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高一数学北师大版必修2223直线与圆圆与圆的


高一数学北师大版必修 2:2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系(45 分钟) 一、选择题 1.直线 x+y=1 与圆 x2+y2-2ay=0(a>0)没有公共点,则 a 的取值范围是 A.(0, 2-1) 1) 2.(2011· 大纲全国卷)设两圆 C1、C2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|= ( )A.4 B.4 2 C.8 D.8 2

B.( 2-1, 2+1) C.(- 2-1, 2+1) ( ) D.(0, 2+

3.设直线 x+ky-1=0 被圆 O:x2+y2=2 所截弦的中点的轨迹为 M,则曲线 M 与直线 x-y-1= 0 的位置关系是 ( )A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定

4.(2011· 重庆高考)在圆 x2+y2-2x-6y=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD, 则四边形 ABCD 的面积为 D.20 2 5.(2012· 绍兴模拟)直线 x+7y-5=0 截圆 x2+y2=1 所得的两段弧长之差的绝对值是( π A.4 π B.2 C.π 3π D. 2 ( ) D.[1- ) ( )A.5 2 B.10 2 C.15 2

6.若直线 y=x+b 与曲线 y=3- 4x-x2有公共点,则 b 的取值范围是 A.[1-2 2,1+2 2] 2 2,3] 二、填空题 B.[1- 2,3] C.[-1,1+2 2]

7. (2012· 海门模拟)两圆(x+1)2+(y-1)2=r2 和(x-2)2+(y+2)2=R2 相交于 P,Q 两点,若点 P 坐 标为(1,2),则点 Q 的坐标为________. 8.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2=4 上有且只有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离 为 1,则实数 c 的取值范围是________. 9. (2012· 盐城模拟)已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l:y=x-1 被该圆所截 得的弦长为 2 2,则圆 C 的标准方程为____________. 三、解答题 10.已知点 A(1,a),圆 x2+y2=4. (1)若过点 A 的圆的切线只有一条,求 a 的值及切线方程; (2)若过点 A 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为 2 3,求 a 的值.

11.已知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率为 1 的直线 l,使 l 被圆 C 截得的弦为 AB, 以 AB 为直径的圆经过原点.若存在,写出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2-12x+32=0 的圆心为 Q,过点 P(0,2)且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A,B. (1)求 k 的取值范围; (2)是否存在常数 k,使得向量 OA + OB 与 PQ 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在, 请说明理由.

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1.解析:由圆 x2+y2-2ay=0(a>0)的圆心(0,a)到直线 x+y=1 的距离大于 a,且 a>0 可得 a 的取 值范围.答案:A

2.解析:依题意,可设圆心坐标为(a,a)、半径为 r,其中 r=a>0,因此圆方程是(x-a)2+(y-a)2 =a2,由圆过点(4,1)得(4-a)2+(1-a)2=a2,即 a2-10a+17=0,则该方程的两根分别是圆心 C1, C2 的横坐标,|C1C2|= 2× 102-4×17=8.答案:C 3.解析:∵直线 x+ky-1=0 过定点 N(1,0),且点 N(1,0)在圆 x2+y2=2 的内部,∴直线被圆所截 1 1 弦的中点的轨迹 M 是以 ON 为直径的圆,圆心为 P(2,0),半径为2, 1 2 1 ∵点 P( ,0)到直线 x-y-1=0 的距离为 < ,∴曲线 M 与直线 x-y-1=0 相交.答案:C 2 4 2 4.解析:由题意可知,圆的圆心坐标是(1,3),半径是 10,且点 E(0,1)位于该圆内,故过点 E(0,1) 的最短弦长|BD|=2 10-?12+22?=2 5(注:过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦),过点 1 E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径,即|AC|=2 10,且 AC⊥BD,因此四边形 ABCD 的面积等于2 1 |AC|×|BD|=2×2 10×2 5=10 2.答案:B |0+0-5| 2 5.解析:圆心到直线的距离 d= = 2 .又∵圆的半径 r=1, 1+49 π ∴直线 x+7y-5=0 截圆 x2+y2=1 的弦长为 2.∴劣弧所对的圆心角为2. 3 π ∴两段弧长之差的绝对值为2π-2=π.答案:C 6.解析:在平面直角坐标系内画出曲线 y=3- 4x-x2与直线 y=x,在平面直角 坐标系内平移该直线,结合图形分析可知,当直线沿左上方平移到过点(0,3)的过程中的任何位置 相应的直线与曲线 y=3- 4x-x2都有公共点;当直线沿右下方平移到与以点 C(2,3)为圆心、2 为 半径的圆相切的过程中的任何位置相应的直线与曲线 y=3- 4x-x2都有公共点.注意与 y=x 平 行且过点(0,3)的直线方程是 y=x+3;当直线 y=x+b 与以点 C(2,3)为圆心、2 为半径的圆相切时, |2-3+b| 有 =2,b=1± 2 2.结合图形可知,满足题意的 b 的取值范围是[1-2 2,3].答案:D 2 7. 解析:由两圆的方程可知它们的圆心坐标分别为(-1,1),(2,-2),则过它们圆心的直线方程 x-?-1? y-1 为 = , 即 y=-x, 根据圆的几何性质可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称, 2-?-1? -2-1 故由 P(1,2)可得它关于直线 y=-x 的对称点即 Q 点的坐标为(-2,-1).答案:(-2,-1) 8. 解析:因为圆的半径为 2,且圆上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,即要圆 心

到直线的距离小于 1,即

|c| <1,解得-13<c<13.答案:(-13,13) 12 +?-5?2
2

|a-1| 9. 解析:设圆心坐标为(a,0)(a>0),则圆心到直线 x-y-1=0 的距离为 . 2

|a-1| 2 因为圆截直线所得的弦长为 2 2, 根据半弦、 半径、 弦心距之间的关系有( ) +2=(a-1)2, 2 即(a-1)2=4,所以 a=3 或 a=-1(舍去),则半径 r=3-1=2,圆心坐标为(3,0).所以圆 C 的标 准方程为(x-3)2+y2=4.答案:(x-3)2+y2=4 10. 解:(1)由于过点 A 的圆的切线只有一条,则点 A 在圆上,故 12+a2=4,∴a=± 3. 当 a= 3时,A(1, 3),切线方程为 x+ 3y-4=0;当 a=- 3时,A(1,- 3),切线方程为 x- 3y-4=0,∴a= 3时,切线方程为 x+ 3y-4=0,a=- 3时,切线方程为 x- 3y-4=0. (2)设直线方程为 x+y=b, 由于直线过点 A, ∴1+a=b, a=b-1.又圆心到直线的距离 d= ∴( |b| 2 2 3 2 ) +( ) =4.∴b=± 2.∴a=± 2-1. 2 2 |b| , 2

11. 解:依题意,设 l 的方程为 y=x+b①x2+y2-2x+4y-4=0②联立①② x +x =-?b+1?, ? ? 1 2 消去 y 得:2x +2(b+1)x+b +4b-4=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有? ③ b2+4b-4 x x = , 1 2 ? 2 ? ??? ? ??? ? ∵以 AB 为直径的圆过原点,∴ OA ⊥ OB ,即 x1 x2+y1y2=0,
2 2

而 y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2∴2x1x2+b(x1+x2)+b2=0, 由③得 b2+4b-4-b(b+1)+b2=0,即 b2+3b-4=0,∴b=1 或 b=-4. ∴满足条件的直线 l 存在,其方程为 x-y+1=0 或 x-y-4=0. 12. 解:(1)圆的方程可化为(x-6)2+y2=4,其圆心为 Q(6,0).过点 P(0,2)且斜率为 k 的直线方程 为 y=kx+2.代入圆的方程得 x2+(kx+2)2-12x+32=0,整理得(1+k2)x2+4(k-3)x+36=0.① 直线与圆交于两个不同的点 A,B,所以 Δ=[4(k-3)]2-4×36(1+k2)=42(-8k2-6k)>0, 3 3 解得-4<k<0,即 k 的取值范围为(-4,0).

??? ? ??? ? 4?k-3? (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 OA + OB =(x1+x2,y1+y2).由方程①,得 x1+x2=- , 1+k2
② 又∵y1+y2=k(x1+x2)+4.③而 P(0,2),Q(6,0), PQ =(6,-2),所以 OA + OB 与 PQ 共线等 3 3 价于(x1+x2)=-3(y1+y2),将②③ 代入上式,解得 k=-4.由(1)知 k∈(- ,0),故没有符合题 4 意的常数 k.

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