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函数(1)学生


函数(一)
基础篇 1、(1)函数 f (x) = log 2 (x 2 + 2 x - 3) 的定义域是 (2)若函数 y ?

kx ? 7 的定义域为 R,则 k ? _______ kx ? 4kx ? 3
2

?1 ? (3)若函数 y ? f ( x) 的定义域为 ? ,2? ,则 f (log2 x) 的

定义域为______ ?2 ?

(4)若函数 f ( x 2 ? 1) 的定义域为 [?2,1) ,则函数 f ( x) 的定义域 ___
2、函数 f ( x) ? 4? | x | ? lg 3、设 f ( x) ? ?

x2 ? 5x ? 6 的定义域为 x?3

?1 ? x , x ? 0 ? ,则 f ( f ( ?2)) ? x 2 , x ? 0 ? ?

?2 x ?1 ? 2, x ? 1 变式: (1)已知函数 f ( x) ? ? ,且 f (a) ? ?3 ,则 f (6 ? a) ? ?? log 2 ( x ? 1), x ? 1
(2)设函数 f ( x) ? ?

?3 x ? b, x ? 1 5 ,若 f ( f ( )) ? 4 ,则 b ? x 6 ? 2 , x ?1

? x2 , x ? 1 (3) 已知函数 f ? x ? ? ? ,则 f ? x ? 的最小值是. ? 6 ? x ? ? 6, x ? 1 x ?
(4)已知函数 f ( x) ? ? f ( f ( x ? 5)), , x ? 10 , x ? N ,则 f (8) ?
? ? x ? 3, x ? 10

? ?2 x , x ? 2 4、 已知函数 f ( x) ? ? ,函数 g ( x) = 3 - f (2 - x) ,则函数 y = f ( x) - g ( x) 的 2 ? ?( x ? 2) , x ? 2

零点的个数为 5 、 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) = 2
| x - m|

- 1(m为实数) 为 偶 函 数 , 记

a = f (log 0.5 3), b = f (log 2 5), c = f (2m) ,则 a, b, c ,的大小关系为

变式:设 a ? 0.60.6,b ? 0.61.5,c ? 1.50.6, 则 a,b,c 的大小关系是 6、(1)已知 f(x)是 R 上的偶函数, 对 x?R都有 f(x+6)=f(x)+f(3)成立, 若 f(1)=2, 则 f(2011)= (2)已知定义在 R 上的函数 f (x)的图象关于 ( ?
3 2 3 , 0 ) 成中心对称,且满足 4

f (x) = ?f (x? ),f (? 1 )? 1, f (0) = –2,则 f (1) + f (2) +?+ f (2010)的值为 (3)
f x ?1 y ? f ? x ? 定义域为 R,且对任意 x ? R 都有 f ? x ?1? ? ? ? ,若 f ?2? ?1? 2 , 1? f ? x?

则 f(2009) =_
? x ? a , ?1 ? x ? 0 ? (4)设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数, 在区间 [ ?1,1) 上,f ( x) ? ? 2 , ? 5 ? x ,0 ? x ? 1 ?

若 f(

?5 9 ) ? f ( ) ,则 f (5a ) 的值是 2 2

1? 7、函数 f ? x ? ? ? ? x ? ? cos x ( ?? ? x ? ? 且 x ? 0 )的图象可能为( x? ?



A.

B.

C.

D.

变式: (1)函数 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? d 的图像如图所示,
3 2

则 a0,b0,c 0,d0

(2)若函数 f ( x) ?| 2 x ? 2 | ?b 有两个零点,则实数 b 的取值范 围是_____.

π (3)函数 f ( x) ? 2sin x sin( x ? ) ? x 2 的零点个数为_________. 2

(4)若函数 f ( x) ? 2 x ? a (a ? R) 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且 f ( x) 在 [m, ??) 单调 递增,则实数 m 的最小值等于______.

2x ? 1 是奇函数,则使 ( f x) ? 3 成立的 x 的取值范围为 2x ? a 变式: (1)已知函数 y = f ( x )是定义在 R 上的奇函数,当 x <0 时, f ? x ? ? x ? 2x ,
8、若函数 f ( x) ? 则 x >0 时, f ? x ? ? (2) 已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数, 且对于任意 x∈R, 都有 f ? x ? 5? ? ? f ? x ? , 若 f(-3)=1,则 f(2008)= 9、方程 log 2 (9 x ?1 ? 5) ? log 2 (3 x ?1 ? 2) ? 2 的解为. 10、已知函数 f ( x) ? x x ? 2 ,则不等式 f ( 2 ? x) ≤ f (1) 的解集为. 11、若 log a 12 ? 1 ,则 a 的取值范围是. a ?1 12、已知函数 f (x)=?
?x,x≥0, ?x ,x<0,
2 2

,则关于 x 的不等式 f(x )>f(3-2x)的解集是.

2

13、 设二次函数 f(x)=ax +bx+c(a, b, c 为常数)的导函数为 f′(x). 对任意 x∈R,

b2 不等式 f(x)≥f′(x)恒成立,则 2 2的最大值为. a +c
14、不等式 x ? 3 ? x ?1 ? a ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为
2

15、若关于 x 的方程 ( 3 ) x ? 3a ? 2 有负实数解,则实数 a 的取值范围为__ 4 5?a
2

___。

16、 (1)若函数 f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间(-∞,4] 上是减函数,那么实数 a 的取值范围是______ (2)已知函数 f ( x) ? ax ? 1 在区间 (?2, ??) 上是增函数,则 a 的取值范围为__. x?2 (3)函数 y ? log 1 ? x ? 2 x 的单调递增区间是________
2 2

?

?

(4)已知奇函数 f ( x ) 是定义在 (?2,2) 上的减函数,若 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 ,则实 数 m 的取值范围 .

17、已知 f ( x ) ? ?

?(3a ? 1) x ? 4 a, x ? 1 是 (??, ??) 上的减函数, log a x, x ? 1 ?

则 a 的取值范围.

变式: (1)函数 y ? loga ? 2 ? ax ? 在 ?0,1? 是减函数,则 a 的取值范围是. 18、已知函数 f ( x) ?| x ? a | ?

1 1 ( x ? 0) ,若 f ( x) ? 恒成立,则实数 a 的取值范围是 x 2

__________. 19、对于任意实数 x ,符号[ x ]表示 x 的整数部分,即[ x ]是不超过 x 的最大整数” 。 这个函数[ x ]叫做“取整函数” , 那么 [log3 1] ? [log3 2] ? [log3 3] ? [log3 4] ? ? ? [log3 243 ] =. 20、设 2 ? 5 ? m ,且
a b

1 1 ? ? 2 ,则 m ? . a b

21、已知函数 f ( x) ?

2x ? m ? 1 是奇函数且 f (a 2 ? 2a) ? f (3) ,则 a 的取值范围是. 2x ? 1

22、若曲线 y ? x2 ? ax ? b 在点 (0, b) 处的切线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,则 a= b= 23、若函数 f(x)= ?log (? x), x ? 0 ,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围 1

?log 2 x, x ? 0, ? ? ?
2


2 24、设函数 g ( x) ? x ? 2( x ? R) , f ( x) ? ?

? g ( x) ? x ? 4, x ? g ( x) ,则 ? g ( x ) ? x, x ? g ( x )

f ( x) 的值域是

25、若函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且在区间 [0. ? ?) 上是单调增函数.如果实数

1 t 满足 f (ln t ) ? f (ln ) ? 2 f (1) 时,那么 t 的取值范围是. t 1 1 1 1 若对任意 x1 ? [ , 2] , 总存在 x2 ? [ , 2] , f ( x) ? x 2 ? 2mx ? m, g ( x) ? ? (2 x ? ) . 2 3 x 2 26、
使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ), 则 m 的取值范围是.

27、 设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数,f ?( x ) 是 f(x)的导函数,

当 x ??0, ? ? 时,0<f(x)<1;当 x∈(0,π ) 且 x≠ 函数 y=f(x)-sinx 在[-2π ,2π ] 上的零点个数为
?1? ? ?

? ? 时 , ( x ? ) f ?( x) ? 0 ,则 2 2
.
?1 ? ? ?

28、已知函数 f ?x ? 满足 f ?x ? ? 2 f ? ? ,当 x ? ?1,3? 时, f ?x ? ? ln x ,若在区间 ? ,3? 内, 3 x 函数 g ?x ? ? f ?x ? ? ax?a ? 0? 恰有一个零点,则实数 a 的取值范围. 29 、已知 y ? f ( x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ?

4 ,且当 x ???5, ?1? 时, x

n ? f ( x) ? m 恒成立,则 m ? n 的最小值为.
30、已知函数 f ( x) ?| lg x | .若 a ? b 且, f (a) ? f (b) ,则 a ? b 的取值范围是 31 、已知定义在 R 上的偶函数 f ? x ? 满足 f ? 4 ? x? ? f ? x? ,且当 x ? ? ?1, 3? 时, πx ? ?1+cos 2 ,1<x≤3, 则 g ? x ? ? f ? x ? ? lg x |的零点个数是. f ? x ? =? 2 ? ?x ,-1<x≤1, 32、设 a 为实常数, y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时,

f ( x) ? 9 x ?
是.

a2 ? 7 .若 f ( x ) ? a ? 1 对一切 x ? 0 成立,则 a 的取值范围 x

?-2+ln x,x>0 1 1 34、 已知函数 f ( x) ?| x ? | ? | x ? | , 关于 x 的方程 f 2 ( x ) ? a f ( x ) ? b ? 0 ( a, b ? R ) x x
恰有 6 个不同实数解,则 a 的取值范围是. 35、已知二次函数 f ( x) ? x2 ? x ? k , k ? Z ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 在 ? ?1, ? 上有 两个不同的零点,则

33、函数 ( f x)= ?

?x 2 +2x-3,x ? 0

的零点个数为

? ?

3? 2?

[ f ( x)]2 ? 2 的最小值为. f ( x)

? (2 x ? x 2 )e x , x ≤ 0, g ( x) ? f ( x) ? 2k ,若函数 g ( x) 恰有两个不同 36、已知函数 f ( x) ? ? 2 ?? x ? 4 x ? 3, x ? 0,

的零点,则实数 k 的取值范围为.

37 、定 义域为

R 的 偶函 数 f ( x) 满 足对 ?x ? R , 有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (1) , 且 当
时 , f ( x) ? ?2 x2 ? 12x ? 18 , 若 函 数 y ? f ( x) ? loga (| x | ?1) 在

x ? [2,3]
二、解答题

(0,??) 上至少有三个零点,则 a 的取值范围是.
1、 a 为实数, 函数 f ( x) ? | x 2 ? ax | 在区间 [0, 1] 上的最大值记为 g (a) . 当 a ? _________
时, g (a) 的值最小. 2、 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c,, 对任意实数 x , 都有 f ( x )≥x , (a b,c ? R) 满足: 且当 x ? ?1, 3? 时,有 f ( x)≤ 1 ( x ? 2)2 成立. 8 (1)证明: f (2) ? 2 ; (2)若 f (?2) ? 0 ,求 f ( x) 的表达式. 3、已知 f ? x ? ?

2x ? a ? x ? R ? 在区间 ??1,1? 上是增函数. x2 ? 2 1 的两个非零实根为 x1 , x2 .试问:是否存在实数 m , x

(Ⅰ)求实数 a 的值组成的集合 A ;[来源:学科网 ZXXK] (Ⅱ)设关于 x 的方程 f ? x ? ?
2

使得不等式 m ? tm ? 1 ? x1 ? x2 |对任意 a ? A 及 t ? ? ?1,1? 恒成立?若存在,求 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.


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