C 7.在△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶4,则 cos C 的值为( 2 A. 3 1 C.- 4 2 B.- 3 1 D. 4 )

解析: 由正弦定理及 sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶4 知, a∶b∶c=3∶2∶4, a=3x, 令 则 b=2x,c=4x(x>0), a2+b2-c2 根据余弦定理得,cos C= 2ab = ?3x?2+?2x?2-?4x?2 1 =- . 4 2×3x×2x

答案: C 8.在△ABC 中,A=60° ,AB=2,且△ABC 的面积 S△ABC= A. 3 B.3 3 ,则边 BC 的长为( 2 )

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C. 7 1 解析: 由 S= AB×AC×sin A 得 AC=1 2

D.7

由余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos A =22+12-2×2×1×cos 60° =3 ∴BC= 3,故选 A. 答案: A b 9.锐角三角形 ABC 中,a、b、c 分别是三内角 A、B、C 的对边,如果 B=2A,则 的 a 取值范围是( A.(-2,2) C.( 2, 3) b sin B sin 2A 解析: ∵ = = =2cos A, a sin A sin A
?B=2A<90° ? 又∵△ABC 是锐角三角形,∴? , ? ?A+2A>90°

) B.(0,2) D.( 2,2)

b ∴30° <A<45° ,则 =2cos A∈( 2, 3). a 答案: C 10.某海上缉私小分队驾驶缉私艇以 40 km/h 的速度由 A 处出发,沿北偏东 60° 方向航 行,进行海面巡逻,当行驶半小时到达 B 处时,发现北偏西 45° 方向有一艘船 C,若 C 船位 于 A 处北偏东 30° 方向上,则缉私艇 B 与船 C 的距离是( A.5( 6+ 2)km C.10( 6+ 2)km )

B.5( 6- 2)km D.10( 6- 2)km

解析: 如图,由题意得∠BAC=30° ,∠ACB=75° , ∴ AB BC = , sin 75° sin 30°

∴BC=

10 =10( 6- 2)km. sin 75°

答案: D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 11.在△ABC 中,A,B,C 是三个内角,C=30° ,则 sin2A+sin2B-2sin Asin Bcos C 的

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值是________. 1 解析: sin2A+sin2B-2sin Asin Bcos C= 2(a2+b2-2abcos C) 4R = c2 1 =sin2C= . 4R2 4 1 4

答案:

1 12.在△ABC 中,若 S△ABC= (a2+b2-c2),那么角 C=___________________________. 4 解析: 根据三角形面积公式得, 1 1 S= absin C= (a2+b2-c2) 2 4 a2+b2-c2 ∴sin C= . 2ab a2+b2-c2 又由余弦定理:cos C= , 2ab π ∴sin C=cos C,∴C= . 4 答案: π 4

13.已知锐角三角形三边长分别为 3,4,a,则 a 的取值范围为________. 解析: 由锐角三角形及余弦定理知:

?3 +a -4 >0 ?a >7 ? 2 2 2 ? ?3 +4 -a >0 ??a2<25? 7<a<5. ?a>0 ?a>0 ? ?
答案: 7<a<5

2

2

2

2

14.甲船在 A 处观察到乙船在它的北偏东 60° 方向的 B 处,两船相距 a 海里,乙船向正 北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的 3倍,则甲船应沿________方向前进才能尽快追 上乙船,追上时乙船已行驶了________海里. 解析: 如图所示,设两船在 C 处相遇,并设∠CAB=θ,由题 BC· 120° 1 sin 意及正弦定理,得 sin θ= = , AC 2 ∴θ=30° .从而 BC= AB· θ sin a· 30° sin = =a. sin∠ACB sin?180° -120° -30° ?

即甲船应沿北偏东 30° 方向前进才能尽快追上乙船,追上时,乙 船已行驶了 a 海里. 答案: 北偏东 30° a 三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤)
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sin A+sin B 15.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,已知 sin C= ,试判断三角形的形状. cos A+cos B sin A+sin B 解析: ∵sin C= , cos A+cos B 由正弦定理得 c(cos A+cos B)=a+b, 再由余弦定理得, c2+b2-a2 a2+c2-b2 c· +c· =a+b, 2bc 2ac ∴a3+a2b-ac2-bc2+b3+ab2=0, ∴(a+b)(c2-a2-b2)=0,∴c2=a2+b2, ∴△ABC 为直角三角形. 16.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,已知 c= 3,b=1,B=30° . (1)求角 A; (2)求△ABC 的面积. 解析: (1)由 b c = 得 sin B sin C

c 3 sin C= sin B= 3×sin 30° = . b 2 ∵c>b,∴C>B,∴C=60° C=120° 或 . ∴A=90° A=30° 或 . 1 (2)S△ABC= bcsin A 2 1 3 = ×1× 3sin 90° = . 2 2 1 1 3 或 S△ABC= bcsin A= ×1× 3×sin 30° = . 2 2 4 即△ABC 的面积为 3 3 或 . 2 4

17.(本小题满分 12 分)在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,且 3 a=2csin A. (1)确定角 C 的大小; 3 3 (2)若 c= 7,且△ABC 的面积为 ,求 a+b 的值. 2 解析: (1)由 3a=2csin A 及正弦定理得, a 2sin A sin A = = . c sin C 3 ∵sin A≠0,∴sin C= 3 . 2

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π ∵△ABC 是锐角三角形,∴C= . 3 π (2)∵c= 7,C= ,由面积公式得 3 1 π 3 3 absin = ,即 ab=6.① 2 3 2 π 由余弦定理得 a2+b2-2abcos =7, 3 即 a2+b2-ab=7, ∴(a+b)2=7+3ab.② 由①②得(a+b)2=25,故 a+b=5. 18.(本小题满分 14 分)在某次地震时,震中 A(产生震动的中心 位置)的南面有三座东西方向的城市 B、 D, C 两市相距 20 km, C、 B、 C、D 相距 34 km,C 城在 B、D 两城之间.如图所示,某时刻 C 市 感到地表震动,8 秒后 B 市,20 秒后 D 市先后感到地表震动,已知 震波在地表传播的速度为每秒 1.5 km. 求:震中到 B、C、D 三市的距离. 解析: 在△ABC 中,由题意 AB-AC=1.5×8=12. 在△ACD 中,由题意 AD-AC=1.5×20=30. 设 AC=x,则 AB=12+x,AD=30+x. 在△ABC 中, x2+400-?12+x?2 256-24x 32-3x cos∠ACB= = = . 40x 5x 2×20×x 在△ACD 中, x2+1 156-?30+x?2 cos∠ACD= 68x = 256-60x 64-15x = . 68x 17x

∵B、C、D 在一条直线上, ∴ 64-15x 32-3x 64-15x 3x-32 =- ,即 = . 17x 5x 17 5

48 132 258 解之得 x= (km).∴AB= ,AD= . 7 7 7 132 48 258 答:震中距 B、C、D 三市分别为 km, km, km. 7 7 7

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