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2017届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考试题 数学(理)


衡阳市八中 2017 届高三第四次月考试题卷
理科数学
(考试内容: 集合与简易逻辑、函数、导数、三角函数、向量、复数、数列、不等式、推理与证明)

考生注意:本试卷满分 150 分,考试用时 120 分钟 。
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的)

1.a 为正实数,i 为虚数单位, a + i =2,则 a=( A.2 B. 3 C. 2 ) D.1 )

2.已知集合 M={1,2,3,4},则集合 P={x|x∈M,且 2x?M}的子集的个数为( A.8 B.4 C.3 D.2

3.下列关于命题的说法错误的是( ) 2 A.命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=2”的逆否命题为“若 x≠2,则 x2﹣3x+2≠0” B.“a=3”是“函数 f(x)=logax 在定义域上为增函数”的充分不必要条件 C.若命题 p:?n∈N,3n>100,则¬p:?n∈N,3n≤100 D.命题“?x∈(﹣∞,0) ,3x<5x”是真命题 4.已知数列{an}是等比数列,且 a3=1,a5a6a7=8,则 a9=( ) A.2 B .4 C .6 D.8 5.已知

1 ? cos 2? 1 ? ,则 tan ? ? ( ) sin 2? 2 1 1 A.2 B.3 C. D. 2 3
S3 ? S 2 的值 S5 ? S3

6.已知公差不为 0 的等差数列 ?an ? 满足 a1,a3 ,a4 成等比数列, Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,则 为( )A. ?2 B. ? 3 C.2 D.3

7.已知 sin ? ? 等于

?

2 3 A. ? 5

,则 f ( ) 的值为(

?

3 ? ,且 ? ? ( , ? ) ,函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离 5 2
) C.

4

B. ?

4 5

3 5

D.

4 5
x y ? ? ?2 ( m, n > 0 )也 m n

8.已知函数 f ( x) = loga ( x + 4) - 1 (a > 0, a ? 1) 的图像恒过定点 A,若直线
经过点 A,则 3m+n 的最小值为( A.16 B.8 ) C.

11? 6 6 2

D.14

x 9.已知:函数 f ? x ? ? 2016 ? log 2016

?

x 2 ? 1 ? x ? 2016? x ? 2 ,则关于 x 的不等式 f ? 3x ? 1? ? f ? x ? ? 4 的

?

解集为(

) B. ? ??, ? ?

? 1 ? A. ? ? , ?? ? ? 4 ?

? ?

1? 4?

C. ? 0, ?? ?
-1-

D. ? ??,0 ?

ì y? x ? ? 10.设 m>1,在约束条件 í y ? mx 下,目标函数 z=x+my 的最大值小于 2,则 m 的取值范围为( ? ? ? x+y? 1
A. (1, 1 + 2 ) B. ( 1 + 2 , +? ) C. (1,3) D. (3, +? )



2 ì ? -x x? 0 11.已知函数 f ( x) = í 2 ? ? x + 2 x x<0

则不等式 f ( f ( x)) ? 3的解集为 (

)

A. (-?,1]

B.(-?, 2]

C. (-?, 3]

D.(-?,2]

( x) ,对任意的 x∈R,有 f (- x) + f ( x) = x2 ,且 12.设函数 f ( x ) 在 R 上存在导数 f ?

x ? (0, ? )时,f ? ( x) x .若 f (2 - a) - f (a) ? 2 2a ,则实数 a 的取值范围为(
A. [1, +? ) B. ( - ? ,1]



C. (- ? , 2] D. [2, +? ) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上) 13.已知 a =4, b =2,且 2a + b = 2 13 ,则 a 与 b 的夹角为___________. 14.已知 a, b, c ? R, a 2b + c = 38, 则a2 + 4b2 +9c2 的最小值为___________. 15.在直角坐标系中,已知点 A(2,0)和 B(3,4),若点 C 在 ?AOB 的平分线上,且 OC =5,则

?

?

? ?

?

?

????

???? OC =______________.
16.设函数 f ( x) =

x x ( x > 0) ,观察: f1 ( x) = f ( x) = ; 2x + 2 2x + 2 x f 2 ( x) = f ( f1 ( x)) = ; 6x + 4 x f3 ( x) = f ( f 2 ( x)) = ; 14 x + 8 x f 4 ( x) = f ( f 3 ( x)) = …… 30 x +16


根据以上事实,当 n∈N*时,由归纳推理可得: f n (1) =

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17.(本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) = x - 1 . (1)解不等式 f ( x) + f ( x + 4) ? 8 ; (2) a <1, b <1, 且a ? 0, 求证: f (ab) > a f 琪 琪 .

骣 b a 桫

-2-

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? cos 2 ? x ?

? ?

1 π? ? , g ( x) ? 1 ? 2 sin 2 x . 12 ?

(1)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值. (2)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间.

19.(本题满分 12 分)已知各项都不相等的等差数列{an}的前六项和为 60,且 a1=5. (1)求数列{an}的通项公式 an 及前 n 项和 Sn; (2)若数列 {bn } 满足 bn =

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn; an an +1

(3)请指出当 n 取何值时, Tn 取得最大值,并写出最大值。 (可不写理由! ) n?5

20.( 本 题 满 分 12 分 ) 若 向 量

? ? a ? ( 3 s i? n x , s? in x b ? ),

( ? co xs ? ,s x in , 其 中)ω ? 0 , 记 函 数

? ? 1 16 ? ? 2 f ( x) ? a ? b ? ,若函数 f ( x) 的图像上相邻两个极值点之间的距离是 . 2 2 (1)求 f ( x) 的表达式;
(2)设 ?ABC 三内角 A、B、C 的对应边分别为 a、b、c ,若 a ? b ? 3 , c ? 3 , f (C ) ? 1 ,求 ?ABC 的面积。

21.(本题满分 12 分)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 sn ,且 s4 ? 4s2 , a2n ? 2an ? 1 。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2) 设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn , 且 Tn ?

an ? 1 ? 又令 cn ? b2n (n ? N ) , 求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Rn . ? 3, n 2

-3-

22.(本题满分 12 分)设函数 f ( x) = x 2 - bx +a ln x . (1)若 b = 2 ,函数 f ( x ) 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 < x2 ,求实数 a 的取值范围; (2)在(Ⅰ)的条件下,证明: f ( x2 ) > -

3 + 2 ln 2 ; 4

(3)若对任意实数 b ? [1, 2] ,都存在实数 x ? (1,e) (e 为自然对数的底数) ,使得 f ( x) < 0 成立,求实 数 a 的取值范围.

2017 届高三第四次月考试卷(理科数学)
一、选择题: (共 60 分,每题 5 分)
1.a 为正实数,i 为虚数单位, a + i = 2 ,则 a=( B A.2 B. 3 C. 2 ) D.1

2.已知集合 M={1,2,3,4},则集合 P={x|x∈M,且 2x?M}的子集的个数为( )B A.8 B.4 C.3 D.2

3.下列关于命题的说法错误的是( )D A.命题“若 x2﹣3x+2=0,则 x=2”的逆否命题为“若 x≠2,则 x2﹣3x+2≠0” B.“a=3”是“函数 f(x)=logax 在定义域上为增函数”的充分不必要条件 C.若命题 p:?n∈N,3n>100,则¬p:?n∈N,3n≤100 D.命题“?x∈(﹣∞,0) ,3x<5x”是真命题 4.已知数列{an}是等比数列,且 a3=1,a5a6a7=8,则 a9=( )B A.2 B.4 C .6 D.8

5.已知

1 ? cos 2? 1 ? ,则 tan ? ? ( )A sin 2? 2 1 1 A.2 B.3 C. D. 2 3
S3 ? S 2 的值 S5 ? S3

6.已知公差不为 0 的等差数列 ?an ? 满足 a1,a 3 ,a 4 成等比数列, Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,则 为( )C A. ?2 7.已知 sin ? ?

B. ?3

C.2

D.3

3 ? ,且 ? ? ( , ? ) ,函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离 5 2
-4-

等于

?

2 3 A. ? 5

,则 f ( ) 的值为( )B

?

4

B. ?

4 5

C.

3 5

D.

4 5
x y ? ? ?2 ( m, n ? 0 )也 m n

8、已知函数 y=loga(x+4) -1 (a ? 0, a ? 1) 的图像恒过定点 A,若直线 经过点 A,则 3m+n 的最小值为(B) A、16 B、8 C、
11? 6 6 2

D、14

9、 已知: 函数 f ? x ? ? 2016x ? log2016 的解集为(A) A、 ? ? , ?? ? 9. A
? 1 ? 4 ? ?

?

x 2 ? 1 ? x ? 2016? x ? 2 , 则关于 x 的不等式 f ? 3x ? 1? ? f ? x ? ? 4

?

B、 ? ??, ? ? 4
?

? ?

1?

C、 ? 0, ?? ?

D、 ? ??,0 ?

令 g ( x) ? 2016 x ? log 2016 ( x 2 ? 1 ? x) ? 2016 ? x ,则 f ? 3x ? 1? ? f ? x ? ? 4 等价于

g(3x+1)+g(x) > 0,而显然 g(x)= -g(-x),所以 g(x)为奇函数, 易知 g(x)在定义域内单调递增, g(3x+1)>-g(x), 即 g(3x+1)> g(-x),由奇函数性质 3x+1>-x,x > 1 ? 4

10.设 m>1,在约束条件

下,目标函数 z=x+my 的最大值小于 2,则 m 的取值范围为( A)

A. (1,

) B. (

,+∞)

C. (1,3) D. (3,+∞) 点, 点,取得最大值

10、解:∵m>1 故直线 y=mx 与直线 x+y=1 交于 目标函数 Z=x+my 对应的直线与直线 y=mx 垂直,且在 其关系如下图所示:即 又∵m>1 解得 m∈(1, ,解得 1﹣ )故选:A. <m<

-5-

11.已知函数 f ( x) = í

2 ì ? -x x? 0 2 ? ? x + 2 x x<0

则不等式 f ( f ( x)) ? 3的解集为 ( C

)

A. (-?,1]

B.(-?, 2]

C. (-?, 3]

D.(-?,2]

12.设函数 f(x)在 R 上存在导数 f′(x) ,对任意的 x∈R,有 f(﹣x)+f(x)=x2,且 x∈(0,+∞)时, f′(x)>x.若 f(2﹣a)﹣f(a)≥2﹣2a,则实数 a 的取值范围为(B ) A.[1,+∞) B. C. D.[2,+∞) (﹣∞,1] (﹣∞,2] 解:∵f(﹣x)+f(x)=x2,∴f(x)﹣ x2+f(﹣x)﹣ x2=0, 令 g(x)=f(x)﹣ x2,∵g(﹣x)+g(x)=f(﹣x)﹣ x2+f(x)﹣ x2=0, ∴函数 g(x)为奇函数.∵x∈(0,+∞)时,f′(x)>x. ∴x∈(0,+∞)时,g′(x)=f′(x)﹣x>0,故函数 g(x)在(0,+∞)上是增函数, 故 g(x)在(﹣∞,0)上也是增函数,由 f(0)=0,g(0)=0,可得 g(x)在 R 上是增函数. f(2﹣a)﹣f(a)≥2﹣2a,等价于 f(2﹣a)﹣ 即 g(2﹣a)≥g(a) ,∴2﹣a≥a,解得 a≤1,故选:B. ≥f(a)﹣ ,

二、填空题: (共 20 分,每题 5 分)
13.已知| |=4,| |=2,且|2 + |=2 ,则 与 的夹角为 120°。 14.已知 a, b, c ? R, a 2b + c = 38, 则a2 + 4b2 +9c2 的最小值为___18________. 15.在直角坐标系中,已知点 A(2,0)和 B(3,4),若点 C 在 ?AOB 的平分线上,且 OC =5,则

????

???? OC =____ (2 5, 5) __________

16.设函数 f(x)= f1(x)=f(x)= f2(x)=f(f1(x) )= f3(x)=f(f2(x) )= f4(x)=f(f3(x) )= … ,

(x>0) ,观察:

; .

根据以上事实,当 n∈N*时,由归纳推理可得:fn(1)=

1 (n ? N ) 3?2n - 2



三、解答题: (共 70 分,每题必需写出相应的步骤)
17.已知函数 f(x)=|x﹣1|. (1)解不等式 f(x)+f(x+4)≥8; (2) a < 1,|b|<1,且 a≠0,求证:f(ab)>|a|f(

b ) . a

-6-

解: (1)f(x)+f(x+4)=|x﹣1|+|x+3|=



当 x<﹣3 时,由﹣2x﹣2≥8,解得 x≤﹣5; 当﹣3≤x≤1 时,f(x)≤8 不成立; 当 x>1 时,由 2x+2≥8,解得 x≥3. 所以,不等式 f(x)+f(x+4)≤4 的解集为{x|x≤﹣5,或 x≥3}. (2)f(ab)>|a|f( ) ,即|ab﹣1|>|a﹣b|. 因为|a|<1,|b|<1, 所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=(a2b2﹣2ab+1)﹣(a2﹣2ab+b2)=(a2﹣1) (b2﹣1)>0, 所以|ab﹣1|>|a﹣b|,故所证不等式成立.

18、已知函数 f ( x) ? cos ? x ?
2

? ?

1 π? ? , g ( x) ? 1 ? 2 sin 2 x . 12 ?

(I)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值. (II)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间. 解: (I)由题设知 f ( x) ?

1 π [1 ? cos(2 x ? )] . 2 6

因为 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,所以 2 x0 ?

π ? kπ , 6

π (k ?Z ) . 6 1 1 π 所以 g ( x0 ) ? 1 ? sin 2 x0 ? 1 ? sin( kπ ? ) . 2 2 6
即 2 x0 ? kπ ? 当 k 为偶数时, g ( x0 ) ? 1 ? 当 k 为奇数时, g ( x0 ) ? 1 ? (II) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1 ? π? 1 3 sin ? ? ? ? 1 ? ? , 2 ? 6? 4 4
1 π 1 5 sin ? 1 ? ? . 2 6 4 4

1? π ?? 1 ? 1 ? cos ? 2 x ? ?? ? 1 ? sin 2 x ? 2? 6 ?? 2 ?

?

? 3 1? ? π? ? 3 1? 3 1 cos ? 2 x ? ? ? sin 2 x ? ? ? ? cos2 x ? sin 2 x ? ? ?? 2 2? ? 6? 2 2 ? 2 2? ? ?

1 ? π? 3 ? sin ? 2 x ? ? ? . 2 ? 3? 2
当 2kπ ?

π π π 5π π ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,即 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ( k ? Z )时, 2 3 2 12 12
-7-

函数 h( x) ?

1 ? π? 3 sin ? 2 x ? ? ? 是增函数, 2 ? 3? 2 ? ? 5π π? . ,kπ ? ? ( k ? Z ) 12 12 ?

故函数 h( x) 的单调递增区间是 ? kπ ?

19.(本题满分 12 分)已知各项都不相等的等差数列{an}的前六项和为 60,且 a1=5. (1)求数列{an}的通项公式 an 及前 n 项和 Sn; (2)若数列 {bn } 满足 bn =

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn; an an +1

(3)请指出当 n 取何值时, Tn 取得最大值,并写出最大值。 (可不写理由! ) n?5 解: (1)各项都不相等的等差数列{an}的前六项和为 60,且 a1=5. 所以 60=6×5+ (2)因为 所以 Tn= 所以 (3) 当 n=3 时,取最大值: 3 ,所以 d=2,所以 an=2n+3,Sn=n(n+4) ,所以 = = ,

440
20.( 本 题 满 分 12 分 ) 若 向 量

? ? a ? ( 3 s i? n x , s? i nx b ? ),

(? co xs

? , sx, i n其 中 )ω?0

,记函数

? ? 1 16 ? ? 2 f ( x) ? a ? b ? ,若函数 f ( x) 的图像上相邻两个极值点之间的距离是 . 2 2 (Ⅰ)求 f ( x ) 的表达式; (Ⅱ)设 ?ABC 三内角 A、B、C 的对应边分别为 a、b、c ,若 a ? b ? 3 ,

c ? 3 , f (C ) ? 1 ,求 ?ABC 的面积。

20.解: (Ⅰ)? a ? (

?

? 3sin ? x,sin ? x), b ? (cos ? x,sin ? x)
3 sin ? x cos ? x ? sin 2 ? x ?

? f ( x) ? a ? b ? 1 ?

1 ? ? sin(2? x ? ) 2 2 6 ? 由题意可知其周期为 ? ,故 ? ? 1 ,则 f ( x) ? sin(2 x ? ) 6
(Ⅱ)由 f (C ) ? 1 ,得 sin(2C ?

? ?

) ?1 6 ? ? 11? ? ? ? ∵ 0 ? C ? ? ,∴ ? ? 2C ? ? ,∴ 2C ? ? ,解得 C ? 6 6 6 6 2 3
又∵ a ? b ? 3 , c ? 3 ,由余弦定理得 c = a + b - 2abcos
2 2 2

?

π , 3
1 3 . ab sin C ? 2 2

∴ (a ? b) ? 3ab ? 3 ,即 ab ? 2 ,由面积公式得 ?ABC 面积为
2

-8-

21.(本题满分 12 分)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 sn ,且 s4 ? 4s2 , a2n ? 2an ? 1 。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2) 设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn , 且 Tn ? 解析: (1) an ? 2n ? 1 (2) 先求得当 n ? 2时, bn ? Tn ? Tn ?1 ? 在由错位相减法可的 Rn ?

an ? 1 又令 cn ? b2n (n ? N ? ) , 求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Rn ? 3, 2n

1 3n ? 1 (4 ? n ?1 ) 9 4

n?2 2n ? 2 1 n ?1 , 得c n ? b2 n ? 2 n ?1 ? (n ? 1) ? ( ) n ?1 4 2 2

22.(本题满分 12 分)设函数 f(x)=x2﹣bx+alnx. (Ⅰ)若 b=2,函数 f(x)有两个极值点 x1,x2,且 x1<x2,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,证明:f(x2)>﹣ ;

(Ⅲ)若对任意实数 b∈[1,2],都存在实数 x∈(1,e) (e 为自然对数的底数) ,使得 f(x)<0 成立,求 实数 a 的取值范围. b=2 时, f =x2﹣2x+alnx, f f′ = 解: (Ⅰ) 由已知, (x) (x) 的定义域为 (0, +∞) , 求导数得: (x) ∵f(x)有两个极值点 x1,x2,故方程 f′(x)=0 有两个不同的正根 x1,x2, x1?x2= >0, 故 2x2﹣2x+a=0 的判别式△=4﹣8a>0, 即 a< , 且 x1+x2=1, 所以 a 的取值范围为 (0, ) ; (Ⅱ)由(Ⅰ)得: <x2<1 且 f′(x2)=0,得 a=2x2﹣2 ,∴f(x2)= ﹣2x2+(2x2﹣2 )lnx2, ,

令 F(t)=t2﹣2t+(2t﹣2t2)lnt, ( <t<1) ,则 F′(t)=2(1﹣2t)lnt, 当 t∈( ,1)时,F′(t)>0,∴F(t)在( ,1)上是增函数 ∴F(t)>F( )= ,∴f(x2)>﹣ ;

(Ⅲ)令 g(b)=﹣xb+x2+alnx,b∈[1,2], 由于 x∈(1,e) ,所以 g(b)为关于 b 的递减的一次函数, 根据题意,对任意 b∈[1,2],都存在 x∈(1,e) (e 为自然对数的底数) ,使得 f(x)<0 成立, 则 x∈(1,e)上 g(b)max=g(1)=﹣x+x2+alnx<0 有解, 令 h(x)=﹣x+x2+alnx,则只需存在 x0∈(1,e)使得 h(x0)<0 即可, 由于 h′(x)= ,令 ω(x)=2x2﹣x+a,x∈(1,e) ,ω′(x)=4x﹣1>0,

∴ω(x)在(1,e)上单调递增,∴ω(x)>ω(1)=1+a, ①当 1+a≥0,即 a≥﹣1 时,ω(x)>0,∴h′(x)>0, ∴h(x)在(1,e)上是增函数,∴h(x)>h(1)=0,不符合题意, ②当 1+a<0,即 a<﹣1 时,ω(1)=1+a<0,ω(e)=2e2﹣e+a, (ⅰ)若 ω(e)<0,即 a≤2e2﹣e<﹣1 时,在 x∈(1,e)上 ω(x)>0 恒成立 即 h′(x)<0 恒成立,∴h(x)在(1,e)上单调递减,
-9-

∴存在 x0∈(1,e) ,使得 h(x0)<h(1)=0,符合题意, e ω (ⅱ)若 ( )>0,即 2e2﹣e<a<﹣1 时,在(1,e)上存在实数 m,使得 ω(m)=0, ∴在(1,m)上,ω(x)<0 恒成立,即 h′(x)<0 恒成立 ∴h(x)在(1,e)上单调递减, ∴存在 x0∈(1,e) ,使得 h(x0)<h(1)=0,符合题意, 综上所述,当 a<﹣1 时,对任意 b∈[1,2],都存在 x∈(1,e) ,使得 f(x)<0 成立.

- 10 -


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