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广东省深圳市翠园中学2014-2015学年高二年级第二学期期中考试数学(文)试卷


2014-2015 学年高二年级第二学期期中考试 数学(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.复数

3?i 等于( 1? i

) B. 1 ? 2i C. 2 ? i D. 2 ? i )

A. 1 ? 2i

2、设集合 I ? {x | ?3 ? x ? 3, x ? Z}, A ? {1, 2}, B ? {?2, ?1, 2} ,则 A ? (CI B) 等于( A. ?1? B. ?1, 2? C. ?0,1, 2? ) C. y ? 2
?x

D. ??1,0,1, 2?

3、下列函数中,在区间 (0,??) 上为增函数的是( A. y ?

x ?1

B. y ? ( x ? 1)

2

D. log0.5 ( x ? 1) )

4、已知向量 m ? ? ? ?1,1? , n ? ? ? ? 2,2? , 若? m ? n? ? ? m ? n? , 则? = ( A. ?4 B. ?3 C. -2 D. -1

5、设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题正确的是( A.若 m // ? , n // ? ,则 m // n C.若 m // n , m ? ? ,则 n ? ? B.若 m // ? , m // ? ,则 ? // ? D.若 m // ? , ? ? ? ,则 m ? ? ).



6、某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 x 值是 ( A.3 B.4 C.6 D.8

7、下面四个条件中,使 a ? b 成立的充分而不必要的条件是( ) A. a>b ? 1
4

B. a>b ? 1
2

2 2 C. a >b

D. a >b

3

3

8、 已知曲 y ? x ? ax ?1在点? -1 ,a ? 2? 处切线的斜率为8,a=( ) A. 9 B. 6 C. -9 D. -6

9、在面积为 S 的 ?ABC 内部任取一点 P ,则 ?PBC 的面积大于 A.

S 的概率为( ) 4

1 4

B.

3 4

C.

4 9

D.

9 16

1

10.如图,平面中两条直线 l1 和 l 2 相交于点 O ,对于平面上任意一点 M ,若 p 、 q 分别是

M 到直线 l1 和 l 2 的距离,则称有序非负实数对 ? p, q ? 是点 M 的“距离坐标” .已知常数

p ? 0 , q ? 0 ,给出下列命题:
①若 p ? q ? 0 ,则“距离坐标”为 (0, 0) 的点有且仅有 1 个; ②若 p ? 0, q ? 1 ,则“距离坐标”为 (0,1) 的点有且仅有 2 个;

l1
M( p , q )

l2

O

③若 p ? 1, q ? 2 ,则“距离坐标”为 ?1, 2 ? 的点有且仅有 4 个. 上述命题中,正确命题的个数是 ( A. 3 B. 2 ) C. 1 D. 0

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.本大题分为 必做题和选做题两部分. (一)必做题:第 11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须做答. 11. 如图 2, 三棱锥 A-BCD 中, AB ? 平面 BCD, BC ? CD, 若 AB=BC=CD=2, 则该三棱锥的侧视图(投影线平行于 BD)的面积为

?x ? 2 y ? 2 ? 2 2 12.若实数 x, y 满足 ? x ? 2 ,则 ( x ? 1) ? y 的最小值为 ?y ?1 ?
1 4 ? 的最小值是__________. m n



13.已知各项都是正数的等比数列 ?an ? 满足 a7 ? a6 ? 2a5 ,若存在不同的两项 am 和 an ,使
2 得 am ? an ? 16a1 ,则

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能从中选做一题.

? ? 2 上的点到直线 ? cos? ? 3 sin ? ? 6 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,
的距离的最小值是 . 15. (几何证明选讲选做题)如图,已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A , AC 是圆 O 的直径,

?

?

PC 与圆 O 交于点 B , PA ? 4 ,圆 O 的半径是 2 3 ,那么 PB ? __________ .

2

三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? cos 2x ? 2 3sin x ? cos x . (1)求 f ( x ) 最小正周期及最值; (2)若 ? ? ?

? ?? ? ,? ? ,且 f (? ) ? 2 ,求 f (? ? ) 的值. 3 ?2 ?

17.(本小题满分 12 分) 某校有 150 名学生参加了中学生环保知识竞赛,为了解成绩情况,现从中随机抽取 50 名学生的成绩进行统计(所有学生成绩均不低于 60 分).请你根据尚未完成的频率分布表, 解答下列问题:
频率 组距

分组 第1组 第2组 第3组 第4组 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 合计

频数 M 15 20 N 50

频率 0.26 p 0.40 q 1
0.040 0.036 0.032 0.028 0.024 0.020 0.016 0.012 0.008 0.004
0

60 70

80

90 100 分数

(1)写出 M 、N 、p、q(直接写出结果即可) ,并作出频率分布直方图; (2)若成绩在 90 分以上的学生获得一等奖,试估计全校所有参赛学生获一等奖的人数; (3)现从第(Ⅱ)问中所得到的一等奖学生中随机选择 2 名学生接受采访,已知一等奖获 得者中只有 2 名女生,求恰有 1 名女生接受采访的概率. 18.(本题满分 14 分) 如图,圆 O 为三棱锥 P-ABC 的底面 ABC 的外接圆,AC 是圆 O 的直径,PA ? BC,点 M 是线段 PA 的中点. P (1)求证 BC ? PB; (2)设 PA ? AC,PA=AC=2,AB=1,求三棱锥 P-MBC 的体积; M (3)在 ? ABC 内是否存在点 N,使得 MN∥平面 PBC? 请证明你的结论.
A O C

B

3

欢迎访问“高中试卷网”—— 19、(本小题满分 14 分) 已知各项均为正数的数列 ?an ? 满足 an? 2 ? 2 an an? 2 ? 4an?1 ? an( n ? ? ) , 且 a1 ? 1 ,
?

a2 ? 4 .
(1)证明:数列 (2)设 bn ?

? a ? 是等差数列;
n

2n ? 1 , ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,求证: S n ? 1 . an an ?1

20. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,点 P 是直线 y ? x 与抛物线 C 在第一 象限的交点,且 | PF |? 5 . (1)求抛物线 C 的方程; (2) 设直线 l : y ? kx ? m 与抛物线 C 有唯一公共点 M , 且直线 l 与抛物线的准线交于点 Q , 试探究,在坐标平面内是否存在点 N ,使得以 MQ 为直径的圆恒过点 N ?若存在,求出点

N 的坐标,若不存在,说明理由.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? R) . (1)当 a ? 2 时,求曲线 f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (2)设函数 h( x ) ? f ( x) ? (3) 若 g ( x) ? ? 求 a 的取值范围.

1? a ?) 上存在一点 x0 , , 在 [1, e](e ? 2.71828 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立, x

1? a ,求函数 h( x) 的单调区间; x

4

2014-2015 学年高二年级第二学期期中考试 文科数学参考答案
一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题,满分 50 分. 题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 B 5 C 6 D 7 A 8 D 9 D 10 A

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共 5 小题,每小题,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 11.【答案】 2 14.【答案】1 16. (本小题满分12分) 12.【答案】1/5 15.【答案】2 13.【答案】3/2

解:(1)
? 3 1? ?? ? f ( x) ? cos 2 x ? 2 3 sin x ? cos x= ? 2 ? sin 2 x ? ? cos 2 x ? = ? 2sin 2 x ? ? ? ? ?3分 ? ? 2 2 6 ? ? ? ?
所以 T =

2? ?? . 2

………………………………………………………………4 分 ………………………………………………6 分

? ? f ? x ?? ? max ? 2 ; ? ? f ? x ?? ? min ? ?2
(2)由(1)得, f (? ) ? ?2sin ? 2? ?

? ?

??

? =2 , 6?

得: sin ? 2? ?

? ?

??

5? ? 3? ? = ? 1,即 2? ? 6 = 2 ? 2k? , k ? Z .得: ? = 6 ? k? , k ? Z …8 分 6?
5? 6

又因为

?
2

? ? ? ? ,所以 ? =

.……………………………………………10 分

? 5? ? 7? ? 13? ? ? 7? ? ? f (? ? ) ? f ( ? )=f ( )= ? 2sin ? 2 ? ? ? = ?2sin ? ? 3 6 3 6 ? 6 ? ? 6 6?
= ?2 sin

?

1 = ?2 ? = ? 1 ……………………………………………………………………12 分 6 2
???????2 分

17.【解析】 (Ⅰ)M=13 ,N =2, p=0.30,=0.04,

5

频率 组距

0.04 0.03 0 0.03 6 0.02 2 0.02 8 0.02 4 0.01 0 0.01 6 0.00 2 0.00 8 4 0

60 70 80

90 100 分 数

??????4 分

(Ⅱ)获一等奖的概率为 0.04,获一等奖的人数估计为 150 ? 0.04 ? 6 (人)??7 分 (Ⅲ)记获一等奖的 6 人为 A1 , A2 , B, C, D, E ,其中 A1 , A2 为获一等奖的女生,从所有一 等奖的同学中随机抽取 2 名同学共有 15 种情况如下:

? A1 , A2 ? , ? A1 , B ? , ? A1 , C ? , ? A1 , D ? , ? A1 , E ? ,
? A2 , B ? , ? A2 , C ? , ? A2 , D ? , ? A2 , E ? , ?B, C ? , ?B, D? , ?B, E ? , ?C, D? , ?C , E ? , ?D, E ? ,
女生的人数恰好为 1 人共有 8 种情况如下: ???9 分

? A1 , B ? , ? A1 , C ? , ? A1 , D ? , ? A1 , E ? , ? A2 , B ? , ? A2 , C ? , ? A2 , D ? , ? A2 , E ? ,
所以恰有 1 名女生接受采访的概率 P ?

8 15

???12 分

18、 (Ⅰ)证明:如图,因为,AC 是圆 O 的直径,所以 BC⊥AB......1 分 P 因为,BC ? PA,又 PA、AB ? 平面 PAB,且 PA ? AB=A....2 分 所以,BC ? 平面 PAB,又 PB ? 平面 PAB....3 分 所以,BC ? PB....4 分 (Ⅱ)如图,在 Rt ? ABC 中,AC=2,AB=1

3 所以,BC= 3 ,因此, S?ABC ? ....6 分 2 因为,PA ? BC,PA ? AC,所以 PA ? 平面 ABC A 1 3 1 3 3 所以, VP ? MBC ? VP ? ABC ? VM ? ABC ? ? ....9 分 ?2? ? ?1 ? 3 2 3 2 6

M

O D B N

C

(Ⅲ)如图,取 AB 得中点 D,连接 OD、MD、OM,则 N 为线段 OD(除端点 O、D 外) 上任意一点即可,理由如下: · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · ·10 分 因为,M、O、D 分别是 PA、AC、AB 的中点 所以,MD∥PB,MO∥PC 因为,MD ? 平面 PBC,PB ? 平面 PBC 所以,MD∥平面 PBC · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · ·12 分
6

同理可得,MO∥平面 PBC 因为,MD、MO ? 平面 MDO,MD ? MO=M 所以,平面 MDO∥平面 PBC · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · ·13 分 因为,MN ? 平面 MDO 故,MN∥平面 PBC. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · ·14 分 19.(Ⅰ)?an?2 ? 2 anan?2 ? an ? 4an?1 且 an ? 0

? ( an?2 ? an )2 ? (2 an?1 )2
?

? an?2 ? an ? 2 an?1

????3 分 ???? 5 分 ????8 分 ????????10 分

? a ? 是首项为
n

a1 =1 ,公差为 a2 ? a1 ? 1的等差数列

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 an ? 1? (n ?1) ?1 ? n, an ? n2

?bn ?

2n ? 1 n2 ? n ? 1?
2

?

1 1 ? 2 n ? n ? 1?2

? Sn ? 1 ?

1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 ? 2 2 2 3 n ? n ? 1?2

????????12 分

? 1?

1

? n ? 1?

2

?1

????????14 分

20.解:(1)解法 1: ∵点 P 是直线 y ? x 与抛物线 C 在第一象限的交点, ∴设点 P(m, m)(m ? 0) ,----------------------------------------------------------1 分 ∵抛物线 C 的准线为 y ? ?

p p ,由 | PF |? 5 结合抛物线的定义得 m ? ? 5 -------①-----2 分 2 2
2

又点 P 在抛物线 C 上,∴ m ? 2 pm (m ? 0) ? m ? 2 p .----------------------②-----3 分
2 由①②联立解得 p ? 2 ,∴所求抛物线 C 的方程式为 x ? 4 y .-------------------------5 分

[解法 2:∵点 P 是直线 y ? x 与抛物线 C 在第一象限的交点, ∴设点 P(m, m)(m ? 0) ,----------------------------------------------------------1 分

∵抛物线 C 的焦点为 F (0, 即 m ? (m ?
2

p p ) ,由 | PF |? 5 得 m2 ? (m ? )2 ? 5 , 2 2

p 2 ) ? 25 ,-------------------------------------------①-------------2 分 2
2

又点 P 在抛物线 C 上,∴ m ? 2 pm (m ? 0) ? m ? 2 p .--------------②-------------3 分

7

由①②联立解得 p ? 2 ,∴所求抛物线 C 的方程式为 x2 ? 4 y .-------------------------5 分] (2)解法 1:由抛物线 C 关于 y 轴对称可知,若存在点 N ,使得以 MQ 为直径的圆恒过点

N,
则点 N 必在 y 轴上,设 N (0, n) ,--------------------------------------------------6 分
2 x0 ), 由直线 l : y ? kx ? m 与抛物线 C 有唯一公共点 M 知, 直线 l 与抛物线 C 4

又设点 M ( x0 , 相切, 由y?

1 2 1 1 x 得 y ' ? x ,∴ k ? y ' |x ? x0 ? x0 ,---------------------------------------7 分 4 2 2
2 x0 x ? 0 ( x ? x0 ) ,--------------------------------------------8 分 4 2

∴直线 l 的方程为 y ?

2 x0 ?2 x 2 令 y ? ?1 得 x ? 2 ,∴ Q 点的坐标为 ( 0 ? , ?1) ,-----------------------------9 分 x0 2 x0

???? ? ???? x x2 2 ? NM ? ( x0 , 0 ? n), NQ ? ( 0 ? , ?1 ? n) --------------------------------------10 分 4 2 x0
∵点 N 在以 MQ 为直径的圆上, ∴ NM ? NQ ?

???? ? ????

2 x0 x2 x2 ? 2 ? (1 ? n)( 0 ? n) ? (1 ? n) 0 ? n2 ? n ? 2 ? 0 2 4 4

(*) --------------12 分

要使方程 (*) 对 x0 恒成立,必须有 ?

?1 ? n ? 0
2 ?n ? n ? 2 ? 0

解得 n ? 1 ,-------------------------13 分

∴在坐标平面内存在点 N ,使得以 MQ 为直径的圆恒过点 N ,其坐标为 (0,1) .-------14 分 [解法 2:设点 M ( x0 , y0 ) ,由 l : y ? kx ? m 与抛物线 C 有唯一公共点 M 知,直线 l 与抛物

1 2 1 1 x 得 y ' ? x ,∴ k ? y ' |x ? x0 ? x0 ,-----------------------------------6 分 4 2 2 x ∴直线 l 的方程为 y ? y0 ? 0 ( x ? x0 ) ,---------------------------------------------7 分 2
线相切,由 y ? 令 y ? ?1 得 x ?

2( y0 ? 1) 2( y0 ? 1) , ?1) ,-------------------------8 分 ,∴ Q 点的坐标为 ( x0 x0

∴以 MQ 为直径的圆方程为: ( y ? y0 )( y ? 1) ? ( x ? x0 )[ x ?
8

2( y0 ? 1) ] ? 0 --------③----10 分 x0

分别令 x0 ? 2 和 x0 ? ?2 ,由点 M 在抛物线 C 上得 y0 ? 1 , 将 x0 , y0 的值分别代入③得: ( y ? 1)( y ?1) ? ( x ? 2) x ? 0 -------------------------------④

( y ? 1)( y ? 1) ? ( x ? 2) x ? 0 --------------------------------------------------------⑤
④⑤联立解得 ?

? x ? 0, ? x ? 0, 或? ,-----------------------------------------------12 分 ? y ? 1. ? y ? ?1.

∴在坐标平面内若存在点 N ,使得以 MQ 为直径的圆恒过点 N ,则点 N 必为 (0,1) 或

(0, ?1) ,
将 (0,1) 的坐标代入③式得, 左边= 2(1 ? y0 ) ? (? x0 )[?

2( y0 ? 1) ] ? 2(1 ? y0 ) ? 2( y0 ?1) ? 0 =右边, x0

将 (0, ?1) 的坐标代入③式得, 左边= (? x0 )[?

2( y0 ? 1) ] ? 2( y0 ? 1) 不恒等于 0,------------------------------------13 分 x0

∴坐标平面内是存在点 N ,使得以 MQ 为直径的圆恒过点 N ,点 N 坐标为为 (0,1) -14 分] 20.解: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? x ? 2 ln x , f (1) ? 1 ,切点 (1,1) , ??1 分 ??3 分

? f ' ( x) ? 1 ?

2 ,? k ? f ' (1) ? 1 ? 2 ? ?1 , x

? 曲线 f ( x) 在点 ?1,1? 处的切线方程为: y ? 1 ? ?( x ? 1) ,即 x ? y ? 2 ? 0 . ??4 分
(Ⅱ) h( x) ? x ? a ln x ?
'

1? a ,定义域为 (0,??) , x
??5 分

a 1 ? a x 2 ? ax ? (1 ? a) ( x ? 1)[x ? (1 ? a)] h ( x) ? 1 ? ? 2 ? ? x x x2 x2
' ①当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时,令 h ( x) ? 0 ,? x ? 0,? x ? 1 ? a

令 h ( x) ? 0 ,? x ? 0,? 0 ? x ? 1 ? a
'
' ②当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时, h ( x) ? 0 恒成立,

??6 分 ??7 分

综上:当 a ? ?1 时, h( x) 在 (0, a ? 1) 上单调递减,在 (a ? 1,??) 上单调递增. 当 a ? ?1 时, h( x) 在 (0,??) 上单调递增. (Ⅲ)由题意可知,在 [1, e] 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,
9

??8 分

即在 [1, e] 上存在一点 x0 ,使得 h( x0 ) ? 0 , 即函数 h( x) ? x ? a ln x ?

1? a 在 [1, e] 上的最小值 [h( x)]min ? 0 .? x

?9 分

由第(Ⅱ)问,①当 a ? 1 ? e ,即 a ? e ? 1 时, h( x) 在 [1, e] 上单调递减,

? [h( x)] min ? h(e) ? e ?

e2 ? 1 1? a ? a ? 0 ,? a ? , e e ?1
??10 分

?

e2 ? 1 e2 ? 1 ? e ? 1 ,? a ? ; e ?1 e ?1

②当 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 0 时, h( x) 在 [1, e] 上单调递增,

?[h( x)]min ? h(1) ? 1 ? 1 ? a ? 0 ,? a ? ?2
③当 1 ? a ? 1 ? e ,即 0 ? a ? e ? 1 时,

??11 分

?[h( x)]min ? h(1 ? a) ? 2 ? a ? a ln(1 ? a) ? 0
? 0 ? ln(1 ? a) ? 1 ,? 0 ? a ln(1 ? a) ? a ,? h(1 ? a) ? 2
此时不存在 x0 使 h( x0 ) ? 0 成立. 综上可得所求 a 的范围是: a ? ??13 分 ??????14 分

e2 ? 1 或 a ? ?2 . e ?1

10


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