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2013届高考数学第一轮讲义复习课件27


一轮复习讲义

数系的扩充与复数的引入

要点梳理
1.复数的有关概念 (1)复数的概念

忆一忆知识要点

形如 a+bi (a,b∈R)的数叫做复数,其中 a,b 分别是 它的 实部 和虚部. b=0 , a+bi 为实数, b≠0 , 若 则 若 则 a+bi 为虚数,若 a=0 且 b≠0 ,则 a+bi 为纯虚数. (2)复数相等:a+bi=c+di? a=c 且 b=d d∈R). (3)共轭复数:a+bi 与 c+di 共轭?a=c,b=-d (a,b, c,d∈R). (a,b,c,

要点梳理
(4)复平面

忆一忆知识要点

建立直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面. x 轴 叫做 实轴, y 轴 叫做虚轴.实轴上的点都表示 实数 ;除原点外, 虚轴上的点都表示 纯虚数 ;各象限内的点都表示 非纯虚数 . (5)复数的模 → 向量OZ的模叫做复数 z=a+bi 的模,记作 |z| 或 |a+bi| ,即|z| a2+b2 . =|a+bi|=

要点梳理
2.复数的几何意义 (1)复数 z=a+bi b∈R).

忆一忆知识要点

复平面内的点 Z(a,b)(a,

(2)复数 z=a+bi(a,b∈R) 3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则

→ 平面向量OZ .

设 z1=a+bi,z2=c+di (a,b,c,d∈R),则 ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i ; ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i ;

要点梳理

忆一忆知识要点

③乘法:z1·2=(a+bi)· z (c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i ; z1 a+bi ?a+bi??c-di? ④除法: = = z2 c+di ?c+di??c-di? =
ac+bd bc-ad + i c2+d2 c2+d2

(c+di≠0).

(2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1、z2、z3∈C, 有 z1+z2= z2+z1 ,(z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) .

[难点正本

疑点清源]

1.对于复数 z=a+bi 必须满足 a、b 均为实数,才能得出实 部为 a, 虚部为 b.对于复数相等必须先化为代数形式才能 比较实部与虚部. 2. 复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的 方法,其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算 及性质.应用复数的实数化策略可解决求复系数方程的 实数解、求复平面上动点的轨迹等问题.

复数的分类
m?m+2? 例 1 已知 m∈R,复数 z= +(m2+2m-3)i,当 m m-1 为何值时, (1)z∈R; (2)z 是虚数; (3)z 是纯虚数; 1 (4) z = +4i. 2
若 z=a+bi (a,b∈R),则 b=0 时,z∈R;b≠0 时,z 是虚数; 1 a=0 且 b≠0 时,z 是纯虚数; z =a-bi= +4i. 2



(1)由

?m2+2m-3=0, ? z∈R,得? ?m-1≠0, ?

解得 m=-3.

(2)由 z 是虚数,得 m2+2m-3≠0,且 m-1≠0, 解得 m≠1 且 m≠-3. ?m?m+2?=0, ? (3)由 z 是纯虚数,得?m-1≠0, ?m2+2m-3≠0, ?
解得 m=0 或 m=-2.
m?m+2? 1 1 (4)由 z = +4i,得 -(m2+2m-3)i= +4i, 2 2 m-1 ?m?m+2? 1 ? = , 2 m-1 ∴? ?-?m2+2m-3?=4, ? 解得 m=-1. ?2m2+3m+1=0, ? 即?m≠1, ?m2+2m+1=0, ?

探究提高
(1)本题考查复数集中各数集的分类,题中给出的复数采用的是 标准的代数形式,否则应先化为代数形式,再依据概念求解. (2)若复数的对应点在某些曲线上,还可写成代数形式的一般表 达式.如:对应点在直线 x=1 上,则 z=1+bi (b∈R);对应点 在直线 y=x 上,则 z=a+ai(a∈R),在利用复数的代数形式解 题时经常用到这一点.

变式训练 1
m2-m-6 当实数 m 为何值时,z= +(m2+5m+6)i,(1)为实 m+3 数;(2)为虚数;(3)为纯虚数;(4)复数 z 对应的点在复平面内 的第二象限.
解 (1)若 z
?m2+5m+6=0 ? 为实数,则? ?m+3≠0 ?

,解得 m=-2.

(2)若 z -3.

?m2+5m+6≠0 ? 为虚数,则? ?m+3≠0 ?

,解得 m≠-2 且 m≠

?m2+5m+6≠0 ? 2 (3)若 z 为纯虚数,则?m -m-6 ? m+3 =0 ?

,解得 m=3.

?m2-m-6 ? <0 m+3 (4)若 z 对应的点在第二象限,则? ?m2+5m+6>0 ?
?m<-3或-2<m<3 ? 即? ?m<-3或m>-2 ?



,∴m<-3 或-2<m<3.

复数的代数运算
?2+2i?4 -2 3+i ? 2 ?2 010 ? 例 2 计算:(1) ;(2) +? ; ?1- 3i?5 1+2 3i ?1-i? ? ? ?1+i? 2+ 3i 2+2i ? 2 ?2 008 ? ?6 ? ? (3)? + ;(4) . 2· 1-i? ?1-i? ?1+i? 3- 2i ? ? ? ?
利用复数的运算法则及特殊复数的运算性质求解.

16?1+i?4 解 (1)原式= ?1- 3i?4?1- 3i? -64 16?2i?2 = = 2 ?-2-2 3i? ?1- 3i? 4?1+ 3i?2?1- 3i? -16 -4 = = =-1+ 3i. ?1+ 3i?×4 1+ 3i

i?1+2 3i? ?? 2 ?2?1 005 ? ? (2)原式= +?? 1+2 3i ??1-i? ? ? ? ?? ? 2 ? ? ? =i+?-2i?1 005=i+i1 005 ? ? =i+i4
×251+1

=i+i=2i.
??1+i?2? ? ?6 ? 原式=? ? + ? 2 ?

(3)方法一
6

2+ 3i?? 3+ 2i? ? 3?2+? 2?2

6+2i+3i- 6 =i + =-1+i. 5 方法二 (技巧解法) ??1+i?2? ? 2+ 3i?i ? ?6 ? 2+ 3i?i 6 原式=? + =i + =-1+i. 2 ? ? 3- 2i?i 2+ 3i ? ?
2+2i? 2 ?1 004 1+i?1?1 004 i-1 ? ? ? ? (4)原式= = = · 1=-1+i. 1 -2i ?2i? -i ? i ?

探究提高
复数代数形式的运算是复数部分的重点,其基本思路就是应 用运算法则进行计算.复数的加减运算类似于实数中的多项 式的加减运算(合并同类项), 复数的乘除运算是复数运算的难 点,在乘法运算中要注意 i 的幂的性质,区分(a+bi)2=a2+ 2abi-b2 与(a+b)2=a2+2ab+b2; 在除法运算中, 关键是“分 母实数化”(分子、 分母同乘以分母的共轭复数), 此时要注意 区分(a+bi)(a-bi)=a2+b2 与(a+b)(a-b)=a2-b2, 防止实数 中的相关公式与复数运算混淆,造成计算失误.

变式训练 2
3+i (1)已知复数 z= , z 是 z 的共轭复数,则 z· = z ?1- 3i?2 ________. ?-1+ 3i?5 (2)复数 的值是________. 1+ 3i i (3)已知复数 z 满足 =2-i,则 z=__________. z+i
(1)方法一 1 z· =|z| = . z 4
2

| 3+i| 1 |z|= = , |?1- 3i?2| 2

3+i 3 i 方法二 z= =- + , 4 4 -2?1+ 3i? ? 3 i ?? 3 i? 1 ? ?? z· =?- + ??- - ?= . z 4 4 ?? 4 4 ? 4 ? ?
1 3 ?5 2 ?- + i? 5 ?-1+ 3i? 2 ? ? 2 ? (2) = ? 1+ 3i 3? ?1 2? + i? 2 ? ?2 ? 1 3 - - i 2 2 4 =2 · =-16. 1 3 + i 2 2
5?

?

i (3)由 =2-i, z+i i?2+i? i 2 1 1 3 得 z= -i= -i= i- -i=- - i. 5 5 5 5 5 2-i

1 1 3 答案 (1) (2)-16 (3)- - i 4 5 5

复数的几何意义
例3 如图所示,平行四边形 OABC,顶点 O, A,C 分别表示 0,3+2i,-2+4i,试求: → → (1)AO、BC所表示的复数; → (2)对角线CA所表示的复数; (3)求 B 点对应的复数.

结合图形和已知点对应的复数,根据加减法的几何意义,即 可求解.
→ → → (1)AO=-OA,∴AO所表示的复数为-3-2i. → → → ∵BC=AO,∴BC所表示的复数为-3-2i. 解

→ → → → (2)CA=OA-OC,∴CA所表示的复数为 (3+2i)-(-2+4i)=5-2i. → → → → → (3)OB=OA+AB=OA+OC, → ∴OB表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,
即 B 点对应的复数为 1+6i.

探究提高
根据复平面内的点、 向量及向量对应的复数是一一对应的, 要 求某个向量对应的复数, 只要找出所求向量的始点和终点, 或 者用向量相等直接给出结论.

变式训练 3
2-i (1)复 数 z= (i 为 虚 数单 位 )在复 平面 内对应 的点 在第 2+i

四 ________象限.
2-i ?2-i?2 4-4i-1 3 4 ∵z= = = = - i, 5 5 5 2+i ?2+i??2-i? 3 4 ∴复数 z 对应的点的坐标为( ,- ),在第四象限. 5 5

(2)在复平面内,复数 6+5i,-2+3i 对应的点分别为 A,B. 若 C 为线段 AB 的中点,则点 C 对应的复数是__________. 2+4i
复数 6+5i 对应 A 点坐标为(6,5), -2+3i 对应 B 点坐 标为(-2,3).由中点坐标公式知 C 点坐标为(2,4),∴点 C 对 应的复数为 2+4i.

思想与方法
用待定系数法解决复数问题
(14 分)已知 x,y 为共轭复数,且(x+y)2-3xyi=4-6i, 求 x,y.

审题视角
(1)x,y 为共轭复数,可用复数的基本形式表示出来;(2)利 用复数相等,将复数问题转化为实数问题.

规范解答 解 设 x=a+bi (a,b∈R), 则 y=a-bi,x+y=2a,xy=a2+b2, [3 分]

代入原式,得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,
?4a2=4 ? 根据复数相等得? ?-3?a2+b2?=-6 ?

[5 分]
[7 分]


?a=-1 ? 或? ?b=-1 ?

?a=1 ? 解得? ?b=1 ?

?a=1 ? 或? ?b=-1 ?

?a=-1 ? 或? ?b=1 ?

.

[11 分]

故所求复数为
?x=-1-i ? ? ?y=-1+i ?

?x=1+i ? ? ?y=1-i ?



?x=1-i ? ? ?y=1+i ?



?x=-1+i ? ? ?y=-1-i ?



.

[14 分]

批阅笔记

(1)复数问题要把握一点,即复数问题实数化,这是解决复数 问题最基本的思想方法. (2)本题求解的关键是先把 x、y 用复数的形式表示出来,再用 待定系数法求解.这是常用的数学方法. (3)本题易错原因为想不到利用待定系数法,或不能将复数问 题转化为实数方程求解.

方法与技巧
1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方 根.除法实际上是分母实数化的过程. 2.在复数的几何意义中,加法和减法对应向量的三角形法则 的方向是应注意的问题,平移往往和加法、减法相结合. 1 3 3.要记住一些常用的结果,如 i、- + i 的有关性质等可 2 2 简化运算步骤提高运算速度.

失误与防范
1.判定复数是实数,仅注重虚部等于 0 是不够的,还需考 虑它的实部是否有意义. 2.对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解,判 别式不再成立.因此解此类方程的解,一般都是将实根 代入方程,用复数相等的条件进行求解. 3.两个虚数不能比较大小. 4.利用复数相等 a+bi=c+di 列方程时,注意 a,b,c,d ∈R 的前提条件. 5.z2<0 在复数范围内有可能成立,例如:当 z=3i 时 z2= -9<0.

知识网络
复数的概念

实数 复数的分类 虚数 复数相等 复数的模 纯虚数

复数模的运算性质:设z1 ,z2 ? C有 (1) || z1 | ? | z2 ||≤| z1 ? z2 |≤| z1 | ? | z2 | ; (2) | z1 ? z2 |2 ? | z1 ? z2 |2 ? 2 | z1 |2 ?2 | z2 |2 ; (3) | z1 z2 |?| z1 || z2 | ; (4) | z1 | z1 | |? ; z2 | z2 |

共轭复数

(5) | z n |?| z |n ( n ? N? ); | z |2 ?| z |2 ? z ? z . (6)

复数的加法


复数的运算

复数的减法
复数的乘法 复数的除法

几何意义及 性质应用



共轭复数的性质: 设z ? a ? bi,z ? a ? bi(a ,b ? R)则 (1) z ? z; (2) z ? z ? z为实数; (3) z ? ? z且z ? 0 ? z为纯虚数; (4) z ? 1 ? z ? 1; z (5) Z1 ? Z 2 ? z1 ? z2; (6) Z1 ? Z 2 ? z1 ? z2; Z z (7)( 1 ) ? 1 ( z2 ? 0); Z2 z2 (8) z n的共轭 ? ( z )n ( n ? N? ).

复数z=a+bi

一一对应

复平面内的点Z(a,b)

复数的向量表示
平面向量 OZ

要点梳理
1.虚数单位 i 的引入( i 2 ? ?1 )
性质: i4 n

? 1, i

4 n?1

? i, i

4 n? 2

? ?1, i

4 n? 3

? ?i.

2.复数的代数形式: 3.复数相等

z ? a ? bi (a, b ? R).

?a ? c a ? bi ? c ? d i ? ? (a, , , ? R) bcd ?b ? d

?a ? 0 a ? bi ? 0 ? ? (a, ? R) b ?b ? 0

4.复数 z=a+bi (a, b∈R)的分类 正整数 整数 零 有理数 负整数 实数 分数 (b=0) 无理数 虚数 (b?0) 非纯虚数(a?0)

复数z=a+bi (a, b?R)

? ? ?

?

纯虚数 (a=0)

5.复数的几何意义

复数z=a+bi 一一对应 点Z(a,b) 一一对应 一一对应 向量OZ

6.复数的加法 (设z1=a+bi, z2=c+di, a, b, c, d∈R ) (1)运算法则: (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c ) ? (b ? d )i (2)复数加法的运算律 ① 交换律 z1 ? z2 ? z2 ? z1 ②结合律 ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ) Z(a+c,b+d) (3)复数加法运算的几何意义 y
Z2(c,d)

符合向量加法的平 行四边形法则
o

Z1(a,b)

x

7.复数的减法 (设z1=a+bi, z2=c+di, a, b, c, d∈R ) (1)运算法则: (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c ) ? (b ? d )i (2)复数加法运算的几何意义 y (3)复平面内两点间的距离公式
Z2(c,d) Z1(a,b)

????? d ?| Z1 Z 2 |
? (a ? c ) ? (b ? d )
2 2

o

x
符合向量减法的 三角形法则

8. 复数代数形式的乘法
(设z1=a+bi, z2=c+di, a, b, c, d∈R ) (1) 乘法法则

(a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (ad ? bc )i
(2) 乘法运算律

z1·2=z2·1, z z

(z1·2)·3=z1· 2·3), z z (z z
z1· 2+z3)=z1·2+z1·3. (z z z

9. 复数代数形式的除法
(设z1=a+bi, z2=c+di, a, b, c, d∈R ) (1) 除法法则

(ac ? bd ) ? (bc ? ad )i (c ? di ? 0). (a ? bi) ? (c ? di) ? 2 2 c ?d
【评注】先把除式写成分式的形式,再把分子与 分母都乘以分母的“实数化因式”(共轭复数),化简后 写成代数形式.

10.共轭复数
(1)定义: 当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时, 这两个复数叫做互为共轭复数. 虚部不等于0的两个共 轭复数也叫做共轭虚数. 复数 z=a+bi 的共轭复数记作 z , 即 z ? a ? bi. (2)共轭复数的性质

(1) z ? z ? 2a
(2) z ? z ? 2bi (纯虚数或 0)

(3) z ? z
(4) zz ?| z | ?| z |
2 2

11.几个特殊虚数的性质

(1 ? i)2 ? 2i ,(1 ? i)2 ? ?2i 1 ? i ? i 1 ? i ? ?i 1?i 1?i 设 ? ? ? 1 ? 3 i, 12.有关?的性质 2 2

(1)? ? ? , (2)? ? ? ? 1 2 (3)1 ? ? ? ? ? 0
2

(4)? ? 1,
3

13. 复数的模的性质

(1) || z1 | ? | z2 ||≤| z1 ? z2 |≤| z1 | ? | z2 | (2) || z1 | ? | z2 ||≤| z1 ? z2 |≤| z1 | ? | z2 |
(3) | z1 ? z2 |?| z1 | ? | z2 |
z1 | z1 | (4) | |? z2 | z2 |

(5) | z n |?| z |n (6) | z |2 ?| z |2 ? z ? z

(7) | z |?| z |? z ? z

14. 共轭复数的性质

(1)z1 ? z2 ? z1 ? z2 (3)z1 ? z2 ? z1 ? z2
(5) z ? z ? R
(7) | z |2 ?| z |2 ? z ? z

(2)z1 ? z2 ? z1 ? z2
z1 z1 (4)( ) ? z2 z2
(6)z ? z
(8) | z |?| z |? z ? z

例 1.设 z 为复数,且 | z |?| z ? 1|? 1,求 | z ? 1| 的值.
解:设 z a ? b i(i(a,b R) ? z z ? 1 ( a ? ? b b i,且 ? z z ? ? 1 解:设 z ? ? a ? b a,b ?? R) ?? 1 ? ?a(? 1)1) ? i,且 | z| |z ||?| ? 1|1|? 1 2 2 2 2 ? ?a 2a? ?2b? ? 1 ? ?2a? ?2b? ? 1 ?a b 1 ?a a ? ? 1 ? b 1 ?? ? ? 12 ? ? 解方程组,得 ? ? ? ?2 2 2 2 解方程组,得 ? ? 2 ?? ? ? ? 2 2 33 2 2 2 2 ? b 2 2? 0 a a? ? b? ?a a ? 0 a? b 1 ? ? ? b 2b? ? 4 ? ?(a(? 1)1)? ? b? ? 1 ? ? ?? ?? 4
1 ?? 2 2 3 ? ? (a(a 1)1)? ? 2b? ? ( ?( ? 1 1)1)? ? 3 ? 3 3 ?2 2b 2 ?| z 1|? ( ( ? 1) ? b | ? ?| z ?? 1||?|a a ? 1) ? ib|i? 22 44
【点评】一般地,欲求一个复数,通常先设出复数的代数形 式a+bi(a,b∈R),而后利用已知条件列出关于a,b的方程 组,求解出a,b,也即求得了这个复数,在这里,方程的思想 方法得到了充分运用.

例 2.已知复数 w 满足 w ? 4 ? (3 ? 2 w)i ( i 为虚数单位),

z ? 5 ? | w ? 2 | ,求一个以 z 为根的实系数一元二次方程. w
解:? w(1 ? 2i) ? 4 ? 3i, ? w ?
? z ? 5 ? | ?i |? 3 ? i. 2?i
4 ? 3i ? 2 ? i. 1 ? 2i

若实系数一元二次方程有虚根 z ? 3 ? i, 则必有共轭虚根 z ? 3 ? i. ? z ? z ? 6, z ? z ? 10, 所求的一个一元二次方程可以是 x 2 ? 6 x ? 10 ? 0.
解:设 w ? a ? bi (a, b ? R), 则 a ? bi ? 4 ? 3i ? 2ai ? 2b,
?a ? 4 ? 2b, 得? ?b ? 3 ? 2a,

? a ? 2, ?? ? b ? ?1.

? w ? 2 ? i.

【1】集合 M ? { 2, (m2 ? 2m ? 5) ? (m2 ? 5m ? 6)i }, 1,

N ? {3,10} ,且 M ? N ? ? ,则实数 m 的值为

-2或-3

.

(m2 ? 2m ? 5) ? (m2 ? 5m ? 6)i ? 3
? m 2 ? 2m ? 5 ? 3 ? ? m ? ?2; ?? 2 ?m ? 5m ? 6 ? 0 ?
?m 2 ? 2m ? 5 ? 10 ? ?? 2 ?m ? 5m ? 6 ? 0 ?

(m2 ? 2m ? 5) ? (m2 ? 5m ? 6)i ? 10

? m ? ?3.

【2】下列命题正确的个数为 ①若z∈C, 则z2≥0 ②若a>b, 则 a+i>b+i ③若z12+z22 = 0 ,则z1= z2=0 ④若z1 , z2∈C,且z1-z2>0, 则z1>z2

0 .

解: ①错误:设z=i, 则z2=-1<0. ②错误: ∵a>b,故a, b∈R, ∴ a+i与b+i都是虚数,虚数不能比较大小. ③错误:设z1=i, z2=1, 满足z12+z22 = 0, 但 z1≠z2. ④错误:设z1=2+i, z2=-1+i, 满足z1-z2=3>0, 但2+i与-1+i 都是虚数,不能比较大小.

【1】 (09 山东)复数 3 ? i 等于

走进高考

1? i

2?i

.

3 ? i ? (3 ? i )(1 ? i) 1 ? i (1 ? i )(1 ? i )
3 ? 2i ? i 2 ? 1 ? i2

? 4 ? 2i ? 2 ? i. 2

a ? 2i ? b ? i(a, b ? R ) ,其中 i 为虚数单 【2】 (10 山东)已知 i
位,则 a ? b ?

走进高考

1.

a +2i =b+i ? a +2i=bi ? 1 i

? a= ? 1,b=2

? a ? b=1.

走进高考
【3】 (2009 湖北)投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为 m 和 n,则复数 (m+ni)(n-mi)为实数的概率为 1 .

6

? (m ? ni)(n ? mi) ? 2mn ? (n ? m )i 为实数,
2 2

? n2 ? m 2 , 即 m ? n.
?P ? 6 ? 1. C1 ? C1 6 6 6

走进高考
【4】 (10 湖北) i 为虚数单位, 若 图中复平面内点 Z 表示复数 z , 则表示复数 z 的点是 1? i

H

.

z=3+i
z ? 3?i 1? i 1? i
(3 ? i)(1 ? i) 4 ? 2i ? ? ? 2 ? i. (1+i)(1 ? i) 2

走进高考
【5】 (10 福建 9)对于复数 a, b, c, d ,若集合 S ? {a, b, c, d } 具

?a =1 ? 2 有性质“对任意 x, y ? S ,必有 xy ? S ”,则当 ?b =1 时, b ? c ? d 等 ?c 2 =b ? -1
于 .

取 a=1,b= ? 1,c=i,d = ? i,

b+c+d = ? 1+i ? i ? ?1

走进高考
6.定义运算 则z ? a
2-i

c

b d

? ad ? bc.复数 z 满足 .

z i 1 i

? 1 ? i,

z i ? ? zi ? i, zi ? i ? 1 ? i, ? 1 i 1 ? 2i 故z ? ? 2 ? i. i

在数学的天地里, 重要的不是我们知道什么,

而是我们怎么知道什么. ——毕达哥拉斯


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2013届高考数学第一轮复习教案第4讲 基本初等函数
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