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山东师大附中2013级高三第一次模拟考试试题数学理科答案


2013 级高三一模数学(理)参考答案及评分标准
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1、B 2、A 3、D 4、B 5、B 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11、 an ? 2n 12、 i ? 2014 13、5 6、C 7、B 8、C 9、A 10、C

14、 ?4 ? m ? 2

15、 ①④

三、解答题:本大题共六小题,共 75 分。 16.解: (1)由题设知 f ( x) ? ? sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 1 ?

2 cos( 2 x ?

?
4

) ? 2 ,???2 分

? f ( x) ? 1 ? 0,? 2 cos( 2 x ? ? 2x ?

?
4

) ? 2 ? 1 ,? cos(2 x ?

?
4

)??

2 ,???????3 分 2

?
4

? 2k? ?

得 x ? k? ?

?
4

3? ? 5? 或 2 x ? ? 2k? ? ,k ? Z 4 4 4

或 x ? k? ?

?

? x ? (0, ? ),? x1 ?

?
4

2

,????????????????????????5 分

2 ? (2) y ? f ( x) 图像向左平移 个单位,得 6 y? 2 cos[2 x? (

, x2 ?

?

,? x1 ? x 2 ?

3? .????????????????6 分 4

?

6

?) 4

?

? ] ?2

) ?????????8 分 12 ? ? 3 5 17 ? 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ? ? k? ? ? ? x ? k? ? ? , k ? Z ?????9 分 2 12 2 24 24 19 7? 5 17 ? ? x ? ? ;当 k ? 0 时, ? ? x ? ? ??????????10 分 当 k ? ?1 时 ? 24 24 24 24
? x ? [?

再向下平移 2 个单位得 g ( x) ? ? 2 sin( 2 x ?

?

2 cxo s ?( 2 ? 3 4

?

?

? )? ? 2

x 2 s i?n ( 2 ? 12

?

)

2

? ?

? f ( x) 在 [ ?

5 ? ? 7? , ] 的增区间为 [? ,? ] , [ ? , ] .????????????12 分 2 2 2 24 24 2 2 2 2 17(Ⅰ)在△ABC 中,由余弦定理可知, a ? c ? b ? 2ac cos B ,由题意知

, ] 2 2

? ?

a2 ? c2 ? b2 ?

1 1 ac ,∴ cos B ? ;??????2 分 4 2

又在△ABC 中 A ? B ? C ? ? ,∴

sin 2

A?C ? ?B B 1 ? cos B ? cos 2 B ? sin 2 ? cos 2 B ? cos 2 ? cos 2 B ? ? 2 cos 2 B ? 1 2 2 2 2
cos B 1 1 A?C 1 ? ,又 cos B ? ,∴ sin 2 ? cos 2 B ? ? .??????6 分 2 2 4 2 4
1 1 ac 可知, a 2 ? c 2 ? 4 ? ac , 2 2

? 2 cos 2 B ?

2 2 2 (Ⅱ)∵b=2 ,∴由 a ? c ? b ?



1 8 ac ? 2ac ? 4 ,∴ ac ? ,????????8 分 2 3

∵ cos B ? ∴ S ?ABC ?

1 15 ,∴ sin B ? ??????10 分 4 4

1 1 8 15 15 . ac ? sin B ? ? ? ? 2 2 3 4 3
15 .??????????12 分 3

∴△ ABC 面积的最大值为

18.(Ⅰ)解:设“选出的 3 名裁判中欧洲裁判人数多于亚洲裁判人数”为事件 A, “恰好选 出 1 名欧洲裁判和 2 名美洲裁判”为事件 A1“恰好选出 2 名欧洲裁判“为事件 A2, ” 恰好取出 3 名欧洲裁判”为事件 A3 由于事件 A1,A2,A3 彼此互斥,且 A=A1∪A2∪ A3 而
P ( A1 )
2 7 3 C1 1 3 C3 ? , P(A2)=P(X=2)= 40 ,P(A3)=P(X=3)= , 3 40 120 C10

所以选出的 3 名裁判中欧洲裁判人数多于亚洲裁判人数的概率为 P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=
3 7 1 31 + + = 40 40 120 120

3 (Ⅱ)解:由于从 10 名裁判中任选 3 人的结果为 C10 ,从 10 名裁判中任取 3 人,其中 k 3? k 恰有 k 名欧洲裁判的结果数为 C3 C7 ,那么从 10 人任选 3 人,其中恰有 k 名欧洲裁判的概
7 率为 P(X=k)= C3 C ,k=0,1,2,3. 3 C10 k 3?k

所以随机变量 X 的分布列是 X P 0 1 2 3

7 24

21 40

7 40

3 120

X 的数学期望 EX= 0 ?

7 21 7 1 9 ? 1? ? 2? ? 3? ? 24 40 40 120 10

19、解: (Ⅰ)记“该同学能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai (i ? 1, 2, 3) , 则 P( A1 ) ? 4 , P( A2 ) ? 3 , P( A3 ) ? 2 ,??????3 分 5 5 5 ∴该同学被淘汰的概率 P ? P( A1 ? A1 A2 ? A2 A2 A3 ) ? P( A1 ) ? P( A1 )P( A2 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 )
? 1 4 2 4 3 3 101 .????????6分 ? ? ? ? ? ? 5 5 5 5 5 5 125

(Ⅱ)? 的可能值为 1,2,3,P(? ? 1) ? P( A1 ) ? 1 ,P(? ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ? 4 ? 2 ? 8 , 5 5 25 5
4 3 12 .??????8 分 P(? ? 3) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ? ? ? 5 5 25

∴ ? 的分布列为

?
P

1

2

3

1 5
1 5

8 25

12 25
????????10分

∴ E? ? 1? ? 2 ?

8 12 57 ????????12分 ? 3? ? 25 25 25

20 解: (Ⅰ)将 x ? ?1 代入切线方程得 y ? ?2 , ∴ f (?1) ? 化简得 b ? a ? ?4 . f ?( x) ?

b?a ? ?2 ,????1 分 1?1

a( x 2 ? 1) ? (ax ? b) ? 2 x ,?????2 分 (1 ? x 2 ) 2

2a ? 2(b ? a) 2b b ? ? ? ?1 , 4 4 2 2x ? 2 解得: a ? 2, b ? ?2 .∴ f ( x) ? 2 . ????4 分 x ?1 2x ? 2 (Ⅱ)由已知得 ln x ? 2 在 [1,??) 上恒成立, x ?1 f ?(?1) ?
2 化简 ( x ? 1) ln x ? 2 x ? 2 ,即 x ln x ? ln x ? 2 x ? 2 ? 0 在 [1,??) 上恒成立.????5 分
2

设 h( x) ? x 2 ln x ? ln x ? 2 x ? 2 , h ?( x) ? 2 x ln x ? x ? ∵x ?1 ∴ 2 x ln x ? 0,

1 ? 2 , ????7 分 x

x?

1 ? 2 ,即 h?( x) ? 0 , x

∴ h( x) 在 [1,??) 上 单 调 递 增 , h( x) ? h(1) ? 0 , ∴ g ( x) ? f ( x) 在 x ? [1,??) 上 恒 成 立 .????10分

b 2 ?2 b b (Ⅲ)∵ 0 ? a ? b , ∴ ? 1 ,由(Ⅱ)知有 ln ? a , ??12 分 a ( b )2 ? 1 a a ln b ? ln a 2a ln b ? ln a 2a 整理得 ,∴当 0 ? a ? b 时, . ????13 分 ? 2 ? 2 2 b?a b?a a ?b a ? b2
2 21:(I) xf ? x ? ? g ? x ? ? x ? a ? 2ln x ? a ? x ? 2ln x
2

令 h ? x ? ? x ? 2ln x
2

则 h ? x ? ? 2x ?
'

2 2 ? x ? 1?? x ? 1? ? ? x ? 0 ? ----------------------2 分 x x

?1 ? ? 当 x ? ? ,1? 时, h' ? x ? ? 0 ,当 x ? ?1, e ? 时, h' ? x ? ? 0 ------------------3 分 ?e ? ?1? 1 ?1? ? h ? ? ? 2 ? 2, h ? e ? ? e2 ? 2 ? h ? e ? ? h ? ? ?e? e ?e?

hmax ? x ? ? e2 ? 2,?a ? e2 ? 2 ----------------------------------------5 分
(II) (1)

? f ? x ? ? 2014 g ? x ?
i ?1 i n ?1

n

? n ? ? ? ? f ? xi ? ? ? ? 2014 g ? xn?1 ? ?min -------------------------6 分 ? i ?1 ?max

? f ? x ? , g ? x ? 均为增函数
1? 3 ? n ? ? ? ? ? f ? xi ? ? ? n ? 2 ? ? ? n ---------------------------7 分 2? 2 ? ? i ?1 ?max
? ? 2014 g ? xn ?1 ? ? ? min ? 2014 ? 2 ? 4028 ---------------------------------8 分

3 1 ? n ? 4028,? n ? 2685 ? 2 3 ? n 的最大值为 2685.-------------------------------------------------9 分
(2) H ? x ? ? 2ln ? x ? 1? ? x ? a
2

H ' ? x? ?

2 ? 2x x ?1

ln ? x1 ? 1? ? ln ? x2 ? 1?? H ? x1 ? ? H ? x2 ? 2 ? ? ? ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? ? x1 ? x2 x1 ? x2
? x ?1 2 ln 1 ? ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 x2 ? 1

4 ?x ?x ? H' ? 1 2 ? ? ? ? x1 ? x2 ? ? 2 ? x1 ? x2 ? 1
原式 ?

x ?1 ? x ? 1? ? ? x2 ? 1? 1 2 x ?1 ln 1 ? ? ln 1 ?2 1 x2 ? 1 ? x1 ? x2 ? x2 ? 1 x1 ? x2 ? 2 ? x1 ? 1? ? ? x2 ? 1?



-------------------------------------------------------------------------12 分



x1 ? 1 ? t ? t ? ?1, ?? ? ? x2 ? 1 t ?1 2 ? ? ? 2 ?1 ? ? t ?1 ? t ?1 ?
2

①式 ln t ? 2 ?

令 u ? t ? ? ln t ?

4 ?2 t ?1

? t ? 1? ? 0 1 4 u ?t ? ? ? ? ?u ? t ? 在 ?1, ?? ? 上是增函数 2 2 t ? t ? 1? t ? t ? 1?
'

?u ?t ? ? u ?1? ? 0 ?u ? t ? 无零点,故 A、B 两点不存在-------------------------------------14 分


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