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2015全国高中数学联赛预赛模拟题2


2015 全国高中数学联赛预赛模拟题 2
1. 解:显然 x ? 0 ,且 x ? 1 。 如果 f ( x) ? 1 ? log x 2 ? log x2 9 ? log x3 64 ,则使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围为_____.

3 l o? g 3 4 x ggx 。 x ? l loo 8 3 8 3 要使 f ( x) ?

0 。当 x ? 1 时, x ? 1 ,即 1 ? x ? ;当 0 ? x ? 1 时, x ? 1 ,此时无 8 3 8

2 f ( x) ? 1 ? log x 2 ? log x2 9 ? log x3 64 ? 1 ? l o x g ?

x

解。由此可得, 使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围为 1 ? x ?

8 3



2.已知集合 A ? x cos 2 x ? 2(1 ? 2) sin x ? (2 2 ? 1) ? 0, x ? R ,

B ? ? x sin x ? cos x, x ? R? ,则 A ? B =________.
解: cos 2x ? 2(1 ? 2)sin x ? (2 2 ?1) ? 0

?

?

? s i 2n x ? ?( 1 2 x? ) s i?n ? 2 (sin x 0? 2)(sin x ?1) ? 0 没有实数 x 可以使上述不等式成立。故 A ? ? 。从而有 A ? B ? ? 。 3. 以 1,1,1, 2, 2, 2 为六条棱长的四面体个数为________.
解:以这些边为三角形仅有四种: (1,1,1) , (1,1, 2) , (1, 2, 2) , ( 2, 2, 2) 。 固定四面体的一面作为底面: 当底面的三边为 (1,1,1) 时,另外三边的取法只有一种情况,即 ( 2, 2, 2) ; 当底 面的三边为 (1,1, 2) 时 ,另外三 边的取法有 两种情形, 即 (1, 2, 2) ,

( 2,1, 2) 。
4. 其余情形得到的四面体均在上述情形中。由此可知,四面体个数有3个。 从1至 169 的自然数中任意取出3个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法有 _______种。

解:若取出的3个数构成递增等比数列
169
2

a, aq, aq2 ,则有1 ? a ? aq ? aq2 ? 169 。由 2 此有 2 ? q ? 13 。当 q 固定时,使三个数 a, aq, aq 为整数的 a 的个数记作 N ( q ) 。由

?169 ? ? 42 , N (3) ? ?169 ? ? 18 , ? ? q ? 22 ? ? ? 32 ? ? N (4) ? 10 , N (5) ? 6 , N (6) ? 4 , N (7) ? 3 , N (8) ? 2 , N (9) ? 2 , N (10) ? N (11) ? N (12) ? N (13) ? 1.因此,取法共有 N (1) ? N (2) ? ? N (13) ? 91 。

aq2 ? 169 ,知 N ( q ) 应是

的整数部分。 N (2) ?

5. 设 ?an ? 为 a1 ? 4 的单调递增数列,且满足 an?1 ? an ? 16 ? 8(an?1 ? an ) ? 2an?1an ,则
2 2

an ?



2 2 2 解: an ?1 ? an ? 16 ? 8(an?1 ? an ) ? 2an?1an ? (an?1 ? an ) ? 8(an?1 ? an ) ? 16 ? 4an?1an

? (an?1 ? an ? 4)2 ? 4an?1an
号。) ? ( an ?1 ? an ) 2 ? 4 ?

? an?1 ? an ? 4 ? 2 an?1an (由题意可知取正

an ?1 ? an ? 2
1

因此, 6.

? a ? 公差为2的等差数列,即
n

an ? 2n 。从而可得 an ? 4n2 。

设 a, b, c 为方程 x3 ? k1 x ? k2 ? 0 的根( k1 ? k2 ? 1 ),则

1? a 1? b 1? c ? ? ? 。 1? a 1? b 1? c 解:由题意, x3 ? k1x ? k2 ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c) 。由此可得 a ? b ? c ? 0 , ab ? bc ? ca ? ?k1 , abc ? k2 以及 1 ? k1 ? k2 ? (1 ? a)(1 ? b)(1 ? c) 1 ? a 1 ? b 1 ? c 3 ? (a ? b ? c) ? (ab ? bc ? ca) ? 3abc 3 ? k1 ? 3k2 ? ? ? ? 1? a 1? b 1? c (1 ? a)(1 ? b)(1 ? c) 1 ? k1 ? k2
7. 设 xk , yk (k ? 1, 2,3) 均为非负实数,则

? 2015 ? y1 ? y2 ? y3 ?

2

2 2 2 2 ? y3 ? x2 ? y2 ? x12 ? y12 ? ( x1 ? x2 ? x3 )2 的最小值 ? x3

为 。 解:在直角坐标系中,作点 O (0, 0) , A(0, 2015) , P 1 ( x1 ? x2 ? x3 , y1 ) ,

P2 ( x2 ? x3 , y1 ? y2 ) , P 3 ( x3 , y1 ? y2 ? y3 ) 。则
I=

? 2015 ? y1 ? y2 ? y3 ?

2

2 2 2 2 ? y3 ? x2 ? y2 ? x12 ? y12 ? ( x1 ? x2 ? x3 )2 ? x3

= AP3 + P3 P2 + P2 P 1 + PO 1

(应用三角不等式)

? AP ? AO =2015。 ? AP2 + P2 P 1 + PO 1 1 + PO 1
如果取 A ? P 1 ?P 2 ?P 3 ,即 x1 ? x2 ? x3 ? 0, y1 ? 2015, y2 ? y3 ? 0 ,那么I取到最小 值 2015。 8. 设 f ( x ) 是定义在R上的奇函数,且满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x );又当 0 ? x ? 1 时,

1 ? 1? x ,则 ? x f ( x) ? ? ? = 。 2 2? ? 解:依题意, f ( x ? 4) ? ? f ( x ? 2) ? f ( x) ,即 f ( x ) 是以4为周期的周期函数。 1 1 因为当 0 ? x ? 1 时,f ( x ) ? x , 且 f ( x ) 为奇函数, 所以当 ?1 ? x ? 0 时,f ( x ) ? x 。 2 2 ? 1 x ?1 ? x ? 1 ? 1 ? 2 此时有 f ( x) ? ? 。可得 f (?1) ? f (3) ? ? 。又因为 f ( x ) 是以 2 ?? 1 x ? 1 1 ? x ? 3 ? ? 2 1 ? 1? 4为周期的周期函数, 所以 f (4k ? 1) ? ? ,故 ? x f ( x) ? ? ? ? {x | x ? 4k ? 1, k ? Z } 2 2? ? N 1 4028 9. 设 N ? 2 ,则不超过 ? 的最大整数为 。 n n ?1 2 1 2 1 ? ? ? 2( n ? n ? 1) , 解: ? 2( n ? 1 ? n ) ? n ?1 ? n n n ? n ?1 n f ( x) ?
2

N 1 ? 1 ? 2? ( n ? n ? 1) , n n ?1 n ?1 n ?2 N 1 ? 1 ? 2( N ? 1) , ? 2( N ? 1) ? 2( N ? 1 ? 1) ? ? n n ?1 N 1 ? 2 ? 22014 ? 1 , ? 2(22014 ? 1) ? 2( N ? 1 ? 1) ? ? n n ?1 N 1 2015 ?2。 的最大整数为 2 ? 不超过 ? n n ?1 x y z 6 .2 5 10. 整数 x ? y ? z , 且 2 ?2 ?2 ?4 , 则整数组 ( x, y, z ) 为 。 x ?3 y ?3 z ?3 解:方程两边同乘以8,得 2 ? 2 ? 2 ? 37 。 因为 x ? y ? z ,所以要使左边

? 2? ( n ? 1 ? n ) ? ?

N

N

? 1 ,即 z ? ?3 。则 2x?3 ? 2 y ?3 ? 36 ? 2x?1 ? 2 y ?1 ? 9 。要使左边为 y ?1 x ?1 奇数, 只有 2 ? 1 , 即 y ? ?1 。 从而有 2 ? 8 , 即x ? 2。 故有 ( x, y, z) ? (2, ?1, ?3) 。
为奇数,只有 2
z ?3

11. 如图, M , N 分别为锐角三角形 ?ABC ( ?A ? ?B )的外接圆 ? 上弧 BC 、 AC 的 中点.过点 C 作 PC ∥ MN 交圆 ? 于 P 点, I 为 ?ABC 的内心,连接 PI 并延长交圆 ? 于 C T. P ⑴求证: MP ? MT ? NP ? NT ; N M ⑵在弧 AB (不含点 C )上任取一点 Q ( Q ≠ A , T , B ), 记 ?AQC , △QCB 的内心分别为 I1 , I 2 , 求证: Q , I1 , I 2 , T 四点共圆. 解:⑴连 NI , MI .由于 PC ∥ MN , P , C , M , N 共圆, 故 PCMN 是等腰梯形.因此 NP ? MC , PM ? NC . A 连 AM , CI ,则 AM 与 CI 交于 I , P 因为 ?MIC ? ?MAC ? ?ACI ? ?MCB ? ?BCI ? ?MCI , N 所以 MC ? MI . 同理 NC ? NI . 于是 NP ? MI , PM ? NI . 故四边形 MPNI 为平行四边形. A 因此 S△PMT ? S△PNT (同底,等高).
I T Q C
M I T

B

B

又 P , N , T , M 四点共圆,故 ?TNP ? ?PMT ? 180? ,由三角形面积公式 1 1 1 S△PMT ? PM ? MT sin ?PMT ? S△PNT ? PN ? NT sin ?PNT ? PN ? NT sin ?PMT 2 2 2 C P 于是 PM ? MT ? PN ? NT . ⑵因为 ?NCI1 ? ?NCA ? ?ACI1 ? ?NQC ? ?QCI1 ? ?CI1 N , N M 所以 NC ? NI1 ,同理 MC ? MI 2 . NT MT 由 MP ? MT ? NP ? NT 得 . ? MP NP
NT MT ? 由⑴所证 MP ? NC , NP ? MC ,故 . NI1 MI 2
3
A I I2 I1 T Q B

又因 ?I1 NT ? ?QNT ? ?QMT ? ?I 2 MT ,有 ?I1 NT ∽ ?I 2 MT . 故 ?NTI1 ? ?MTI 2 ,从而 ?I1QI 2 ? ?NQM ? ?NTM ? ?I1TI 2 . 因此 Q , I1 , I 2 , T 四点共圆. 12. 已知抛物线 y ? ?2 x ? x ?
2

1 1 11 1 1 和点 A( , ) 。过点 F ( , ? ) 任作直线,交抛物线 8 4 8 4 8

于 B,C 两点。 (1)求△ABC的重心轨迹方程,并表示成 y ? f ( x) 形式;
n 1 3 k ,满足 xk ?1 ? f ( xk ) 。试证: ? xk 。 ?1 ? 2 5 k ?1 1 1 1 1 解: (1)设过 F ( , ? ) 的直线方程为 y ? ? k ( x ? ) 。又设 B( x1 , y1 ) ,C( x2 , y2 ) , 4 8 8 4 1 ? 1 y ? ? k(x ? ) ? ? 8 4 联立方程组, ? ? y ? ?2 x 2 ? x ? 1 ? ? 8 k 2 消去 y ,得 2 x ? (k ? 1) x ? ? 0 。从而有, 4 k ?1 1 1 k2 1 x1 ? x2 ? ? ? 。 , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? ) ? ? ? 2 2 4 2 4 设△ABC的重心坐标为 ( x, y ) ,则

(2)若数列 ?xk ? , 0 ? x1 ?

1 ? x1 ? x2 ? ? 3 ? 2k ? 4 x? x? ? ? ? ? 12 3 ?? ? 2 11 ?y ? ? k ? 3 ? y1 ? y2 ? ? ?y ? 8 ? 6 8 ? ? 3 2 消去k,即得 y ? ?6 x ? 3x 。 1 2 (2)因为 0 ? x1 ? , x2 ? f ( x1 ) ? ?6 x1 ? 3x1 ? 3x1 (1 ? 2x1 ) ,所以 2

0 ? x2 ? 3x1 (1 ? 2 x1 ) ?
上式右边等号成立当且仅当 x1 ?

3 ? 2 x1 ? (1 ? 2 x1 ) ?

2

? 2?

2

? ? , ? 8

3

1 3 。假设 0 ? xk ? ,则 4 8
2

3 ? 2 x ? (1 ? 2 xk ) ? 3 0 ? xk ?1 ? 3xk (1 ? 2 xk ) ? ? k ? ? , 2? 2 ? 8 1 3 上式右边等号成立当且仅当 xk ? 。由此得到 0 ? xk ? ( k ? 2,3, 4 8
4

)。从而有

k n 3 ? ?3? ? 3 ? 3? 0 ? ? x ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 。 5? k ?1 k ?1 ? 8 ? ? 5 ? ?8? ? 13. 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ln x ? ax 2 , x ? 0. ( f ( x ) 的图像连续不断) (Ⅰ )求 f ( x ) 的单调区间; 1 3 (Ⅱ )当 a ? 时,证明:存在 x0 ? (2, ??) ,使 f ( x0 ) ? f ( ) ; 8 2 ( Ⅲ ) 若 存 在 均 属 于 区 间 ?1,3? 的 ? , ? , 且 ? ? ? ? 1 , 使 f (? ) ? f ( ? ), 证 明 n k k ?1 n

ln 3 ? ln 2 ln 2 ?a? . 5 3 1 1 ? 2ax 2 2a , x ? (0, ??) ,令 f '( x) ? 0 ,解得 x ? (Ⅰ )解: f '( x) ? ? 2ax ? . x x 2a 当 x 变化时, f '( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
(0,
f '( x) f ( x)

2a ) 2a
+

2a 2a
0 极大值

(

2a , ??) 2a
-

2a 2a ) ; f ( x) 的单调递减区间是 ( , ??) . 2a 2a 1 1 2 (Ⅱ ) 证明: 当 a ? 时, f ( x) ? ln x ? x .由(Ⅰ )知 f ( x ) 在(0,2)内单调递增, 8 8 3 在 (2, ??) 内 单 调 递 减 . 令 g ( x) ? f ( x ) ? f ( ) , 由 f ( x ) 在 (0 ,2) 内 单 调 递 增 , 故 2 3 f (2) ? f ( ) ,即 g (2) ? 0 , 2 3 3 41 ? 9e2 ' ' ? 0 ,所以存在 x0 ? (2, ??) ,使 f ( x0 ) ? f ( ) . 取 x ? e ? 2 ,则 g ( x ) ? 2 2 32 2a (Ⅲ) 证明:由 f (? ) ? f ( ? ) 及 (Ⅰ ) 的结论知 ? ? ? ? ,从而 f ( x) 在 [? , ? ] 上 2a 的最小值为 f (? ) . ? f (2) ? f (? ) ? f (1) 又 由 ? ? ? ? 1 , ? , ? ?[1,3] , 知 1 ? ? ? 2 ? ? ? 3 . 故 ? ,即 ? f (2) ? f ( ? ) ? f (3) ?ln 2 ? 4a ? ?a ln 3 ? ln 2 ln 2 ?a? ,从而 . ? 5 3 ?ln 2 ? 4a ? ln 3 ? 9a
所以 f ( x ) 的单调递增区间是 (0,

5


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