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2015年山东省数学奥林匹克


2015 年山东省数学奥林匹克
考试时间:150 分钟 试卷满分:120 分

一、填空题(每小题 8 分,共 40 分)

1 . 方程 x 4 ? x3 ? x 2 ? 4 x ? 20 ? 0 的有理数根是

2.19992015 除以 29 的余数是
3 . 记 [ n] 为不超过 n 的最大整数,则 ?[ i ] ?
i ?1 2015

4 . 将一正方形划分为 20 ? 20 的正方形小格,连接某些正方形小格的对角线,使得任意两条
对角线没有公共顶点,则连接对角线条数的最大值为

5 . 等边三角形 ABC 的边长为 2 ,分别以 A, B, C 为圆心, 2 为半径作三个圆 A, B, C 。圆 A
与圆 B 交于 P ,过 A 作边 BC 的垂线交圆 A 于 G ,以 P 为圆心, PG 为半径作圆交 BC 于 M ,交 AC 于 N ,则 MN ? 二、解答题(每小题 20 分,共 80 分)

6 . 给定素数 p ,数列 {an } 满足 a1 ? p, an ?1 ? [(1 ?
求证: {an } 中有无穷多项与 p 互素。

1 )an ] ,其中 [ x] 为不超过 x 的最大整数。 p

7 . 如图,一圆外接于三角形 ABC , D 为弧 ACB 的中 点, E 为弧 ABC 的中点, F 为弧 AD 上一点, J 为三角形 ABC 的一个旁心。 EF 交 AC 于 H , ED 交 JF 于 G 。延长 EF 交 CD 于 S ,过 J 作 GS 平 行线交 EF 延长线于 K 。求证: SK ? SH . 8 . 设 A ? {a1 , a2 ,?, am} 为正偶数集合,设 B ? {b1 , b2 ,?, bm } 为正
奇数集合,且有

? a ? ?b
i ?1 i

m

k

j ?1

j

? 2015,求 2m ? 3k 的最大值。

9 . 设集合 M ? {1,2,?,36},现将 M 中 n 个元素删去,使得剩余元素中任意两个的和都不
是 2015 的因数,求 n 的最小值。


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