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秦九韶算法


课题:§1.3
一.教学任务分析:

秦九韶算法

(1)在理解了算法的三种不同表示方式的基础上,结合算法案例 2----秦九韶算法,让学生 经历设计算法解决问题的过程,体验算法在解决问题中的作用. (2)通过对具体实例的算法分析,画程序框图,编制程序,上机验证的方法理解掌握秦九韶算 法. (3) 通过秦九韶算法所蕴涵的算法思想, 培养学生利用算法解决问题的意识. 提高逻辑思维能 力.发展有条理的思考与数学表达的能力. 二.教学重点与难点: 教学重点:理解秦九韶算法求一元多项式的值的方法. 教学难点:把秦九韶算法的方法转换成程序框图与程序语言. 三.教学基本流程: 在初中所学多项式的基础上,从函数的观点认识多项式,求自变量取某个 值时多项式(函数)的值,对其算法进行比较. ↓ 秦九韶算法 ↓ 秦九韶算法举例 ↓ 秦九韶算法分析---程序框图及程序语言 ↓ 巩固练习,小结、作业

四.教学情境设计:
1.创设情景,揭示课题 我们在初中已经学过了多项式的有关知识 ,主要解决求多项式的值,那里是把多项式看作 代数式,在这里我们用函数的观点考察多项式.因此,求自变量取某个实数时的函数值问题,即 求多项式的值.那么:
5 4 3 2 怎样求多项式 f ( x) ? x ? x ? x ? x ? x ? 1 ,当 x ? 5 时的值?

教师引导学生交流讨论解决,归纳学生的解法,对解法的运算效率进行比较分析. 通过统计乘法和加法的运算次数来衡量算法的“好坏”

作法 1:把 x=5 代入 f(x) ,计算各项的值,然后把它们加起来 . 一共作了 1+2+3+4=10 次乘法运算,5 次加法运算. 作法 2:先计算 x ,然后依次计算 x 2 ? x, ( x 2 ? x) ? x, ((x 2 ? x) ? x) ? x 的值,这样每次都可以
2

利用上一次的计算结果, 即多项式变形为 f ( x) ? x 2 (1 ? x(1 ? x(1 ? x))) ? x ? 1 一共作了 4 次乘法运算,5 次加法运算. 显然作法 2 比作法 1 少了 6 次乘法运算,提高了运算效率.这种算法就叫秦九韶算法. 2.秦九韶算法 (1)秦九韶 :(公元 1202-1261 年)南宋,数学家。他在 1247 年(淳佑七年)著成 『数书九章』十八卷.全书共 81 道题,分为九大类:大衍类、天时类、田域类、测望类、赋 役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类。这是一部划时代的巨著,它总结了前人在开方中 所使用的列筹方法,将其整齐而有系统地应用到高次方程的有理或无理根的求解上去,其中 对「大衍求一术」﹝一次同余组解法)和「正负开方术」﹝高次方程的数值解法)等有十分 深入的研究. (2) 秦九韶算法

f ( x) ? a n x n ? a n ?1 x n ?1 ? a n ? 2 x n ? 2 ? ? ? a1 x ? a0 ? (a n x n ?1 ? a n ?1 x n ? 2 ? a n ? 2 x n ?3 ? ? ? a1 ) x ? a0 ? ((a n x n ? 2 ? a n ?1 x n ?3 ? ? ? a 2 ) x ? a1 ) x ? a0 ? ?? ? (? ((a n x ? a n ?1 ) x ? a n ? 2 ) x ? ? ? a1 ) ? a0
求多项式在 x= x0 时的值时,按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当 x= x0 的值.

v0 ? x0 v1 ? a n x 0 ? a n ?1 v 2 ? v1 x 0 ? a n ? 2 v 3 ? v 2 x 0 ? a n ?3 ??? v n ? v n ?1 x 0 ? a 0
这样,求 n 次多项式 f(x)的值就转化为求 n 个一次多项式的值。上述方法就是秦九韶算法. 3. 秦九韶算法举例 例 1 :已知一个 5 次多项式为 f ( x) ? 5x 5 ? 2 x 4 ? 3.5x 3 ? 2.6x 2 ? 1.7 x ? 0.8 用秦九韶算法求这个多项式当 x ? 5 时的值. 解:f(x)=((((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8 按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当 x=5 的值.

v0 ? 5 v1 ? 5 ? 5 ? 2 ? 27 v 2 ? 27 ? 5 ? 3.5 ? 138.5 v3 ? 138.5 ? 5 ? 2.6 ? 689.9 v 4 ? 689.9 ? 5 ? 1.7 ? 3451 .2 v5 ? 3451 .2 ? 5 ? 0.8 ? 17255 .2
所以, 当 x ? 5 时,多项式的值是 17255.2. 思考: (1)例 1 计算时需要多少次乘法计算?多少次加法计算? (2)在利用秦九韶算法计算 n 次多项式当 x ? x0 时需要多少次乘法计算和多少次加法 计算?(要考虑最高次数的系数和项是否缺少某次项,这里 1×2=2,1+0=0,可否算作做了 一次乘法和一次加法运算?) 4. 秦九韶算法分析 例2 设计利用秦九韶算法计算 n 多项式

f ( x) ? an x n ? an?1 x n?1 ? ? ? a1 x ? a0 , x ? x0 时的值的程序框图.
解:观察上述例题的算法,在计算 vk 时要用到 v k ?1 .若令 v0 ? an ,

? ?v0 ? a n ? ? ?v k ? v k ?1 x ? a n ? k (k ? 1,2, ?, n)
其算法步骤是: 第一步:输入多项式最高次数 n,最高次数的系数 an 和 x 的值. 第二步:将 v 的值初始化为 an ,将 i 的值初始化为 n-1. 第三步:输入 i 次项的系数 a i . 第四步:v=vx+ a i ,i=i-1. 第五步:判断 i 是否大于或等于 0.若是,则返回第三步;否则,输出多项式的值 v. 程序框图如下: 开始

输入 n,an,,x 的值

v=an
i=i-1

i=n-1
v=vx+ a i

结束 输入 a i 是 i>=0? 输出 v 否

程序语言 INPUT “n=”;n INPUT “an=”;a INPUT “x=”;x v=a i=n-1 WHILE i>=0 “ai=”;a PRINT “i=”;i INPUT v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT END v

5.课堂练习: (1)用 秦 九 韶 算 法 求 多 项 式:f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x. 当 x=3 时的值. (2) 设计利用秦九韶算法计算 5 次多项式:

f ( x) ? a5 x 5 ? a4 x 4 ? a3 x 3 ? a2 x 2 ? a1 x ? a0
当 x ? x0 时的值的程序框图. 解:程序框图如下:

开始

输入

f(x)的系数: a1,a2,a3,a4,a5
输入

x0

n=1

v=a5
n=n+1

v=v x0+a5-n
n≤ 5 是

否 输出v

结束

6.课后作业: <随堂导练>P15-16.


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