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正弦函数、余弦函数的图像


高中课程标准?数学必修 4

1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像

一、教学内容及其解析 1、内容: 本次课主要内容是教学生画出正弦函数、余弦函数的图像形状,采用类比,突出两种曲 线的相同与不同之处。 2、解析: 本节课是高中数学教材必修 4§1.4 《正弦函数、 余弦函数的图像和性质》 的第一节, 是学生在已掌握了一些基本函数的图像及其

画法的基础上, 进一步研究三角函数的画法。 其 中要了解利用正弦线画出函数 y ? sin x , x ? [0 , 2? ] 的图像,并利用正弦曲线和诱导公 式画出余弦曲线。会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图。为今后学习正弦型函数

y ? A sin(?x ? ? )的图像及运用数形结合的思想研究正、余弦函数的性质打下基础。
二、教学目标及解析 1、目标: 《课程标准》对本模块、本章和本节的内容要求是: (1)了解如何利用正弦线画出正弦函数的图像,并在此基础上由诱导公式画出余弦函 数的图像。 (2)掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图。 (3) 体会探究利用 “五点法” 画与正弦函数、 余弦函数有关的某些简单函数在 [0 ,2? ] 的简图。 (4)体验利用图像变换作图的方法,体会整体划归的思想。 2、目标解析: 根据《课程标准》对本模块、本章和本节的内容提出要求,结合教科书对当前内容和后 续内容的分析,这两节课的教学目标定位应该是: (1)利用诱导公式,由正弦函数的图像通过平移法得到余弦函数图像,培养学生应用分 析、探索、化归、类比、数形结合等数形思想方法在解决问题中的应用能力。 2.体会“五点法”作图给我们学习带来的好处,并会熟练地画出一些简单的函数图像,进 一步了解从特殊到一般,从一般到特殊的辩证思想方法。 3.通过实验、作图,使学生感受波形曲线的流畅美、对称美,使学生体会事物周期变化的 奥秘,培养学生自主探索和学习的能力。 三、教学问题诊断分析 这节课学生可能遇到的困难是:利用正弦线画出函数 y ? sin x , x ? [0 , 2? ] 的图像, 掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图。在这里,几何描点法中,单位圆中的三角 函数线是一些有向线段, 它们可以用来表示单位圆中的三角函数值, 这种思路是学生不容易 想到的,需要适当引导。画正弦函数图像的“五点法”中的五点选取可以是不一样的,根据 各自的取值区间, 只要都是一个周期内的图像均可。 在观察正弦函数图像向左或向右平移时, 学生不容易想到相关的诱导公式,这就要求教师的引导, 也要求充分复习正弦线、函数图
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像的变换等知识,体现了知识间的联系。在作图时,认真梳理好讲解的顺序,采用类比,突 出两种曲线的相同与不同之处,并让学生充分参与。 四、教学支持条件 收集“简谐运动”的实验装置。利用多媒体、实物教具等手段可帮助学生更直观地认识 正弦、余弦函数曲线,以及它们之间图像变换。 五、教学过程设计 (一)教学基本流程 创 设 问题 情 境 , 引出 课 题 探 索 正弦 函 数图像 探索余弦 函数图像 “ 五 点法 ” 作 正 、余 弦 函数图像

例题讲 解

目 标 检 测

小 结

作 业

(二)教学情境 1.探索这些函数图像的画法 问题1: (1)我们可以用单位圆中的三角函数线来刻画三角函数,那是否可以用它来帮 助作正弦函数图像呢?如何画出函数 y ? sin x , x ? [0 , 2? ] 的图像呢? 设计意图: 体会用学过的粗略描点法作正弦函数图像的麻烦和不准确。 建立单位圆的三 角函数线与三角函数图像之间的联系, 引出用正弦线作正弦函数图像的方法。 进一步明确如 何利用单位圆中的正弦线画正弦函数图像。 师生活动: 注意引导学生分析图像上的点与单位圆中的圆心角及其所对应的正弦线之间 的关系。 按照教科书叙述的步骤, 指导学生动手操作, 描出12个点, 做出 y ? sin x ,x ? [0 ,

2? ] 的图像。形成对正弦函数图像的感知。
作图过程: (1)在直角坐标系 x 轴上任意取一点 O1 ,以为圆心作单位圆; (2)从圆 O1 与 x 轴的交点起 A 把圆分成12等份(份数宜取6的倍数,份数越多,画出 的图像越准确); (3)再把 x 轴上从0到 2? 这一段( ? 6,28 )分成12等份; (4)把圆 O1 上的各分点作 x 轴的垂线,可以得到对应于0,

? 2? 3?
6 , 6 , 6

,??, 等角的正

弦线; (5)把角 x 的正弦线向右平移,使它的起点与 x 轴上的点 x 重合; (6)再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连接起来,就得到函数 y ? sin x , x ? [0 ,
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2? ] 的图像。

问题2:如何作出函数 y ? sin x , x ? [2k? , 2(k ? 1)? ), k ? Z 且 k ? 0 的图像。 设计意图:引导学生利用诱导公式(一) ,只要将函数 y ? sin x , x ? [0 , 2? ] 的图像左、 右平移(每次 2? 个单位长度)就可以得到 y ? sin x , x ? R 的图像。 师生活动:因为终边相同的角有相同的三角函数值,三角函数值有周而复始的变化规律。所 以函数 y ? sin x 在 x ? [2k? ,2(k ? 1)? ), k ? Z 且 k ? 0 的图像与函数 y ? sin x ,x ? [0 ,

2? ] 的图像的形状完全一样,只是位置不同,于是只要将函数 y ? sin x , x ? [0 , 2? ] 的
图像左、右平移(每次 2? 个单位长度)就可以得到 y ? sin x , x ? R 的图像,即正弦曲线

2余弦函数图像 问题3:以正弦函数的图像为基础,怎样通过适当的图形变换得到余弦函数的图像吗? 设计意图: 使学生从函数解析式之间的关系思考函数图像之间的关系, 进而学习通过图像变 换画余弦函数图像的方法, 让学生感受有了一个函数图像作为基础时, 可以通过函数图像变 换得到另一个函数的图像,降低作图的难度。 师生活动:由诱导公式 cos x ? sin(

?
2

? x) 知,把正弦函数的图像向左平移

? 个单位即 2

得余弦函数 y ? cos x, x ? R 的图像,叫做余弦曲线

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3.五点画图法 问题 4:在作出正弦函数的图像时,应抓住哪些关键点? 设计意图:从对图像的整体观察入手,引出“五点法”。 师生活动:观察正弦函数 y ? sin x , x ? [0 , 2? ] 的图像,起关键作用的点有以下 五个: (0,0), (

?
2

,1), (? ,0), (

3? ,?1), (2? ,0) 。在精确度要求不高的情况下,我们常常线找 2

出这五个关键点,正弦函数 y ? sin x , x ? [0 , 2? ] 的图像形状就基本上确定了。这种近 似的“五点画图法”是非常实用的。 探究:类似于正弦函数图像的五个关键点,你能找出余弦函数图像的五个关键点吗?请将 它们的坐标写出来,然后作出函数 y ? cos x, x ? [0,2? ] 的简图。 4.例题讲解 例 1:画出下列函数的简图 (1) y ? 1? sin x , x ? [0 , 2? ] ;

(2) y ? ? cos x, x ? [0,2? ] 。

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解: (1) y ? 1? sin x , x ? [0 , 2? ] ;

(2) y ? ? cos x, x ? [0,2? ]

思考:你能否从函数图像变换的角度出发,利用函数 y ? sin x , x ? [0 , 2? ] 的图像来得 到 y ? 1? sin x , x ? [0 , 2? ] 的图像?同样的,你能否从函数 y ? cos x, x ? [0,2? ] 图像 得到函数 y ? ? cos x, x ? [0,2? ] 的图像? 设计意图:使学生从图像变换的角度认识函数之间的关系。 师生活动:教师提出问题,学生独立完成,回答问题。 补充例题: 画出函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) , x ? R .的简图

5.课内目标检测 课本 P34 页第 1 题;

6.课堂小结
问题6:通过这次课的学习,我们是怎么研究正弦函数、余弦函数图像的画法? 设计意图:反思学习过程,对研究正弦函数、余弦函数图像的方法进行概括,深化认识。 师生活动:引导学生作如下的小结: 1.代数描点法(误差大);2.几何描点法(精确但步骤繁);3.五点法(重点掌 握)-----简图;4平移(正弦函数图像-----余弦函数图像)。

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六、配餐作业 (一) 、基础题(A 组) 1.画出正弦函数 y ? sin x , x ? [0 , 2? ] 的图像

2.画出下列函数的简图 (1) y ? 1? sin x , x ? [0 , 2? ]

(2) y ? 3 cos x ? 1 , x ? [0 , 2? ]

二、巩固题(B 组) 2.想一想函数 y ? sin(x ? 它们的草图。

3? ) 和 y ? cos x 的图像,并在同一个直角坐标系中,画出 2

三、提高题(C 组) 3.画出下列函数的简图,试着分析这两个函数与 y ? sin x 的函数图像的关系。 (1) y ? sin(x ?

?
3

), x?R

(2) y ? 3 sin(x ?

?
3

) , x?R

(七) 、教学反思 本节课主要采用学生动手,自己作图,教师设置问题串,学生由问题串引导结合 图象利用图象,做到看图说话,把图像中所反映的三角函数性质用数学语言翻译出来。学生 在利用单位圆的三角函数线与三角函数图像之间的联系, 引出用正弦线作正弦函数图像这里 有些难理解,通过多媒体课件的动态演示形象、直观地展示这个作图过程,突破难点。在这
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个过程中其实学生只需对学生进行适当的引导, 由一个周期推广到整个定义域的图象利用周 期性,同时渗透合情推理的思想,是学生不断感受图象与性质的关系,即做到“形’”“数” 、 结合,能够作出三角函数图象的简图。 但是,这节课我是直接讲清单位圆与三角函数线的关系的情况下用多媒体演示如何由单 位圆得到正弦函数图象, 其实, 后来我想, 如果下次再上, 可以先和学生一起研究作图原理, 然后留给学生一定的时间自己动手感受,因为只有自己“亲历”的才印象更加深刻,虽然这 样要花些时间,课堂容量相对减少,但是,让学生肯定和清楚这些原理,后面的内容讲授就 可以快起来,可能学生更容易接受,也就是所谓的“磨刀不误砍柴功” 。

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