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第四讲 高三文数 椭圆标准方程7.27


椭圆的标准方程
一、椭圆的标准方程:
定 义 |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)

y
图 形

M F1

F 2

M

o

F2

x

o
F1<

br />
x

方 焦

程 点

x2 y2 ? ? 1 ?a ? b ? 0 ? a2 b2

y2 x2 ? ? 1 ?a ? b ? 0? a 2 b2

F(±c,0) c2=a2-b2

F(0,±c)

a,b,c 之间的 关系

二、典型例题及解题方法: 基础练习

1.椭圆的两个焦点分别是(-8,0)和(8,0) ,且椭圆上一点到两个焦点距离之和为 20,则此 椭圆的标准方程为( ) . A.

x2 y 2 x2 y2 x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 B. ? ? 1 D. ? ?1 ? ? 1 C. 20 12 100 36 36 100 400 36

2.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦距是 2,则 m 的值为( ) . m 4
B. 8 C. 5 D. 16

A. 5 或3

1

3.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点坐标为( ) . 16 25

(A)(0, ±3) (B)(±3, 0) (C)(0, ±5) (D)(±4, 0) 4.已知焦点坐标为(0, -4), (0, 4),且 a=6 的椭圆方程是( ) . (A)

x2 y 2 ? ?1 36 20

(B)

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 (C) ? ?1 20 36 36 16
2 2

(D)

x2 y 2 ? ?1 16 36

5.过点(3, -2)且与椭圆 4x +9y =36 有相同焦点的椭圆的方程是( ) . (A)

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ?1 ? ? 1 (B) ? ? 1 (C) ? ? 1 (D) ? 25 10 15 10 5 10 10 15
2 2

6.椭圆 5x +ky =5 的一个焦点是(0,2) ,那么 k 等于( A.-1 B.1 C.

) D. -

5

5


7.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦距是 16 9

,焦点坐标为

8.焦点为(0,4)和(0,-4) ,且过点 ( 5, ?3 3) 的椭圆方程是



提高练习:
1.椭圆 A. 5

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到一个焦点的距离为 5,则 P 到另一个焦点的距离为( 25 9
B. 6 C. 4 D. 10 ) .

) .

x2 y 2 ? ? 1 上任一点 P 到两个焦点的距离的和为( 2.椭圆 13 12
A.26 B. 24 C . 2

D. 2 13

3.已知 F1 , F2 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 M, N 两点,则 ?MNF2 25 9

周长( ) . A.10 B.16 C.20 D.32 4.椭圆的两个焦点分别是(-8,0)和(8,0) ,且椭圆上一点到两个焦点距离之和为 20,则此 椭圆的标准方程为( ) . A.

x2 y 2 x2 y2 x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 B. ? ? 1 D. ? ?1 ? ? 1 C. 20 12 100 36 36 100 400 36

2

5.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦距是 2,则 m 的值为( m 4

) .

A. 5 或3 B. 8 C. 5 D. 16 6.若点 M 到两定点 F1(0,-1) ,F2(0,1)的距离之和为 2,则点 M 的轨迹是 (



A .椭圆

B .直线 F1 F2

C .线段 F1 F2

D .线段 F1 F2 的中垂线.


7. 设 F1 , F2 为定点, | F1 F2 |=6, 动点 M 满足 | MF1 | ? | MF2 |? 6 , 则动点 M 的轨迹是 ( A.椭圆
2 2

B.直线

C.圆

D. .

8.方程 4x +ky =1 的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆,则 k 的范围是 9.椭圆 mx +ny =-mn(m<n<0)的焦点是 2 2 10.过点(3, -2)且与椭圆 4x +9y =36 有相同焦点的椭圆的方程是 (A)
2 2

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ?1 ? ? 1 (B) ? ? 1 (C) ? ? 1 (D) ? 25 10 15 10 5 10 10 15

11.已知圆 A : ?x ? 3?2 ? y 2 ? 100,圆 A 内一定点 B (3,0) ,圆 P 过点 B 且与圆 A 内切, 求圆心 P 的轨迹方程.

12.⊿ABC 的三条边 a,b,c 成等差数列且满足 a>b>c,A,C 两点的坐标分别是(-1,0),(1,0).求 顶点 B 的轨迹。

13. 已知 B,C 是两个定点,|BC|=6,且 ?ABC 的周长等于 16,求顶点 A 的轨迹方程

王新敞
奎屯

新疆

x2 ? y 2 ? 1 上的动点,求 AQ 中点 M 的轨迹方 14. 已知 x 轴上的一定点 A(1,0) ,Q 为椭圆 4

王新敞
奎屯 新疆

3

15.已知定圆 x 2 ? y ? 6x ? 55 ? 0 ,动圆 M 和已知圆内切且过点 P(-3,0),求圆心 M 的轨 迹及其方程
王新敞
奎屯 新疆

16. 已知 A,B 是两定点,且 AB=2,动点 M 到点 A 的距离是 4,线段 MB 的中垂线交 MA 于 P 点,求当 M 变化时动点 P 的轨迹方程。

2 2 17. 动圆 C 和定圆 A ? X ? 3? ? Y ? 64 内切,而和定圆 B ? X ? 3? ? Y ? 4 外切,求动圆圆 2 2

心的轨迹方程。

18. 椭圆的两焦点为 F1(-4, 0), F2(4, 0),点 P 在椭圆上,已知△PF1F2 的面积的最大值为 12,求这椭圆方程。

19.已知椭圆的焦点是 F1 (?1,0), F2 (1,0) ,P为椭圆上一点,且| F1 F2 |是| PF 1 |和|

PF2 |的等差中项,求椭圆的方程;

20.点 P(x,y)在椭圆 4( x ? 2) ? y ? 4 上,求
2 2

y 的最大值。 x

4

2 2 21 化简方程: x ? ( y ? 3) ?
王新敞
奎屯 新疆

x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 10

王新敞
奎屯

新疆

22. 已知椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过两点 A( 6 ,1)B( ? 3, ? 2 ) , 求椭圆方程。

23.中心为原点,一个焦点为 F(0, 5 2 ) ,截直线 y=3x-2 所得弦中点横坐标为 圆方程。

1 的椭 2

2 2 24. 已知椭圆 x ? y ? 1 ?a ? b ? 0? , P 为其上任一点,?F1PF2 = ? ,求三角形 F1PF2 的面 2 2

a

b

积。

25. 点 P 是椭圆 求点 P 的坐标.

x2 y 2 ? ? 1 上一点,以点 P 以及焦点 F1,F2 为顶点的三角形的面积等于 1, 5 4

5


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