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课堂新坐标2016


§5

简单复合函数的求导法则

1.了解复合函数的概念.(难点) 2.掌握复合函数的求导法则.(重点) 3.能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数.(重点、难点)

[基础·初探] 教材整理 1 复合函数的概念 阅读教材 P49 倒数第 2 行以上部分,完成下列问题. 一般地,对于两个函数 y=f(u)和 u=φ (x)=ax+b,给定 x 的一个值,就得到了 u 的 值,进而确定了 y 的值,这样 y 可以表示成 x 的函数,我们称这个函数为函数 y=f(u)和 u =φ (x)的复合函数,记作 y=f(φ (x)),其中 u 为中间变量.

下列函数不是复合函数的是( 1 3 A.y=-x - +1

)

x

? π? B.y=cos?x+ ? 4? ?
D.y=(2x+3)
4

1 C.y= ln x

π 【解析】 A 中的函数是一个多项式函数,B 中的函数可看作函数 u=x+ ,y=cos u 4 1 的复合函数,C 中的函数可看作函数 u=ln x,y= 的复合函数,D 中的函数可看作函数 u

u

=2x+3,y=u 的复合函数,故选 A. 【答案】 A 教材整理 2 复合函数的求导法则 阅读教材 P49 最后两行至 P50 部分,完成下列问题. 复合函数 y = f( φ (x)) 的导数和函数 y = f(u) , u = φ (x) 的导数间的关系为 yx ′=

4

yu′·ux′.即 y 对 x 的导数是 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.

(ln 2x)′等于(

)
1

A.

1 2x

1 B.

x

C.

1 xln 2

D.

ln 2

x

1 1 【解析】 (ln 2x)′= (2x)′= . 2x x 【答案】 B [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑:

[小组合作型] 复合函数的定义 指出下列函数是怎样复合而成的. (1)y=(3+5x) ;(2)y=log3(x -2x+5);(3)y=cos 3x. 【精彩点拨】 分析函数的复合过程主要是设出中间变量 u,分别找出 y 和 u 的函数关 系,u 和 x 的函数关系. 【自主解答】 (1)y=(3+5x) 是由函数 y=u ,u=3+5x 复合而成的. (2)y=log3(x -2x+5)是由函数 y=log3u,u=x -2x+5 复合而成的. (3)y=cos 3x 是由函数 y=cos u,u=3x 复合而成的.
2 2 2 2 2 2

判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析, 最外层的主体函数结构是以基本 函数为主要结构的,各层的中间变量结构也都是基本函数关系,这样一层一层分析,里层应 是关于自变量 x 的基本函数或关于自变量 x 的基本函数经过有限次运算而得到的函数.

[再练一题] 1.指出下列函数由哪些函数复合而成. (1)y=ln

x;(2)y=esin x;(3)y=cos( 3x+1).
2

【解】 (1)y=ln u,u= x. (2)y=e ,u=sin x. (3)y=cos u,u= 3x+1. 求复合函数的导数 求下列函数的导数. (1)y=e
2x+1

u

1 ;(2)y= 3; (2x-1)
3

(3)y=5log2(1-x);(4)y=sin x+sin 3x. 【精彩点拨】 先分析函数是怎样复合而成的,找出中间变量,分层求导. 【自主解答】 (1)函数 y=e
u
2x+1

可看作函数 y=e 和 u=2x+1 的复合函数,
u
2x+1

u

∴y′x=y′u·ux′=(e )′(2x+1)′=2e =2e

.

1 -3 (2)函数 y= 和 u=2x-1 的复合函数, 3可看作函数 y=u (2x-1) ∴y′x=y′u·ux′=(u )′(2x-1)′=-6u 6 -4 =-6(2x-1) =- 4. (2x-1) (3)函数 y=5log2(1-x)可看作函数 y=5log2u 和 u=1-x 的复合函数, ∴y′x=y′u·u′x=(5log2u)′·(1-x)′=
3 3 -3 -4

-5

uln 2 (x-1)ln 2



5

.

(4)函数 y=sin x 可看作函数 y=u 和 u=sin x 的复合函数,函数 y=sin 3x 可看作函 数 y=sin v 和 v=3x 的复合函数. ∴y′x=(u )′·(sin x)′+(sin v)′·(3x)′ =3u ·cos x+3cos v =3sin x cos x+3cos 3x.
2 2 3

1.解答此类问题常犯两个错误 (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数; (2)若是复合函数,不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成. 2.复合函数求导的步骤

3

[再练一题] 2.求下列函数的导数. (1)y=(2x-1) ;(2)y=
4

; 1-2x

1

π? ? 2x+3 (3)y=sin?-2x+ ?;(4)y=10 . 3? ? 【解】
4

(1) 原函数可看作 y = u , u = 2x - 1 的复合函数,则 yx ′= yu ′· ux ′=
3 3

4

(u )′·(2x-1)′=4u ·2=8(2x-1) . 1 =(1-2x) 可看作 y=u- , u=1-2x 的复合函数, 则 yx′=yu′· ux′ 2 1-2x 1

-

(2)y=

1 2

? 1? 2 =?- ?u ·(-2) ? 2?
3 2 =(1-2x) =

-

3

-

. (1-2x) 1-2x

1

(3)原函数可看作 y=sin u,

u=-2x+ 的复合函数,
π? π? ? ? 则 yx′=yu′·ux′=cos u·(-2)=-2cos?-2x+ ?=-2cos?2x- ?. 3? 3? ? ? (4)原函数可看作 y=10 ,u=2x+3 的复合函数, 则 yx′=yu′·ux′=10
2x+3

π 3

u

·ln 10·2=(2ln 10)10 [探究共研型]

2x+3

.

复合函数导数的应用 π? π ? 探究 1 求曲线 y=cos?2x+ ?在 x= 处切线的斜率. 6 6 ? ? π? ? 【提示】 ∵y′=-2sin?2x+ ?, 6? ?

? π π? ∴切线的斜率 k=-2sin?2× + ?=-2. 6 6? ?
探究 2 求曲线 y=f(x)=e 【提示】 ∵f′(x)=e
2x+1 2x+1

? 1 ? 在点?- ,1?处的切线方程. ? 2 ?
2x+1

·(2x+1)′=2e



? 1? ∴f′?- ?=2, ? 2?

4

∴曲线 y=e

2x+1

? 1 ? ? 1? 在点?- ,1?处的切线方程为 y-1=2?x+ ?, ? 2 ? ? 2?
2

即 2x-y+2=0. 已知函数 f(x)=ax +2ln(2-x)(a∈R), 设曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切 1 2 2 线为 l,若直线 l 与圆 C:x +y = 相切,求实数 a 的值. 4 【精彩点拨】 求出导数 f′(1),写出切线方程,由直线 l 与圆 C 相切,建立方程求 解. 【自主解答】 因为 f(1)=a,f′(x)=2ax+ 所以 f′(1)=2a-2, 所以切线 l 的方程为 2(a-1)x-y+2-a=0. 因为直线 l 与圆相切,所以圆心到直线 l 的距离等于半径,即 d= 11 解得 a= . 8 1 = , 4(a-1) +1 2
2

2 (x<2), x-2

|2-a|

关于复合函数导数的应用及其解决方法 1.应用 复合函数导数的应用主要有:求在某点处的切线方程,已知切线的方程或斜率求切点, 以及涉及切线问题的综合应用. 2.方法 先求出复合函数的导数,若切点已知,则求出切线斜率、切线方程;若切点未知,则先 设出切点,用切点表示切线斜率,再根据条件求切点坐标.总之,在解决此类问题时切点起 着至关重要的作用.

[再练一题] 3.曲线 y=f(x)=e 的方程. 【导学号:94210048】 【解】 设 u=sin x,则 f′(x)=(e =(e )′(sin x)′=cos xe
u
sin x sin x sin x

在(0,1)处的切线与直线 l 平行,且与 l 的距离为 2,求直线 l

)′

.

f′(0)=1.
则切线方程为 y-1=x-0, 即 x-y+1=0.
5

若直线 l 与切线平行可设直线 l 的方程为 x-y+c=0. |c-1| 两平行线间的距离 d= = 2? c=3 或 c=-1. 2 故直线 l 的方程为 x-y+3=0 或 x-y-1=0. [构建·体系]

?— 复合函数的概念 复合函数的求导 — — 复合函数的求导法则 ? ?— 应用

1.函数 y=cos (-x)的导数是( A.cos x C.-sin x

) B.-cos x D.sin x

【解析】 y′=-sin (-x)(-x)′=-sin x. 【答案】 C 2.若 f(x)=e ln 2x,则 f′(x)=( e 2x A.e ln 2x+ 2x e 2x C.2e ln 2x+
2x 2x

) e 2x B.e ln 2x+ 1 2x D.2e ·
2x

x

2x

x
2x 2x

x

【解析】 f′(x)=(e )′ln 2x+e (ln 2x)′ e =2e ln 2x+ .
2x 2x

x

【答案】 C 3.已知 f(x)=ln(3x-1),则 f′(1)=________. 【解析】 f′(x)= 3 ∴f′(1)= . 2 【答案】 3 2
ax

1 3 ·(3x-1)′= , 3x-1 3x-1

4.设曲线 y=e 在点(0,1)处的切线与直线 x+2y+1=0 垂直,则 a=________. 【导学号:94210049】

6

【解析】 令 y=f(x),则曲线 y=e 在点(0,1)处的切线的斜率为 f′(0),又切线与 直线 x + 2y + 1 = 0 垂直,所以 f′(0)= 2. 因为 f(x) = e ,所以 f′(x) = (e )′= (e )·(ax)′=ae ,所以 f′(0)=ae =a,故 a=2. 【答案】 2 5.求下列函数的导数. (1)y=cos(x+3);(2)y=(2x-1) ; (3)y=e
-2x+1 3

ax

ax

ax

ax

ax

0

.

【解】 (1)函数 y=cos(x+3)可以看做函数 y=cos u 和 u=x+3 的复合函数, 由复合函数的求导法则可得

yx′=yu′·ux′=(cos u)′·(x+3)′
=-sin u·1=-sin u=-sin(x+3). (2)函数 y=(2x-1) 可以看做函数 y=u 和 u=2x-1 的复合函数, 由复合函数的求导法则可得
3 3

yx′=yu′·ux′=(u3)′·(2x-1)′
=3u ·2=6u =6(2x-1) . (3)y′=e
-2x+1 2 2 2

·(-2x+1)′=-2e

-2x+1

.

我还有这些不足: (1) (2) 我的课下提升方案: (1) (2)

学业分层测评(十一) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 π? ? ?π ? 1.若函数 f(x)=3cos?2x+ ?,则 f′? ?等于( 3? ? ?2? A.-3 3 C.-6 3 π? ? 【解析】 f′(x)=-6sin?2x+ ?, 3? ?
7

)

B.3 3 D.6 3

π? π ?π ? ? ∴f′? ?=-6sin?π + ?=6sin =3 3. 3? 3 ?2? ? 【答案】 B 2.函数 y=xln(2x+5)的导数为( A.y′=ln(2x+5)- B.y′=ln(2x+5)+ C.y′=2xln(2x+5) D.y′= 2x+5 【解析】 )

x 2x+5
2x 2x+5

x

y′= [xln(2x +5)]′= x′ln(2x + 5) + x[ln(2x +5)]′= ln(2x + 5) +



1 2x ·(2x+5)′=ln(2x+5)+ . 2x+5 2x+5 【答案】 B 3.曲线 y=f(x)=xe A.2e C.2 【解析】
x-1

在点(1,1)处切线的斜率等于( B.e D.1

)

y′=ex-1+xex-1=(x+1)ex-1,故曲线在点(1,1)处的切线斜率为 f′(1)

=2. 【答案】 C 4.函数 y=cos 2x+sin x的导数为( cos x A.y′=-2sin 2x+ 2 x cos x B.y′=2 sin 2x+ 2 x sin x C.y′=-2sin 2x+ 2 x cos x D.y′=2sin 2x- 2 x 【解析】 y′=-sin 2x·(2x)′+cos 1 1 =-2sin 2x+ · cos x 2 x cos x =-2sin 2x+ . 2 x 【答案】 A
8

)

x·( x)′

1 2

x
2

5.曲线 y=e 在点(4,e )处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为(

)

【导学号:94210050】 9 2 A. e 2 C.2e
2

B.4e D.e
1 2

2

1 2 【解析】 因为导函数 y′= e , 2 1 2 2 所以曲线在点(4,e )处的切线的斜率为 e . 2 1 2 2 于是切线方程为 y-e = e (x-4). 2 令 x=0,解得 y=-e ;令 y=0,解得 x=2. 1 2 2 所以 S= e ×2=e . 2 【答案】 D 二、填空题 6.若 f(x)=log3(x-1),则 f′(2)=________. 【解析】 f′(x)=[log3(x-1)]′ = 1 , (x-1)ln 3 1 . ln 3 1 ln 3
4 4 2

x

∴f′(2)= 【答案】

7.(2016·广州高二检测)若函数为 y=sin x-cos x,则 y′=________________. 【解析】 ∵y=sin x-cos x=(sin x+cos x)·(sin x-cos x)=-cos 2x, ∴y′=(-cos 2x)′=-(-sin 2x)·(2x)′ =2 sin 2x. 【答案】 2sin 2x 8.若曲线 y=e 上点 P 处的切线平行于直线 2x+y+1=0,则点 P 的坐标是________. 【解析】 设 P(x0,y0),∵y=e , ∴y′=-e , ∴点 P 处的切线斜率为 k=-e-x0=-2, ∴-x0=ln 2,∴x0=-ln 2, ∴y0=e
ln 2 -x -x -x 4 4 2 2 2 2

=2,∴点 P 的坐标为(-ln 2,2).

9

【答案】 (-ln 2,2) 三、解答题 9.已知函数 f(x)=x(1-ax) (a>0),且 f′(2)=5,求实数 a 的值. 【解】 f′(x)=(1-ax) +x[(1-ax) ]′ =(1-ax) +x[2(1-ax)(-a)] =(1-ax) -2ax(1-ax). 由 f′(2)=(1-2a) -4a(1-2a) =12a -8a+1=5(a>0),解得 a=1.
2 2 2 2 2 2 2

?π 1? 2 10.求曲线 f(x)=2sin x 在点 P? , ?处的切线方程. ? 6 2?
【解】 因为 f′(x)=(2sin x)′=2×2sin x×(sin x)′=2×2sin x×cos x=2sin 2x,
2

?π ? ? π? 所以 f′? ?=2sin?2× ?= 3. 6 6? ? ? ?
1 ? π? 所以过点 P 的切线方程为 y- = 3?x- ?, 6? 2 ? 1 3π 即 3x-y+ - =0. 2 6 [能力提升] 1.(2016·长沙高二检测)函数 y=sin 2x-cos 2x 的导数是( π? ? A.y′=2 2 cos?2x- ? 4? ? B.y′=cos 2x-sin 2x C.y′=sin 2x+cos 2x π? ? D.y′=2 2cos?2x+ ? 4? ? 【解析】 ∵y′=(sin 2x-cos 2x)′ =(sin 2x)′-(cos 2x)′ =cos 2x·(2x)′+sin 2x·(2x)′=2cos 2x+2sin 2x =2 2? π? 2 ? 2 ? ? cos 2x+ sin 2x?=2 2cos?2x- 4 ?, ? ? 2 ?2 ? )

故选 A. 【答案】 A 2.(2016·潍坊高二期末检测)已知函数 f(x)=x·ln ax+b,曲线 f(x)在点(e,f(e)) 处的切线方程为 y=2,则 ab=( A.2+e
2

) B.2+e
10

C.

2+e 2 e

D.

2 2 e

【解析】 f′(x)=ln ax+1. 由题意?
?f′(e)=0, ? ?ln ae+1=0, ? 即? ? ? ?f(e)=2, ?eln ae+b=2,

1 解得 a= 2,b=e+2, e e+2 ∴ab= 2 ,故应选 C. e 【答案】 C 3.曲线 y=f(x)=e
-5x

+2 在点(0,3)处的切线方程为____________________. 【导学号:94210051】

【解析】 因为 f′(x)=e

-5x

(-5x)′=-5e

-5x



所以 f′(0)=-5,故切线方程为 y-3=-5(x-0), 即 5x+y-3=0. 【答案】 5x+y-3=0 4.曲线 y=f(x)=e ·cos 3x 在(0,1)处的切线与直线 l 的距离为 5,求直线 l 的方 程. 【解】 ∵f′(x)=(e )′·cos 3x+e ·(cos 3x)′ =2e ·cos 3x-3e ·sin 3x, ∴f′(0)=2. ∴经过点(0,1)的切线方程为
2x 2x 2x 2x 2x

y-1=2(x-0),
即 y=2x+1. 设适合题意的直线方程为 y=2x+b, 根据题意,得 5= ∴b=6 或-4. ∴适合题意的直线方程为 y=2x+6 或 y=2x-4. |b-1| , 5

11


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