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2015年高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算(1)教案 新人教版必修1


2.1.1(1)指数与指数幂的运算(教学设计) 内容:根式
教学目标 1、知识与技能:理解根式的概念及性质,能进行根式的运算,提高根式的运算能力。 2、过程与方法:通过由特殊到一般,由平方根、立方根,采用类比的方法过渡到 n 次方根;通过对“当 n 是偶数 时, n a n ?| a |? ?

?a (a ? 0) ”的理解 ,培养学生分类讨论的意识。 ? a ( a ? 0 ) ?

3、态度情感价值关:通过运算训练,培养学生严谨的思维,一丝不苟的学习习惯。 教学重点:对根式概念、性质的理解,运用根式的性质化简、运算。 教学难点:当 n 是偶数时, n a n ?| a |? ?

?a (a ? 0) 的得出及运用 ?? a (a ? 0)

教学过程 一、创设情境,新课引入: 问题 1(课本 P48 问题 1) : 从 200 0 年 起的未来 20 年,我国国内生产总值年平均增长率可达到 7.3%.那么,在 2001——2020 年,各年的国 内生产总值可望为 2000 年的多少倍? 引导学生逐年计算,并得出规律: 设 x 年后我国的国内生产总值为 2000 年的 y 倍,那么 y ? 1.073 ( x ? N*, x ? 20) .
x

问题 2(课本 P58 问题 2) : 当生物死亡后,它机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰减,大约每经过 5730 年衰减为原 来的一半,这个时间称 为“半衰期” .

1 根据此规律,人们获得了生物体内碳 14 含量 P 与死亡年数 t 之间的关系 P ? ( ) 5730 . 2
当生物死亡了 5730,2?5730,3?5730,…年后,它体内碳 14 的含量 P 分别为 指数幂.它们的值分别为

t

1 1 2 1 3 , ( ) , ( ) ,….是正整数 2 2 2

1 1 1 , , ,…. 2 4 8

当生物死亡 600 0 年,10000 年,100000 年后,它体 内碳 14 的含量 P 分别为 ( ) 5730 , ( ) 5730 , ( ) 式子的意义又是什么呢?这些正是本节课要学习的内容. 二、师生互动,新课讲解: 1、问题引入: (1)若 x ? a ,则 x 叫 a 的
2

1 2

6000

1 2

10000

1 2

100000 5730

,这些

.如: ? 2 是 4 的平方根 数;负数没有平方根;零的平方根是 .

一个正数的平方根有
3

个,它们互为

(2)若 x ? a ,则 x 叫 a 的 一个正数的立方根是一个

.如: 2 是 8 的立方根,-2 是-8 的立方根。 数,0 的立方根是 .
1

数,一个负数的立方根是一个

(3)类比平方根、立方根的定义,你认为 ,一个数的四次方等于 a ,则这个数叫 a 的 ;一个数的五次方等 于 a ,则这个数叫 a 的 ;一个数的六次方等于 a ,则这个数叫 a 的 ;……;一个数的 n 次方等于 a ,则这 个数叫 a 的 ;
n * 一般地,如果 x ? a ,则 x 叫 a 的 n 次方根,其中 n ? 1 且 n ? N .

问: (1)16 的四次方根是 .32 的五次方根是 .-32 的五次方根是 . (2)一个正数的 n 次方根有几个?一个负数 的 n 次方根有几个?0 的 n 次方根是多少?(给学生留点时间进行探 究) 得出结论: (1)一个正数的偶次方根有两个,这两个数互为相反数;负数没有偶次方 根。 (2)一个正数的奇次方根是一个正数,一个负数的奇次方根是一个负数。 (3)0 的任何次方根都是 0。 即
n ? n为奇数,a的n次方根有一个为 a a 为正数: ? n ?n为偶数,a的n次方根有两个为? a

n ?n为奇数,a的n次方根只有一个为 a a 为负数: ? n为偶数,a的n次方根不存在 ?

零的 n 次方根为零,记为 n 0 ? 0 注意: 正数 a 的正的 n 次方根 n a 叫做 a 的 n 次算术根 指出: 式子 n a 叫做根式,这里 n 叫根指数, a 叫被开方数。 探究 1: (1) ( 5 ) 2 = ; (3 ? 27) 3 = ; (4 16) 4 = .

(2)从(1)你有何发现? (3) (n a ) n = a 一定成立吗?为什么? 得出结论: (n a ) n = a 探究 2: (1) 3 33 =
3 ; 3 (?2) =

; 25 =

5

5 ; 5 (?3) =

.

(2)由(1)你发现了什么结论? (3) 2 2 = ; 32 =
2 ; (?3) =

; 4 24 =
4 ; 4 ( ?2) =

; 4 34 =
4 ; 4 (?3) =

. .

( ?2) 2 =

(4)由(3)你发现了什么结论? 由此得出:当 n 是奇数时, n a n = a 当 n 是偶数时, a ?| a |? ?
n n

?a (a ? 0) ?? a (a ? 0)

例 1(课本 P50 例 1) 求值或化简:
3 (1) 3 (?8) ; 2 4 (2) ( ?10 ) ; (3) 4 (3 ? ? ) ; (4) 2 (a ? b) 2 ( a ? b )
2

变式训练 1:化简:

( a ? b) 2
2

例 2:求值或化简: (1) a 6
3 4 3 (2) 3 (?2) ? 4 (? ? 2) ? 3 (2 ? ? )

(3)

?

3

m ? n ? 4 ( m ? n) 4

?

3

4 5 (a ? b ) 4 ; 变式训练 2: (1) 4 (2) 4 ( ?4) ; (3) 5 ? 5 ( ?2) . (4) ( 3 27)3 ,
3 (6) 3 (?2) , (7) 4 34 ( 5 ?32)5 ,

(5)

2 2 例 3:若 5<a<8,则式子 ( a ? 5) ? ( a ? 8) 的值为__________________ (答:2a-13)

变式训练 3:若 a2 ? 2a ? 1 ? a ?1,求 a 的取值范围。 (答:a ? 1)

三、课堂小结,巩固反思: (1)根式:如果 x ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.
n

(2)根式性质: (n a ) n ? a (n ? 1, n ? N*) . (3) n a n ? ?

?a n为奇数 . ?| a | n为偶数

四、布置作业: A 组: 1、 (课本 P59 习题 2.1 A 组 NO:1)

2、已知: x ?

1 1 1 1 1 2 3 3 =3,求(1) x ? ;(2) x ? 2 ;(3) x ? 3 ; (4) x ? 3 的值。 x x x x x

3、 (1) 3 ? 2 2 ? 3 ? 2 2 =_____________________(答:2 2 ) (2) 5 ? 2 6 ? 5 ? 2 6 =______________________ (答:2 3 )

3


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