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3.2 简单的三角恒等变换 第一课时 问题提出 1.两角和与差及二倍角的三角函数公式 分别是什么? sin(α ±β )=sinα cosβ ±cosα sinβ cos(α ±β )=cosα cosβ msinα sinβ tan ? ? tan ? tan (? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? tan 2? ? 2 tan ? 1 ? tan

2 ? sin2α =2sinα cosα cos2α =cos2α -sin2α =2cos2α -1 =1-2sin2α ; tan 2? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ? 2 tan ? tan 2? ? 2 1 ? tan ? 2.三角函数公式是三角变换的理论依据, 基本的三角公式包括同角关系公式,诱 导公式,和差公式和二倍角公式等.有 了这些公式,使得三角变换的内容、思 路、方法丰富多彩,奥妙无穷,并为培 养我们的推理、运算能力提供了 很好的平台.在实际应用中,我们不仅 要掌握公式的正向和逆向运用,还要 了解公式的变式运用,做到活用公式, 用活公式. 3.代数式变换与三角变换的区别在于: 代数式变换主要是对代数式的结构形式 进行变换;三角变换一般先寻找三角式 包含的各个角之间的联系,并以此为依 据选择可以联系它们的适当公式进行变 换,其中有两个变换原理是需要我们了 解的. 探究(一):异角和积互化原理 思考1:对于sinα cosβ 和cosα sinβ , 二者相加、相减分别等于什么? 思考2:记sinα cosβ =x,cosα sinβ =y,利用什么数学思想可求出x、y? x {+ y = 方程思想 思考3:由上述分析可知 1 sin ? cos ? ? ?sin( ? ? ? ) ? sin( ? ? ? )? 2 1 cos a sin b = [sin(a + b ) - sin(a - b )] 2 这两个等式左右两边的结构有什么特点? 从左到右的变换功能是什么? 左边是积右边是和差, 从左到右积化和差. 思考4令 ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? , 并交换等式两边的式子可得什么结论? q+ j q- j sin q + sin j = 2 sin cos 2 2 q+ j q- j sin q - sin j = 2 cos sin 2 2 思考5:这两个等式左右两边的结构有什 么特点?从左到右的变换功能是什么? 思考6:参照上述分析,cosα cosβ , sinα sinβ 分别等于什么?其变换功能 如何? 1 cos a cos b = [cos(a + b ) + cos(a - b )] 2 1 sin a sin b = - [cos(a + b ) - cos(a - b )] 2 思考7:cosθ +cosφ ,cosθ -cosφ 分别等于什么?其变换功能如何? q+ j q- j cos q + cos j = 2 cos cos 2 2 q+ j q- j cos q - cos j = - 2 sin sin 2 2 思考8:上述关系表明,两个不同的三角 函数的和(差)与积是可以相互转化的, 但转化是有条件的,其中和差化积的转 化条件是什么? 两个角的函数同名 探究(二):同角和差合成原理 思考1:sin20°cos30°+cos20°sin30° 可合成为哪个三角函数? sin(20°+30°)=sin50° 1 o 思考2: si

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