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利用弹簧振子模型巧解物理竞赛题


利用弹簧振子模型巧解物理竞赛题
在物理竞赛中, 经常涉及利用熟知的物理模型进行等效类比求解。本文就弹簧振 子模型的巧用举例分析,以供参考。 [例 1]设海水的密度随着深度每增加 1m 即增加至表面密度的万分之五。一密度 为 1.5×10 kg/m 的刚性小球自海面无初速下落,至海底时速度又刚好为零。若忽 略海洋湍流及其它一切因素的影响,试求此处海水的深度及小球下落时间。 分析与解: 小球在海水中下落时受重力与浮力作用,因浮力随海水的密度变化而 变化,故小球在海水中并非做匀变速运动。既然小球受变力作用,必须分析变力 有何特征。 设海面下 x 米处海水密度为 ρ x,海水表面密度为 ρ 0,则小球在任意位置受浮 力
3 3

取 g=10m/s2,ρ 0=1.0×103kg/m3,则 F 浮=5xV 令 k=5V,则 F 浮=kx 故小球在海水中任一位置所受合力为 F 合=mg-kx 从小球受力特征我们不难发现, 小球在海水中受力情况类似于有固定悬点的弹簧 振子的受力,如图 1 所示。L 为弹簧原长,振子在振动过程中任一位置所受合力 为: F 合=mg-kx 不难证明,若振子自 C 点释放,则振子做简谐运动,其振动周期和振 幅分别为:

因小球在海水中受力类似于上述弹簧振子, 故可用弹簧振子模型来等效小球的运 动。故海水深度为:

[例 2]滑块 A 的质量是 4kg,静止在光滑的水平面上,其右侧固定着一水平放置 的、劲度系数为 k=5N/m 的轻弹簧,另一质量为 1kg 的滑块 B 以 5m/s 的速度正 对弹簧射来,求从 B 接触弹簧到弹簧压缩量最大所经历的时间。

从 B 接触弹簧到弹簧压缩最大过程,系统动量守恒,设弹簧最大压缩量为△x, 此时 A、B 具有共同的速度为 v',则 mBv=(mA+mB)v' (1)

代入数据求得 t=0.8(s)。 上述解法似乎无懈可击,但仔细分析不难发现弹簧对 B 的作用力随 规解法 甚难求解。 究竟怎样求解?下面不妨先来看无固定悬点的弹簧振子问题。如图 3 所示,质量 分别为 mA 和 mB 的两木块 A 和 B, 用一根倔强系数为 k 的轻弹簧联系起来, 放 于光滑水平面上。现让两木块将弹簧压缩后,不论同时释放两木块,还是一先一 后释放两木块, 都不难证明两木块相对系统的质心做简谐运动, 且振动周期相等, 即

利用上述弹簧振子模型可作如下巧解。 在 B 压缩弹簧过程中,系统的质心虽作匀速直线运动,但 A、B 两物体相对质心 则作简谐运动。根据运动的等时性知,从 B 接触弹簧到弹簧压缩量最大所历时 间应为上述弹簧振子模型的四分之一个周期,即

上述两例是大胆进行思维创造的一种体现,例 2 中关于 A、B 相对质心做简谐运 动已在许多竞赛资料中予以证明。


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