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苏州市2017届高三调研数学试卷


苏州市 2017 届高三调研数学试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分)
1、已知集合 A ? x x ? 1 , B ? x x ? 3 ,则集合 A ? B ? 2、已知复数 z ?

?

?

?

?

. .

1? i ,其中 i 为虚数单位,则复数 z 的虚部为 2i

x2 y2 ? ? 1 的离心率为 3、在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 3 6



4、用分层抽样的方法从某高中校学生中抽取一个容量为 45 的样本,其中高一年级抽 20 人,高三年级抽 10 人,已知该校高二年级共有学生 300 人,则该校学生总数为 . 5、一架飞机向目标投弹,击毁目标的概率为 0 .2 ,目标未受损的概率为 0 .4 ,则目标受损 但未完全击毁的概率为 . 6、阅读下面的流程图,如果输出的函数 f ( x) 的值在区间 [ , ] 内,那么输入的实数 x 的 取值范围是 .

1 1 4 2

? y ? x ?1 ? 7、已知实数 x, y 满足 ? x ? 3 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值是 ?x ? y ? 4 ?
8、设 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a2 ? 7, S 7 ? ?7 ,则 a7 的值为
2 2





9、在平面直角坐标系 xOy 中,已知过点 M (1,1) 的直线 l 与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5 相切, 且与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则实数 a ? .

10、一个长方体的三条棱长分别为 3,8,9 ,若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面 积没有变化,则圆孔的半径为 11、已知正数 x, y 满足 x ? y ? 1 ,则 .

4 1 ? 的最小值为 x ? 2 y ?1



12、若 2 tan ? ? 3 tan

?
8

,则 tan( ? ?

?
8

)?



13、已知函数 f ( x ) ? ?

? x 2 ? 4, x ? 0 ,若关于 x 的方程 f ( x) ? ax ? 5 ? 0 恰有三个不同的 x ? e ? 5, x ? 0
个.

实数解,则满足条件的所有实数 a 的取值集合为

14、已知 A, B, C 是半径为 1 的圆 O 上的三点, AB 为圆 O 的直径, P 为圆 O 内一点(含 圆周) ,则 PA? PB ? PB ? PC ? PC ? PA 的取值范围为 .

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明 或演算步骤)
15、已知函数 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos2 x ? . 2 2

(1)求函数 f ( x) 的最小值,并写出取得最小值时的自变量 x 的集合 (2)设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 c ?

3 , f (C ) ? 0 ,若

sin B ? 2 sin A ,求 a , b 的值.

16、如图,已知直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面是菱形, F 是 BB1 的中点, M 是线 段 AC1 的的中点. (1)求证:直线 MF // 平面 ABCD ; (2)求证:平面 AFC1 ? 平面 ACC1 A1 .

17、已知椭圆 C :

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过点 P(2,?1) . 2 2 a b

(1)求椭圆 C 的方程; (2) 设点 Q 在椭圆 C 上, 且 PQ 与 x 轴平行, 过 P 点作两条直线分别交椭圆 C 于 A( x1 , y1 )

B( x2 , y2 ) 两点,若直线 PQ 平分 ?APB ,求证:直线 AB 的斜率是定值,并求出这个定
值.

18、某湿地公园内有一条河,现打算建一座桥(图 1)将河两岸的路连接起来,剖面设计图 纸(图 2)如下:

其中,点 A, E 为 x 轴上关于原点对称的两点,曲线 BCD 是桥的主体, C 为桥顶,且曲线 段 BCD 在图纸上的图形对应函数的解析式为 y ?

8 , x ? [?2,2] ,曲线段 AB, DE 均 4 ? x2

为开口向上的抛物线段,且 A, E 分别为两抛物线的顶点.设计时要求:保持两曲线在各衔 接处 ( B, D) 的切线的斜率相等.

(1)求曲线段 AB 在图纸上对应函数的解析式,并写出定义域; (2)车辆从 A 经 B 到 C 爬坡.定义车辆上桥过程中某点 P 所需要的爬坡能力为: M P ? (该点 P 与桥顶间的水平距离) ? (设计图纸上该点 P 处的切线的斜率) ,其中 M P 的单 位:米.若该景区可提供三种类型的观光车:①游客踏乘;②蓄电池动力;③内燃机动力, 它们的爬坡能力分别为 0 .8 米, 1.5 米, 2 .0 米,又已知图纸上一个单位长度表示实际长度 1 米,试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥?

19、已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2an ? 2 ( n ? N ) .
?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 通项公式; (3)在(2)的条件下,设 cn ? 2 n ? ?bn ,问是否存在实数 ? ,使得数列 ?cn ? ( n ? N )
?

b b b b 1 ? 1 ? 2 2 ? 3 3 ? ? ? (?1) n?1 n n ,求数列 ?bn ? 的 an 2 ? 1 2 ? 1 2 ? 1 2 ?1

是单调递增数列?若存在,求出 ? 的取值范围;若不存在,请说明你的理由.

20、已知函数 f ( x) ? (ln x ? k ? 1) x ( k ? R ) . (1)当 x ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间和极值; (2)若对于任意 x ? [e, e 2 ] ,都有 f ( x) ? 4 ln x 成立,求实数 k 的取值范围; (3)若 x1 ? x 2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,证明: x1 x2 ? e .
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