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参数方程与极坐标高考题(4)老师专用


参数方程与极坐标高考题(4)
一、填空题(每题 6 分,12 道题,共计 72 分)
π? ? 1.【2015 高考北京,理 11】在极坐标系中,点 ? 2 ? ? 到直线 ? cos ? ? 3 sin ? ? 6 的距离 3? ?

?

?



. 【答案】1

2.【2015 高考湖北,理 16】在直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系. 已知直线 l 的极坐标方程为 ? (sin ? ? 3cos ? ) ? 0 ,曲线 C 的参数方程为
1 ? x?t? , ? ? t ( 为参数) , l 与 C 相交于 t A B 两点,则 | AB |? .【答案】 2 5 ? ? y ?t ?1 ? t ?

3. 【2015 高考重庆,理 15】已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? ?1 ? t (t 为参数) ,以坐标原 ? y ? 1? t

点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线 C 的极坐标方程为

? 2 cos 2? ? 4( ? ? 0,

3? 5? ?? ? ) ,则直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标为_______. (2, ? ) 4 4

4. 【 2015 高考广东,理 14 】 ( 坐标系与参数方程选做题 ) 已知直线 l 的极坐标方程为

π 2 ? sin(? ? ) ? 2 ,点 A 的极坐标为 4
案】

7? ? A ? 2 2, 4 ?

? ? ,则点 A 到直线 l 的距离为.【答 ?

5 2 . 2

5.【2015 高考安徽,理 12】在极坐标中,圆 ? ? 8sin ? 上的点到直线 ? ? 的最大值是.【答案】 6 6.已知圆 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 2 2 ? sin(? ? 【答案】 6 7.点 P 的直角坐标为(- 2, 2),那么它的极坐标可表示为________. 3π? 解析 直接利用极坐标与直角坐标的互化公式.答案 ? ? 2, 4 ?

?
3

( ? ? R) 距离

?
4

) ? 4 ? 0 ,则圆 C 的半径为.

8.若曲线的极坐标方程为 ρ=2sin θ+4cos θ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立直角 坐标系,则该曲线的直角坐标方程为________.

1

解析 ∵ρ=2sin θ+4cos θ,∴ρ2=2ρsin θ+4ρcos θ. ∴x2+y2=2y+4x,即 x2+y2-2y-4x=0. 9.(2011· 西安五校一模)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线 ρ=2sin θ 与 ρcos θ=-1 的交 点的极坐标为________. 解析 ρ=2sin θ 的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0,ρcos θ=-1 的直角坐标方程为 x=-1,
?x2+y2-2y=0, ?x=-1, ? ? 联立方程,得? 解得? 即两曲线的交点为(-1,1),又 0≤θ<2π, ? ? ?x=-1, ?y=1,

3π? 因此这两条曲线的交点的极坐标为? ? 2, 4 ?. π? 10.在极坐标系中,直线 l 的方程为 ρsin θ=3,则点? ?2,6?到直线 l 的距离为________. π? 解析 ∵直线 l 的极坐标方程可化为 y=3,点? ?2,6?化为直角坐标为( 3,1), π? ∴点? ?2,6?到直线 l 的距离为 2. π? 11.(2011· 广州调研)在极坐标系中,直线 ρsin? ?θ+4?=2 被圆 ρ=4 截得的弦长为________. π? 2 2 解析 由 ρsin? ?θ+4?=2,得 2 (ρsin θ+ρcos θ)=2 可化为 x+y-2 2=0.圆 ρ=4 可化为 x +y2=16,由圆中的弦长公式得:2 r2-d2=2 42-?

?2 2?2 ? =4 3. ? 2?

π π 2, ?,直线 l 过点 A 且与极轴所成的角为 , 12. (2011· 广州测试(二))设点 A 的极坐标为? ? 6? 3 则直线 l 的极坐标方程为________________. [审题视点] 先求直角坐标系下的直线方程再转化极坐标方程. π? 【解析】∵点 A 的极坐标为? ?2,6?,∴点 A 的平面直角坐标为( 3,1),又∵直线 l 过点 A π π 且与极轴所成的角为 ,∴直线 l 的方程为 y-1=(x- 3)tan ,即 3x-y-2=0,∴直线 3 3 π? ?π ? l 的极坐标方程为 3ρcos θ-ρsin θ-2=0,可整理为 ρcos? ?θ+6?=1 或 ρsin?3-θ?=1 或 4π? ρsin? ?θ- 3 ?=1. π? ?π ? ? 4π? 答案 ρcos? ?θ+6?=1 或 3ρcos θ-ρsin θ-2=0 或 ρsin?3-θ?=1 或 ρsin?θ- 3 ?=1. 二、解答题(每题 13 分,6 道题,共计 78 分,第一问 5 分,第二问 8 分) 13.【2015 高考新课标 2,理 23】选修 4-4:坐标系与参数方程,在直角坐标系 xoy 中,曲

2

线 C1 : ?

? x ? t cos ? , ( t 为参数, t ? 0 ) ,其中 0 ? ? ? ? ,在以 O 为极点, x 轴正半轴为 ? y ? t sin ? ,

极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2sin ? ,曲线 C3 : ? ? 2 3 cos ? . (Ⅰ).求 C2 与 C1 交点的直角坐标; (Ⅱ).若 C2 与 C1 相交于点 A , C3 与 C1 相交于点 B ,求 AB 的最大值. 【答案】 (Ⅰ) (0, 0) 和 (

3 3 (Ⅱ) 4 . , ); 2 2

(Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? ? ( ? ? R, ? ? 0) ,其中 0 ? ? ? ? .因此 A 得到极坐 标 为 (2sin ? , ? ) , B 的 极 坐 标 为 (2 3 cos ? , ? ) . 所 以 AB ? 2sin ? ? 2 3 cos ?

5? ? 时, AB 取得最大值,最大值为 4 . ? 4 s in(? ? ) ,当 ? ? 6 3
14.【2015 高考陕西,理 23】选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? x ? 3 ? t ? 2 ? 在直角坐标系 x?y 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) .以原点为极点, ?y ? 3 t ? ? 2

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, ? C 的极坐标方程为 ? ? 2 3 sin ? .
(I)写出 ? C 的直角坐标方程; (II) ? 为直线 l 上一动点,当 ? 到圆心 C 的距离最小时,求 ? 的直角坐标. 【答案】 (I) x ? y ? 3
2

?

?

2

? 3; (II) ? 3, 0 ? .

15.【2015 高考新课标 1,理 23】选修 4-4:坐标系与参数方程
3

在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 :

x = ? 2,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点为极
2 2

点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求 C1 , C2 的极坐标方程; ( Ⅱ ) 若 直 线 C3 的 极 坐 标 方 程 为 ? ?

?
4

? ? ? R ? , 设 C2 与 C3 的 交 点 为 M

, N ,求

? C2 MN 的面积.
【答案】 (Ⅰ) ? cos ? ? ?2 , ? ? 2 ? cos ? ? 4 ? sin ? ? 4 ? 0 (Ⅱ)
2

1 2

【解析】

试题分析: (Ⅰ)用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得 C1 , C2 的极坐标方程; (Ⅱ) 将将 ? =

?
4

代入 ? ? 2 ? cos ? ? 4 ? sin ? ? 4 ? 0 即可求出|MN|,利用三角形面积公式即可
2

求出 ? C2 MN 的面积.

? 3 x ? 5? t ? ? 2 16.已知直线 l : ? ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立 ?y ? 3 ? 1 t ? ? 2
极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? . (1) 将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2) 设点 M 的直角坐标为 (5, 3) ,直线 l 与曲线 C 的交点为 A , B ,求

| MA | ? | MB | 的值.
【答案】 (1) x ? y ? 2 x ? 0 ; (2) 18 .
2 2

4

的两个实数根分别为 t1 , t 2 ,则由参数 t 的几何意义即知, |MA| ?|MB| ? |t1t 2| ? 18 . 17.在极坐标中,已知圆 C 经过点 P 点,求圆 C 的极坐标方程.

?

2,

? ?? 3 ? ,圆心为直线 ? sin ? ? ? ? ? ? 与极轴的交 4 3? 2 ?

?

?? 3 ? 【解析】∵圆 C 圆心为直线 ? sin ? ? ? ? ? ? 与极轴的交点, 3? 2 ? ?? 3 ? ∴在 ? sin ? ? ? ? ? ? 中令 ? =0 ,得 ? ? 1 。 3? 2 ?
∴圆 C 的圆心坐标为(1,0) 。 ∵圆 C 经过点 P

?

2,

? ,∴圆 C 的半径为 PC ? 4

?

? 2?

2

? 12 ? 2 ? 1? 2 cos

?
4

=1 。

∴圆 C 经过极点。∴圆 C 的极坐标方程为 ? =2cos? 。 18、 (2010 辽宁理数)已知 P 为半圆 C: ?

? x ? cos ? ( ? 为参数, 0 ? ? ? ? )上的点, ? y ? sin ?

AP 的长度 点 A 的坐标为(1,0) ,O 为坐标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧 ?
均为

? 。 3

(I)以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (II)求直线 AM 的参数方程。 解: (Ⅰ)由已知,M 点的极角为 故点 M 的极坐标为(

? ? ,且 M 点的极径等于 , 3 3
……5 分

? ? , ). 3 3

5

(Ⅱ)M 点的直角坐标为(

?
6

,

3? ) ,A(0,1) ,故直线 AM 的参数方程为 6

? ? x ? 1 ? ( ? 1)t ? 6 ? (t 为参数) ? ? y ? 3? t ? 6 ?

……10 分

? 2 t, ?x ? 3 ? ? 2 19、 (2010 福建理数)在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? (t 为 2 ?y ? 5 ? t ? ? 2
参数) 。在极坐标系(与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴 正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? 。 (Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为 (3, 5) ,求|PA|+|PB|。 【解析】 (Ⅰ)由 ? ? 2 5 sin ? 得 x ? y ? 2 5 y ? 0, 即 x ? ( y ? 5) ? 5.
2 2 2 2

(Ⅱ)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 (3 ?
2

2 2 2 2 t) ? ( t) ? 5 , 2 2

即 t ? 3 2t ? 4 ? 0, 由于 ? ? (3 2) ? 4 ? 4 ? 2 ? 0 ,故可设 t1 , t 2 是上述方程的两实根,
2

所以 ?

? ?t1 ? t2 ? 3 2 , 又直线l过点P(3, 5), 故由上式及 t 的几何意义得: t t ? 4 ? ?12

|PA|+|PB|= | t1|+|t 2 | = t1 +t 2 = 3 2 。

6


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