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2013南平一中自主招生数学试题










(满分:100 分

考试时间:90 分钟)

一、选择题(每小题 3 分,共 10 题,在给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知 x ? y ? 5, xy ? 6 ,则 x 2 ? y 2 ? ( )

A. 1 B. 13 C. 17 D. 25 2.已知圆锥的底面半径为 9 ㎝,母线长为 30 ㎝,则圆锥的侧面积为( ) 2 2 2 A. 270 ? cm B. 360 ? cm C. 450 ? cm D. 540 ? cm2
2 3.代数式 3x ? 4 x ? 5 的值等于 7,则 x ? 4 x ? 5 的值为(
2

3

) D. -1

A. 7

B. 12

C. 1

4. x 、 y 都是正数,并且成反比,若 x 增加了 p ﹪,设 y 减少的百分数为 q ﹪,则 q 的值 为( A. ) B.

100 p 1 ? p%

100 p%

C.

p 100 ? p

D.

100 p 100 ? p

5.下列命题: ① 若 a ? b ? c ? 0 ,则 b ? 4ac ? 0 ;
2

② 若 b ? a ? c ,则一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 有两个不相等的实数根;
2

③ 若 b ? 2a ? 3c ,则一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 有两个不相等的实数根;
2

④ 若 b ? 4ac ? 0 , 则二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与坐标轴的公共点的个数是 2 或 3.
2

正确命题的个数有( A.1 B.2

) C.3 D.4

6.一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的,其俯视图 与主视图如图所示,则组成这个几何体的小正方块最多 有( .. A.4个 C.6个


) 俯视图 主视图 (第6题图)
A

B.5个 D.7个

7.如图,∠ACB=60 ,半径为 2 的⊙0 切 BC 于点 C,若将⊙O 在 CB 上向右滚动,则当滚动到⊙O 与 CA 也相切时,圆心 O 移动的水平 距离为( ) A. 2? B. 4? C. 2 3 D.4

o c 第7 题图 B

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8.父亲每天都爱带报纸去上班,父亲离开家的时间记为 x ,送报人来的时间记为 y ,若

7 : 30 ? x ? 8 : 00 , 7 : 00 ? y ? 8 : 00 ,则父亲能拿不到报纸上班的概率为(
A.



1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

3 4
P C B

9.在平面直角坐标系中,已知点 A ( ?4 ,0) ,B(2,0) ,若点 C 在
1 一次函数 y ? ? x ? 2 的图象上,且△ABC 为直角三角形,则满 2

足条件的点 C 有( A.1 个 B.2 个

) C.3 个 D.4 个 A O (第 10 题图)

10.如图,AB 为半⊙O 的直径,C 为半圆弧的三等分点,过 B,C 两 点的 ax ? bx ? c ? 0 半⊙O 的切线交于点 P,若 AB 的长是 2a,
2

则 PA 的长是( A. 5 a

) C. 2 2a D. 3a

2

B. 7a

二、填空题(每小题 4 分,共 5 小题) 11.分解因式: 2 x ? 4 x ? 2 ?
2



12.从一副扑克牌中取出的两组牌,一组为黑桃 1、2、3,另一组为方块 1、2、3,分别随 机地从这两组牌中各摸出一张,那么摸出的两张牌的牌面数字之和是奇数的概率 是 .

13 . 对 于 实 数 a、 b 定 义 一 种 运 算 “ * ” 为 : a ? b ? (a ? b)a , 则 关 于 x 的 方 程

x ? (m ? x) ? 0 (m ? ?1) 的解是_________________.
14.如图,在菱形 ABCD 中,AE⊥BC,E 为垂足,若 cosB ? EC=2,P 是 AB 边上的一个动点,则线段 PE 的长度的 最小值是__________. B

4 , 5

A P E C

D

15.如图,已知点 F 的坐标为(3,0) ,点 A, B 分别是某函数图象与 x 轴、 y 轴的交点, 点 P 是此图象上的一动点 . 设点 P 的横坐标为 x ,PF 的长为 d , 且d .. y P x

3 与 x 之间满足关系: d ? 5 ? x ( 0 ≤ x ≤ 5 ) ,则结论:①AF ? 2 ; B 5
②BF ? 5 ;③OA ? 5 ;④OB ? 3 中,正确结论的序号是

F A . O (第 15 题图)

数学试题 第 2 页(共 4 页)

三、解答题(6 小题,满分 50 分) 16. (本题满分 5 分)计算:

2 ? 1 ? tan60? ? ( x 2 ? 1) 0 + 3 ?1

4

1 ? cos45? 2

17. (本题满分 5 分)先化简,再求值

? x ?1 x ? 1 ? x ? 3 ? , 其中 x ? 2 ? 1 ? ?? 2 ? x ?1 x ? 2 ? x ? 4
18.(本题满分 10 分) 某大型超市元旦假期举行促销活动, 规定一次购物不超过 100 元的不给优惠; 超过 100 元而 不超过 300 元时,按该次购物全额 9 折优惠;超过 300 元的其中 300 元部分仍按 9 折优惠,超过 部分按 8 折优惠.小美两次购物分别用了 94.5 元和 282.8 元,现小丽决定一次购买小美分两次购 买的同样的物品,则小丽应该付款多少元? 19. (本题满分 15 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 3 分,第(3)小题 6 分) 在半径为 4 的⊙O 中,点 C 是以 AB 为直径的半圆的中点,OD⊥AC,垂足为 D,点 E 是射线 AB 上的任意一点,DF//AB,DF 与 CE 相交于点 F,设 EF= x ,DF= y . (1)如图 1,当点 E 在射线 OB 上时,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函数定义域; (2)如图 2,当点 F 在⊙O 上时,求线段 DF 的长; (3)如果以点 E 为圆心、EF 为半径的圆与⊙O 相切,求线段 DF 的长. C C D A F D A F

O

B

E

O

B

E

(第 19 题图 1)

(第 19 题图 2)

20. (本题满分 15 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 6 分) 如图,Rt△ABC 中,∠C=90° ,BC=6,AC=8.点 P,Q 都是斜边 AB 上的动点,点 P 从 B 向 A 运动(不与点 B 重合) ,点 Q 从 A 向 B 运动,BP=AQ.点 D,E 分别是点 A, B 以 Q,P 为对称中心的对称点, HQ⊥AB 于 Q,交 AC 于点 H.当点 E 到达顶点 A 时, P,Q 同时停止运动.设 BP 的长为 x,△HDE 的面积为 y. B (1)求证:△DHQ∽△ABC; (2)求 y 关于 x 的函数解析式并求 y 的最大值; (3)当 x 为何值时,△HDE 为等腰三角形?
C
(第 20 题)

P E D Q

H

A

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稿



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