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2013年数学高考题分类三角函数


任意角和弧度制及任意角的三角函数、三角 函数的诱导公式
一、选择题 1.(2013· 浙江高考理科· T6) 已知 ? ? R , ? ? 2cos ? ? sin ( ) A.
? 4 3 4 3

10 a , nt 则2 2

??

B.

3 4

C. ?

3 4

D.

【解题指南】由已知条件和 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 联立方程组可求得 sin ? 与
cos? 的值,从而求得 tan ? ,再利用倍角公式求 tan 2? .
? ? 10 3 10 ? 10 ?sin ? ? ? ?sin ? ? 10 或 ? 10 【解析】选 C.由 ?sin ? ? 2cos ? ? 2 ,解得 ? ? ? ? ? cos ? ? 3 10 ? cos ? ? 10 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ? ? ? 10 10 ? ?

所以 tan ? ? ? 或 tan ? ? 3 ,
2 2 tan ? 3 1 3 ? ?? 当 tan ? ? ? 时, tan 2? ? 2 2 3 1 ? tan ? 4 ? 1? 1? ? ? ? ? 3? ?
2 tan ? 6 3 ? ? ? ,故选 C. 2 2 1 ? tan ? 1 ? 3 4 5? 1 2. (2013·广东高考文科·T4)已知 sin( ? ? ) ? ,那么 cos? ?( 2 5

1 3

当 tan ? ? 3 时, tan 2? ?



A. ?

2 5

B. ?

1 5

C.

1 5

D.

2 5

【解题指南】本题考查三角函数诱导公式,可以直接利用公式计算. 【解析】选 C. sin(
5? ? 1 ?? ? ? ? ) ? sin(2? + ? ? ) ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? . 2 2 5 ?2 ?

3.(2013·大纲版全国卷高考文科·T2)已知 ? 是第二象限角,
sin ? ? 5 ) , 则cos? ? ( 13 12 5 A. ? B. ? 13 13

C.

5 13

D.

12 13

【解题指南】由 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 及 sin ? 求出 cos? 的值,并利用 a 所在 象限判断 cos? 的符号. 【解析】选 A.因为 sin2 ? ? cos2 ? ? 1 ,所以 cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ?
cos ? ? ? 12 12 ,又 a 是第二象限角,所以 cos ? ? ? 13 13 144 ,则 169

二、填空题 4.(2013·大纲版全国卷高考理科·T13)
1 . 3 8 【解析】cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? ,而 ? 为第三象限角,所以 cos ? ? 0 ,解得 9

已知 ? 是第三象限角, ? ? ? , 则 cot ? ? sin

2 2 cos? ,又 cot? ? cos? ? ? ? 3 sin ?

?

2 2 3 ?2 2. 1 ? 3

【答案】 2 2

三角函数的图象与性质
一、选择题 1.(2013·湖北高考文科·T6)与(2013·湖北高考理科·T4)相 同 将函数 y= 3 cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移 m(m>0)个单位长 度后,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( A.
? 12



B.

? 6

C.

? 3

D

5? 6

【解题指南】先化简,再平移,余弦函数关于 y 轴对称。

【解析】选 B.由已知 y ? 2(
2

? 3 1 ? cos x ? sin x) ? 2sin( x ? ), 当 m ? 2 2 3 6

时,平移后

函数为 y ? 2sin( x ? ? ) ? 2cos x ,其图象关于 y 轴对称,且此时 m 最小。 2. (2013·天津高考文科·T6)函数 f ( x) ? sin ? 2 x ? ? ? 在区间 ?0, ? ? 上的 ? ? ? ?
? 4?
? 2?

最小值是=( A. -1

) B.
? 2 2

C.

2 2

D. 0

【解题指南】先确定 2 x ? ? 的范围,再根据正弦曲线的单调性求最小
4

值. 【解析】选 B.因为 x ? ?0, ? ? ,所以 2 x ? ? ? ? ? ? , 3? ? ,根据正弦曲线可知, ? ? ? ?
? 2?

4

? 4 4 ?

当 2 x ? ? ? ? 时, f ( x) 取得最小值 ?
4 4

2 2



3. (2013·新课标Ⅰ高考文科·T9)函数 f ( x) ? (1 ? cos x) sin x 在 [?? , ? ] 的图像大致为( )

【解题指南】首先判断函数的奇偶性进行排除,然后再根据函数的图 象特征取最佳值进行验证排除. 【解析】选 C.因为 f (? x) ? ?(1 ? cos x) sin x ,即 f (? x) ? ? f ( x) ,而定义域 所以函数 f (x) 为奇函数, 排除 B.又当 x ? x ? [?? , ? ] 关于原点对称,
? ? ? 3? f ( ) ? (1 ? cos ) sin ? 1 ? 0 ,排除 A. 当 x ? 时 2 2 2 4
f( 3? 3? 3? ) ? (1 ? cos ) sin ? 4 4 4 2 ?1 ? 1,排除 D. 2

?
2



二、填空题 4.(2013·江苏高考数学科·T1)函数 y ? 3 sin( 2 x ? ) 的最小正周期
4

?



.
2? |? |
2? ?? 2

【解题指南】利用三角函数周期公式 T ?
?

【解析】函数 y ? 3 sin( 2 x ? ) 的最小正周期 T ?
4

【答案】 ? 三、解答题 5.(2013·陕西高考文科·T16)与(2013·陕西高考理科·T16) 相同 已知向量 a ? (cos x,? ), b ? ( 3 sin x, cos 2 x), x ? R , 设函数 f ( x) ? a ? b . (Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期. (Ⅱ 求 f (x) 在 ?0, ? ? 上的最大值和最小值. ) ? ?
? 2?

1 2

【解题指南】利用三角变换化简三角函数求得函数周期;利用数形结 合的思想方法直观简单地求出函数在规定区间上的最值. 【解析】(Ⅰ)
1 3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 。 f ( x) ? a ? b = cos x ? 3 sin x ? cos 2 x ? 2 2 2 6

最小正周期 T ? (Ⅱ )

2? ? ? ? 。所以 f ( x) ? sin( 2 x ? ), 最小正周期为 ? 。 2 6

? ? ? 5? ? 5? 当x ? [0, ]时, x ? ) ? [- , ],由标准函数 y ? sin x在[- , ]上的图像知, (2 . 2 6 6 6 6 6
? ? ? 1 f (x) ? sin(2x ? ) ? [sin(- ), sin( )] ? [ ? ,1] . 6 6 2 2

所以,f (x) 在 ?0, ? ? 上的最大值和最小值分别为1,? . ? ?
? 2?

1 2

函数 y=Asin( wx ? ? )的图像及三角函数模 型的简单应用
一、选择题 1. (2013·大纲版全国卷高考文科·T9) 若函数 y ? sin ?? x ? ? ??? ? 0 ?的部分图象如图,则? = ( )

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2
?
4

【解题指南】观察图象可知, x0 到 x 0 ? 的图象为整个图象周期的一 半. 【解析】选 B.由图像可知,
T ? ? p 2p ? x 0 ? ? x 0 ? ,即 T = = ,故 w = 4 . 2 4 4 2 w

2. (2013·山东高考理科·T5)将函数 y=sin(2x + ? )的图象沿 x 轴向左平移 个单位后,得到一个偶函数的图象,则 ? 的一个可能取 值为( ) A.
3? 4

? 8

B.

? 4

C.0

D. ?

?
4

【解析】选 B. 将函数 y=sin(2x + ? )的图象沿 x 轴向左平移
? ?

? 个 8

单位,得到函数 y ? sin[2( x ? ) ? ? ] ? sin(2 x ? ? ? ) ,因为此时函数为偶
8 4

函数,所以 ? ? ?
4

?

?
2

? k? , k ? Z ,即 ? ?

?
4

? k? , k ? Z .

3. (2013· 四川高考理科· T5) 函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ), (? ? 0, ? ? ? ? )
2 2

?

?

的部分图象如图所示,则 ? , ? 的值分别是(



A. 2, ?

?
3

B. 2, ?

?
6

C. 4, ?

?
6

D. 4,

?
3

【解题指南】本题考查的是 ? , ? 对函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 图象的影响, 需要重点关注的是周期与最大值点. 【解析】选 A,根据图象可知 T ? 期为 ? ,可得 ? ? 2 ,根据图象过 ( 可得 ? ? ? ,故选 A.
3 3 4 5? ? 9? 3? ? (? ) ? ? ,所以函数的周 12 3 12 4

5? ? ? , 2) 代入解析式,结合 ? ? ? ? , 12 2 2

?

4. (2013· 四川高考文科· T6) 函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ? ? ? )
2 2

?

?

的部分图象如图所示,则 ? , ? 的值分别是(



A. 2, ? C. 4, ?

?
3

B. 2, ? D. 4,
? 3

?
6

?
6

【解题指南】本题考查的是 ? , ? 对函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 图象的影响, 需要重点关注的是周期与最大(小)值点.
1 11? 5? 6? ? ? ? ? ,所以函数的周期 2 12 12 12 2 5? ? ? 为 ? ,可得 ? ? 2 ,根据图象过 ( , 2) 代入解析式,结合 ? ? ? ? ,可 12 2 2

【解析】选 A,根据图示可知 T ?

得 ? ? ? ,故选 A.
3

?

5.(2013·福建高考文科·T9) 将函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? ? ? ?
? 2 ?? ?

? ? 的图像向右平移? ? ? 1 个单位长度后得 ? ? ?
2?

到函数 g ? x ?的图像, 若f ? x ? , g ? x ?的图像都经过点P ? 0, ?,则?的值可以是 ? ?
?

?

3? 2 ?



) A.
5? 3

B.

5? 6

C.

? 2

D.

? 6

【解题指南】平移问题上,图象和式子的区别对待,务必认识清楚, 方能正确解题. 【解析】选 B. f ( x) 的图像向右平移 ? 个单位, g ? x ? ? sin ? 2 ? x ? ? ? ? ? ? , ? ?
? 3 ?sin ? ? ? 5 2 由题 ? ,解得 ? ? 。经检验, ? ? ? . ? 3 6 ?sin ? ? 2? ? 3 ? ? ? ? 2

3 6.(2013·浙江高考文科·T6)函数 f(x)=sinxcosx+ 2 cos2x 的最小正周 期和振幅分别是 ( A.π ,1 B.π ,2 ) C.2π ,1 D.2π ,2

【解题指南】先利用公式把函数 f(x)转化为 y=Asin(ω x+φ )的形式再 求解.

【解析】 A. f ( x) ? sin x cos x ? 选 所以 A=1,T=π . 二、填空题

3 1 3 ?? ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin ? 2 x ? ? , 2 2 2 3? ?

7. (2013·江西高考理科·T11)函数 y=sin2x+2 3 sin2x 的最小正 周期 T 为_______ 【解题指南】将函数解析式转化为 y ? Asin(?x ? ?) ? h 的形式解决. 【解析】因为 y ? sin 2x ? 3(1 ? cos 2x) ? sin 2x ? 3 cos 2x ? 3
? 2? ? 2sin(2x ? ) ? 3 ,所以最小正周期 T ? ? ?. 3 2

【答案】 ? 8. 2013· ( 新课标全国Ⅱ高考文科· T16) 函数 y ? cos(2 x ? ?)( ?? ? ? ? ? ) 的图象向右平移 个单位后,与函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象重合,则
2 3

?

?

? ? _________。

【解题指南】将 y ? sin(2 x ? ) 化为余弦型函数,然后利用平移的知识,
3

?

即可确定 ? 值. 【解析】函数 y ? cos(2 x ? ? ) 向右平移 个单位,得到 y ? sin(2 x ? ) 的图 象, y ? sin(2 x ? ) 的图象向左平移 个单位得到函数 y ? cos(2 x ? ? ) 的 即
3

?

?

?

?

2

3

图象, y ? sin(2 x ? ) 的图象向左平移 个单位,得到
y ? sin[2( x ? ) ? ] ? sin(2 x ? ? ? ) ? ? sin(2 x ? ) ? cos( ? 2 x ? ) 2 3 3 3 2 3 5? 5? ? cos(2 x ? ) ,即 ? ? 。 6 6 5? 【答案】 6

?

2

?

?

?

3

?

2

?

?

?

9.(2013·江西高考文科·T13)设 f(x)=

3 sin3x+cos3x,若对任

意实数 x 都有|f(x)|≤a,则实数 a 的取值范围是

.

【解题指南】根据题意只需 a ? f (x) max 即可. 【解析】 f (x) ? 2sin(3x ? ?) ,其最大值为 2,所以 a ? 2 .
6

【答案】 a ? 2 10. (2013·新课标Ⅰ高考文科·T16)与(2013·新课标Ⅰ高考理 科·T15)相同 设当 x ? ? 时,函数 f ( x) ? sin x ? 2 cos x 取得最大值,则 cos ? ? _____. 【解题指南】 利用辅助角公式 f ( x) ? a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? ) (其 中 tan ? ? )构造求解 cos ? 的值. 【解析】 f ( x) ? sin x ? 2 cos x ? 5 sin(x ? ? ) ,其中 tan? ? ?2 ,当
x ? ? ? 2k? ? cos ? ? cos( b a

?
2

时,函数 f (x) 取得最大值,即 ? ? 2k? ?

?
2

? ? .所以

?
2

? ? ) ? sin ? ,又因为 tan? ? ?2 , ? 在第四象限,所以

sin ? ? ?

2 5 2 5 ,即 cos? ? ? . 5 5 2 5 5

【答案】 ?

三、解答题 11.(2013·上海高考理科·T21)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x) ,其中常数
? ?0;

(1)若 y ? f ( x) 在 [? ,
4

? 2?
3

] 上单调递增,求 ? 的取值范围;

(2)令 ? ? 2 ,将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图像,区间 [a, b]( a, b ? R 且 a ? b )满足:
y ? g ( x) 在 [a, b] 上至少含有 30 个零点, 在所有满足上述条件的 [a, b] 中,

? 6

求 b ? a 的最小值.

【解析】(1)因为函数 y=f(x)在 所以 ≥ ,且- ≤- ,所以 0<ω ≤ .

上单调递增,且ω >0,

(2)ω =2,f(x)=2sin2x,将函数 y=f(x)的图像向左平移 个单位,再向上平 移 1 个单位后得到 y=2sin +1 的图像,所以 g(x)=2sin +1,

令 g(x)=0,得 x=kπ + 或 x=kπ + (k∈Z), 所以相邻两个零点间的距离为 或 . 若 b-a 最小,则 a 和 b 都是零点,此时在区间[a,π +a],[a,2π +a],?,[a,mπ +a](m∈N*)上分别恰有 3,5,?,2m+1 个零点.所以在区间[a,14π +a]上 恰有 29 个零点, 从而在区间(14π +a,b]上至少有一个零点,所以 b-a-14π ≥ . 另一方面,在区间 上恰有 30 个零点,

因此,b-a 的最小值为 14π + = . 12.(2013·上海高考文科·T21)已知函数 f ( x) ? 2 sin(?x) ,其中常数 ω >0.
? (1)令ω =1,判断函数 F ( x) ? f ( x) ? f ? x ? ? 的奇偶性,并说明理由; ? ?
? 2?

(2)令ω =2,将函数 y=f(x)的图像向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y=g(x)的图像.对任意 a∈R,求 y=g(x)在区间[a, a+10π ]上零点个数的所有可能值. 【解析】(1)ω =1,f(x)=2sinx, F(x)=f(x)+f =2(sinx+cosx). =2sinx+2sin

? 6

F

=2 ,F

=0,F

≠F

,F

≠-F

.

所以,F(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (2)ω =2,f(x)=2sin2x, 将函数 y=f(x)的图像向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位后得到 y=2sin2 +1 的图像, +1.

所以 g(x)=2sin

令 g(x)=0,得 x=kπ + 或 x=kπ + (k∈Z). 因为[a,a+10π ]恰含 10 个周期,所以, 当 a 是零点时,在[a,a+10π ]上零点个数为 21; 当 a 不是零点时,a+kπ (k∈Z)也都不是零点,区间[a+kπ ,a+(k+1)π ]上 恰有两个零点,故在[a,a+10π ]上有 20 个零点. 综上,y=g(x)在[a,a+10π ]上零点个数的所有可能值为21或20. 13.(2013·北京高考文科·T15)已知函数f(x)=(2cos2x-1) sin2x ? cos4x. (1)求f(x)的最小正周期及最大值 (2)若α ∈(
?
2

1 2

,π )且f(α )=

2 ,求α 的值 2

【解题指南】 (1)降幂转化为正弦型函数,再求最小正周期及最大 值. (2)表示出 f (? ) ,再根据 ? 的范围求出 ? 的值。
1 1 1 f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 4 x ? sin 4 x ? cos 4 x 2 2 2 【解析】

?

2 2 2 2 ? ( sin 4 x ? cos 4 x) ? sin(4 x ? ) 2 2 2 2 4

(1)最小正周期 T ? 当 4x ?
?
4 ? 2 k? ?

2? ? ? 。 4 2
k? ? 2 。 ? , k ? Z 时, f ( x) max ? 2 16 2

?
2

,即 x ?

(2) f (? ) ?
所以4 x ?

? 2 ? 2 , 所以 sin(4 x ? ) ? 1 , sin(4 x ? ) ? 4 2 4 2

?
4

? 2 k? ?

?
2

,所以 x ?

又 因为x ? ( , ? ) , 所以x ?
2

?

9? 。 16

k? ? ? ,k ?Z 。 2 16

14.(2013·天津高考理科·T15) 已知函数 f(x)= ?
?? 2 ? 2 sin ? 2 x ? ? +6sinxcosx-2cos x+1,x∈R. 4? ?

(1)求 f(x)的最小正周期. (2)求 f(x)在区间 ?0, ? ? 上的最大值和最小值. ? ?
? 2?

【解题指南】(1)利用两角和的正弦公式及二倍角公式将 f(x)化为 Asin(ω x+φ )的形式求解. (2)根据正弦函数的单调性求解. 【解析】(1)f(x)=
? 2 sin 2 x ? cos

?
4

? 2cos2 x ? sin

?
4

? 3sin 2 x ? cos 2 x

=2sin 2x-2cos 2x= 2

?? ? 2 sin ? 2 x ? ? . 4? ?
2 ? ?. .

所以 f(x)的最小正周期 T ? 2?
? 8 ?

(2)因为 f(x)在区间 ?0, 3? ? 上是增函数,在区间 ? 3? , ? ? 上是减函数,又 ? ? ? ?
? 8 2? ?

f(0)=-2,

f(

3? ? ) ? 2 2 , f ( ) ? 2 ,故函数 8 2

f(x)在区间 ?0, ? ? 上的最大值为 2 ? ?
2?

2,

最小值为-2.

两角和与差的正弦、余弦和正切公式、简单 的三角恒等变换
一、选择题

s 1. (2013· 新课标全国Ⅱ高考文科· T6) 已知 sin 2? ? , o( 则c

2 3

2

?)?

?
4

?

( A.
1 6

) B.
1 3

C.

1 2

D.
?
4

2 3

【解题指南】利用“降幂公式”将 cos 2 (? ? ) 化简,建立与 sin 2? 的关 系,可得结果.
1 ? cos 2(? ? ) 1 ? cos(2? ? ) 4 ? 2 ? 1 ? sin 2? , 【解析】选 A.因为 cos2 (? ? ) ? 4 2 2 2 2 1? ? 1 ? sin 2? 3 ? 1 ,选 A. 所以 cos2 (? ? ) ? ? 4 2 2 6

?

?

?

2.(2013·江西高考文科·T3)若 sin ? A. ?
2 3

? 2

3 ,则 cosa=( 3



B. ?

1 3

C.

1 3

D.

2 3

【解题指南】利用二倍角的余弦公式即可. 【解析】选 C. cos ? ? 1 ? 2sin 2 ? = 1 ? 2 = 1 .
2 3 3

3(2013·大纲版全国卷高考理科·T12)已知函数 f ? x ? = cos x sin 2 x, 下列结论中错误的是( )

A. y ? f ? x?的图像关于?? ,0?中心对称 B. y ? f ? x ?的图像关于x ? 对称
2

?

C. f ? x ?的最大值为

3 2

D. f ? x?既是奇函数,又是周期函数 【解析】选 C. f ( x) ? cos x sin 2x ? 2 cos2 x sin x ? 2 sin x ? 2 sin 3 x ,令 t ? sin x ,
? 1 ? t ? 1 ,则 g (t ) ? 2t ? 2t 3 , g ?(t ) ? 2 ? 6t 2 .令 g ?(t ) ? 2 ? 6t 2 ? 0 ,解得 t ? ?

3 3

或t ?

3 3 .比较两个极值点和两个端点 g (?1) ? 0 , g (1) ? 0 , g (? ) ? 0 , 3 3

g(

4 3 3 4 3 , f (x) 的最大值为 ,故 C 错误 )? 3 9 9

4. (2013·重庆高考理科·T9)4 cos50? ? tan40? ? A.
2

( D.
2 2 ?1

)

B.

2? 3 2

C.

3

【解题指南】先切化弦,然后通分化简求解即可. 【解析】 C. 4 cos50? ? tan 40? ? 4 cos50? ? 选
? sin 40? 4 cos50? cos 40? ? sin 40? ? cos 40? cos 40?

4 sin 40? cos 40? ? sin 40? 2 sin 80? ? sin 40? 2 cos10? ? sin(10? ? 30? ) ? ? cos 40? cos 40? cos 40?
?

? 3 ? 1 3 1 3 3 ? ? ? ? 3? cos10? ? sin 10? ? 2 cos10 ? sin 10 ? cos10 cos10 ? sin 10 ? 2 ? 2 ? 2 2 2 ? ?2 ? ? cos 40? cos 40? cos 40?

?

3 cos 40? ? 3. cos 40?

5. (2013·辽宁高考文科·T6)与(2013·辽宁高考理科·T6) 相同 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 若
1 a sin B cos C ? c sin B cos A ? b, 且 a ? b, 则 ?B ? ( 2 ? ? 2? 5? A. B. C. D. 6 3 3 6



【解题指南】利用正弦定理,将边化为角,借助式子的特点,利用和 角公式与相关的诱导公式解决问题 【解析】选 A. 据正弦定理,设
a b c ? ? ? k ,则 sin A sin B sin C

1 a ? k sin A, b ? k sin B, c ? k sin C. 将它们代入 a sin B cos C ? c sin B cos A ? b, 整 2 1 1 理得 sin A cos C ? cos A sin C ? , 即 sin( A ? C ) ? , 又 2 2 1 sin( A ? C ) ? sin(? ? B) ? sin B, 所以 sin B ? 2 ? 因为 a ? b, 所以 ? B 必为锐角,所以 ?B ? . 6

二、填空题 6.(2013·四川高考文科·T14)和(2013·四川高考理科·T13) 相同 设 sin 2? ? ? sin ? , ? ? ( , ? ) ,则 tan 2? 的值是____________。
2

?

【解题指南】本题考查的是简单的三角恒等变换,在解题时要注意公 式的灵活运用,特别是二倍角公式与同角关系公式. 【解析】根据题意 sin 2? ? ? sin ? ,可得 2sin ? cos ? ? ? sin ? ,可得
1 2 tan ? ?2 3 cos ? ? ? , tan ? ? ? 3 ,所以 tan 2? ? ? ? 3 2 2 1 ? tan ? ?2

【答案】 3 7.(2013·上海高考理科·T11)若
1 2 cos x cos y ? sin x sin y ? ,sin 2 x ? sin 2 y ? ,则 sin( x ? y) ? ________ 2 3 1 2 【解析】 cos( x ? y ) ? , sin 2 x ? sin 2 y ? 2sin( x ? y) cos( x ? y ) ? ,故 2 3 2 sin( x ? y ) ? . 3

【答案】

2 3
1 3

8.(2013·上海高考文科·T9)若 cosxcosy+sinxsiny= ,则 cos(2x-2y)= 【解析】 .

cos x cos y ? sin x sin y ? cos( x ? y ) ?

1 7 ? cos 2( x ? y ) ? 2 cos 2 ( x ? y ) ? 1 ? ? 3 9

【答案】 ?

7 9

9.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T15)设θ 为第二象限角,若
? 1 tan ? ? ? ? ? ,则 sinθ +cosθ = ? ?
? 4? 2

.

? 【解题指南】利用两角和的正切公式将 tan ? ? ? ? 展开化简,通过切化 ? ?
? 4?

弦,得到目标式 sinθ +cosθ ,然后利用三角函数的性质,求得 sinθ +cos θ 的值. 【解析】因为θ 为第二象限角,tan ? ? ? ? = >0,所以角θ 的终边落在 ? ? 2 4
1

?

?

?

1 tan ? ? 1 1 ? ? ,即 直线 y=-x 的左侧,sinθ +cosθ <0 由 tan ? ? ? ? = ,得 ? ?

?

4?

2

1 ? tan ?

2

sin ? ? cos ? 1 ? , ,所以设 sinθ +cosθ =x,则 cosθ -sinθ =2x,将这两个式 cos ? ? sin ? 2

子平方相加得:x2= ,即 sinθ +cosθ = ? 【答案】 ? 三、解答题
10 5

2 5

10 . 5

10. (2013·辽宁高考文科·T17)与(2013·辽宁高考理科·T17) 相同
? ? ? 设向量 a ? ( 3 sin x,sin x), b ? (cos x,sin x), x ? ?0, ? . ? ? ? 2?
? ? (?) 若 a ? b , 求 x 的值;

? ? (?? ) 设函数 f ( x) ? a ? b ,求 f ( x) 的最大值。

【解题指南】利用向量的坐标运算,将模和数量积问题转化为三角函

数问题求解 【解析】 (?) 由 a ? ( 3sin x,sin x), b ? (cos x,sin x), 得
?2 ?2 a ? ( 3 sin x)2 ? (sin x)2 ? 4sin 2 x , b ? (cos x)2 ? (sin x)2 ? 1.
? ? 1 ? ? 又因为 a ? b , 所以 4sin 2 x ? 1 .又 x ? ?0, ? , 所以 sin x ? , x ? . ? ?

?

?

?

2?

2

6

? ? (?? ) 函数 f ( x) ? a ? b ? ( 3sin x,sin x) ? (cos x,sin x) ? 3sin x cos x ? sin 2 x
? 3 1 ? cos 2 x 3 1 1 ? 2sin x cos x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 2 2

? cos

?
6

sin 2 x ? sin

?
6

cos 2 x ?

? ? ? 1 ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin ? sin(2 x ? ) 6 6 6 2
6 6 2 6

? ? 5? 1 ? ? 因为 x ? ?0, ? , 所以 ? ? 2 x ? ? ,故 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , ? ?
? 2?
6

? 1 3 0 ? sin(2 x ? ) ? ? 6 2 2

即 f ( x) 的最大值为 . 11. (2013·四川高考理科·T17) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分 别为 a, b, c ,且 2 cos 2
A? B 3 cos B ? sin( A ? B) sin B ? cos( A ? C ) ? ? . 2 5

3 2

(1)求 cos A 的值; (2)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影. 【解题指南】本题解题的突破口在于已知条件
2 cos 2 A? B 3 cos B ? sin( A ? B) sin B ? cos( A ? C ) ? ? 的化简,以及隐含条件在 2 5

??? ?

??? ?

三角形中内角和为 ? ,第(2)问要注意正弦定理与余弦定理的应用. A?B 3 【解析】(1)由 2cos2 2 cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)= ?5, 3 得[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=?5.

3 即 cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=?5. 3 3 则 cos(A-B+B)= ?5,即 cosA=?5. 3 4 (2)由 cosA=?5,0<A<π ,得 sinA=? .
5

a b bsin A 2 由正弦定理,有sinA=sinB,所以,sinB= . ? a 2 由题知 a>b,则 A>B,故 B= . 根据余弦定理,有(4 2 )2=52+c2-2×5c× ( ? ) , 解得 c=1 或 c=-7(舍去). 故向量 BA 在 BC 方向上的投影为| BA |cosB=
??? ?
3 5 ? 4

??? ?

??? ?

2 . 2

12. (2013·四川高考文科·T17) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分 别为 a, b, c ,且 cos( A ? B) cos B ? sin( A ? B) sin( A ? C ) ? ? 。 (Ⅰ )求 sin A 的值; (Ⅱ )若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影。 【解题指南】本题解题的突破口在于已知条件
3 cos( A ? B) cos B ? sin( A ? B) sin( A ? c) ? ? 的化简,以及隐含条件在三角形 5 3 5

??? ?

??? ?

中内角和为 ? ,第(Ⅱ )问要注意正弦定理与余弦定理的应用. 【解析】(Ⅰ)由 cos( A ? B) cos B ? sin( A ? B) sin( A ? C ) ? ? ,得 3 3 3 cos( A ? B) cos B ? sin( A ? B) sin B ? ? ,则cos(A?B+B) =? ,即cosA=? . 5 5 5 4 又因为 0 ? A ? ? ,所以sinA=5
3 5

a b bsinA 2 (Ⅱ)由正弦定理,有sinA=sinB,所以sinB= a = 2 , 2 ? 由题知 a>b,则 A>B,故 B=4,则cosB= 2 . 3 根据余弦定理,有(4 2)2=52+c2?2?5c(?5),即 c2+6c?7=0 解得 c=1 或 c=?7(负值舍去) 2 → → → 故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cosB=ccosB= 2 . 13. (2013· 广东高考理科· T16) 已知函数 f ( x) ? 2 cos( x ? (1) 求 f ( ? ) 的值; (2) 若 cos ? ? ,? ? (
3 5 3? ? , 2? ) ,求 f (2? ? ) . 2 3

?
12

) ,x ? R .

? 6

【解题指南】本题考查利用三角函数诱导公式求值和三角恒等变换, 特别要注意两角和公式 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 及二倍角公式 的应用. 【解析】 (1) f (? ) ? 2 cos(? ?
6 6

?

?

) ? 2 cos(? ) ? 2 cos ? 1 ; 12 4 4

?

?

?

(2) 若 则

f (2? ? ) ? 2 cos(2? ? ? ) ? 2 cos(2? ? ) ? cos 2? ? sin 2? 3 3 12 4

?

?

?

?



, 3 3? cos ? ? , ? ? ( , 2? ) 5 2
sin ? ? ? 4, 7 , 24 , cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? ? sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? 5 25 25

所以

? 17 . f (2? ? ) ? cos 2? ? sin 2? ? 3 25

14. (2013·广东高考文科·T16)已知函数 f ( x) ? 2 cos( x ? (1) 求 f ( ) 的值;
3

?
12

), x ? R .

?

(2) 若 cos ? ? ,? ? ? ?
3 5

3? ? , 2? ? ,求 ? 2 ?

?? ? f ?? ? ? . 6? ?

【解题指南】本题考查利用三角函数诱导公式求值和三角恒等变换, 特别要注意两角和公式 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 及二倍角公式 的应用.
? ? ? ? 【解析】(1) f ? ? ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? 1 ; 3 3 12 4 ? ? ? ?

?

?

?

?

(2)因为 cos ? ? , ? ? ? , 2? ? ,所以 sin ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? , ? ? 5 5 ? 2 ?
3
4

3?

?? ?? ? ?? 1 ? ? ? f ?? ? ? = 2 cos ?? ? ? ? 2 ? cos ? cos ? sin ? sin ? ? cos ? ? sin ? ? ? . 6? 4? 4 4? 5 ? ? ?

15. (2013·湖北高考文科·T18)与(2013·湖北高考理科·T17) 相同 在△ ABC 中,角 A , B ,C 对应的边分别是 a ,b ,c . 已知
cos 2 A ? 3cos( B ? C ) ? 1 .(Ⅰ )求角

A 的大小;

(Ⅱ)若△ ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值. 【解题指南】三角恒等变换求 cosA,用面积公式和正,余弦定理求 解。 【解析】 )由 cos 2 A ? 3cos( B ? C ) ? 1 ,得 2cos2 A ? 3cos A ? 2 ? 0 , (Ⅰ 即 (2cos A ? 1)(cos A ? 2) ? 0 ,解得 cos A ? 1 或 cos A ? ?2 (舍去).
2

因为 0 ? A ? π ,所以 A ? π .
3

(Ⅱ )由 S ? 1 bc sin A ? 1 bc ?
2 2

3 3 ? bc ? 5 3, 2 4

得 bc ? 20 . 又 b ? 5 ,知 c ? 4 .
21 .

由余弦定理得 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 25 ? 16 ? 20 ? 21, 故 a ?
a a a 21 4

又由正弦定理得 sin B sin C ? b sin A ? c sin A ? bc sin2 A ? 20 ? 3 ? 5 . 2
7

16. (2013·湖南高考理科·T17)已知函数
? ? x f ( x) ? sin( x ? ) ? cos( x ? ),g ( x) ? 2sin 2 . 6 3 2

(1)若 ? 是第一象限角,且 f (? ) ?

3 3 .求 g (? ) 的值; 5

(2)求使 f ( x) ? g ( x) 成立的 x 的取值集合. 【解题指南】第(1)问是利用两角差的正余弦公式和降幂公式以及三 角函数给值求值.第(2)问要结合已知关系,化简后解三角不等式. 【解析】 f ( x) ? sin(x ? ? ) ? cos(x ? ? ) ?
6 3 3 1 1 3 sin x ? cos x ? cos x ? sin x ? 3 sin x 2 2 2 2

g ( x) ? 2 sin 2

x ? 1 ? cos x . 2

(1)由 f (? ) ? 3 3 ,得 sin ? ? 3 ,由 ? 是第一象限角,所以 cos ? ? 0 ,从
5

5


g (? ) ? 1 ? cos ? ? 1 ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? 4 1 ? . 5 5

(2) f ( x) ? g ( x) 等价于 3 sin x ? 1 ? cos x ,即 3 sin x ? cos x ? 1 于是 sin( x ? ? ) ? 1 ,从而 2k? ? ?
6 2

6

? x?

?

5 ? 2k? ? ? 6 6

,k∈Z,

3 2 ? ? ? x | 2k? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z ? . 3 ? ?

即 2k? ? x ? 2k? ? 2 ?(k ? Z) ,故使 f ( x) ? g ( x) 成立的 x 的取值集合为

17. (2013·湖南高考文科·T16) 已知函数 f ( x) ? cos x ? cos( x ? )
2? ) 的值; 3 1 (II)求使 f ( x ) ? 成立的 x 的取值集合 4

?

3

(I)求 f (

【解题指南】 本题需要熟练掌握三角诱导公式, 特殊角的三角函数值, 三角恒等变换公式及三角函数性质 【解析】 (I) f (
2? 2? ? ? ? 1 ) ? cos cos ? ? cos cos ? ? 3 3 3 3 3 4

? 1 3 f ( x) ? cos x cos( x ? ) ? cos x?( cos x ? sin x) 3 2 2

(II) ? cos 2 x ?

1 3 1 3 sin x cos x ? (1 ? cos 2 x) ? sin 2 x 2 2 4 4 1 ? 1 ? cos(2 x ? ) ? 2 3 4
1 2

因为 f ( x ) ? ,所以 cos( 2 x ? ) ? ? ,即 cos( 2 x ? ) ? 0
? ?

3 3 3? 5? 11? , k ? Z. 于是 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z , 解得 k? ? ? x ? k? ? 2 3 2 12 12

1 4

?

1 4

1 4

?

故所求 x 的取值集合是 ? x | k? ? ?
?

5? 11 ? ? ? x ? k? ? ,k ? Z? 12 12 ?

18.(2013·安徽高考理科·T16)已知函数
?? ? f ( x) ? 4cos ? x ? sin ? ? x ? ? (? ? 0) 的最小正周期为 ? 。 4? ?

(1)求 w 的值; (2)讨论 f ( x) 在区间 [ 0, 2] 上的单调性。 【解题指南】 (1)将函数 y = f ( x) 化成 y=Asin(ω x+φ)+b 的形式,利用 最小正周期求出 w 的值。 (2)根据三角函数的图像及性质解答。 【解析】 (1) f ( x) ? 4 cos ? x.sin(? x ? ) ? 2 2 sin ? x.cos ? x ? 2 2 cos 2 ? x = (sin 2wx+cos 2wx) 2 = 2sin(2? x ? )+ 2 ,因为 f(x)的最小正周期为 2 +
4 π = π ,故 w=1 。 ? ,且 w > 0 ,所以有 2ω

?

?

4

2s n (2)由 (1) f ( x) ? i(2 知

? ? x+ 2 )?



?
4

2 8 ? ? 5? ? ? 当 ? 2 x ? ? ,即 ? x ? 时,f(x)单调递减。 2 4 4 8 2

? 2x ?

?
4

?

?

,即 0 ? x ?

?

4

, 0? x? 若

?
2

, 则 ? 2 x? ?
4 4

?

?

? 5
4



时,f(x)单调递增;

综上所述,f(x)在区间 [0, ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递减。
8

?

? ? 8 2

19.(2013·安徽高考文科·T16)设函数 f(x)=sinx+sin(x+ ) 。 (Ⅰ)求 f(x)的最小值,并求使 f(x)取得最小值的 x 的集合;

? 3

(Ⅱ)不画图,说明函数 y=f(x)的图像可由 y=sinx 的图像经过怎 样的变化的得到。 【解题指南】 将函数 y = f ( x) 化成一个角的三角函数的形式,根据三 角函数的图像及性质与三角函数图像的变换解答。 【解析】 (Ⅰ)因为 f ( x) = sin x + sin x +
( = 3 sin x + ) ,所以当 x + =2kp p 6 p 6

1 2

3 3 3 cos x = sin x + cos x 2 2 2

p 2p , 即 x =2kp - (k z) 时,f(x)取得最 2 3 2p 小值 - 3 ,此时 x 的取值集合为 {x|x =2kp - ,k z} 。 3

(Ⅱ)先将 y=sinx 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横 坐标不变) ,得 y = 3 sin x 的图像;再将 y = 3 sin x 的图像上所有的点向 左平移 个单位,得 y = f ( x) 的图像。 20. (2013·山东高考文科·T18)设函数
f ( x) ? 3 且 ? 3 sin 2 ? x ? sin ? x cos ? x (? ? 0) , y ? f ( x) 的图象的一个对称中心 2

p 6

到最近的对称轴的距离为 ,
4

?

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [? ,
3? ] 上的最大值和最小值. 2

【解题指南】(Ⅰ)先利用和差倍角公式,将已知式子化为
y ? A sin ??x ? ? ? 的形式,由 y ? f ( x) 的图象的一个对称中心到最近的对

称轴的距离为 ,知周期为 ? ,即可求出 ? .(Ⅱ)可利用整体代入的思
4

?

想求解 f ( x) 在区间 [? , 【解析】 (Ⅰ) f ?x ? ?

3? ] 上的最大值和最小值. 2

3 ? 3 sin 2 ?x ? sin ?x cos?x 2

3 1 ? cos 2?x 1 ? 3? ? sin 2?x 2 2 2 3 1 ? cos 2?x ? sin 2?x 2 2 ?? ? ? ? sin ? 2?x ? ? 3? ? ?

因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 ,又 ? ? 0 , 所以
2? ? ? 4 ? ,因此 ? ? 1 . 2? 4

? 4

? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ?x ? ? ? sin? 2?x ? ? , ? ?
? 3?

当? ? x ? 所以 ?

3? 5? ? 8? 时, ? 2 x ? ? , 2 3 3 3

3 ?? ? ? sin? 2?x ? ? ? 1 , 2 3? ?
3 2 3 3? ? ? 上的最大值和最小值分别为 2 ,?1 . 2?

因此 ? 1 ? f ?x ? ?

故 f ?x ? 在区间 ?? , ?
?


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