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【山东省2013年高考数学预测试题2


【KS5U】数学 2013 高考预测题 2
说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22 题为选考 题,其它题为必考题。考生作答时,将答案写在答题卡上,在本试卷上答题无效.全卷满分 150 分,答题时间为 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项

中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1、 已知集合 A ? x x ? a , B ? x 1 ? x ? 2 , 且 A ? (CR B) ? R , 则实数 a 的取值范围是 ( A. a ? 1 B. a ? 1 C. a ? 2 D. a ? 2 ) D.

?

?

?

?



2 2、若 z ? cos ? ? i sin ? ( i 为虚数单位) ,则使 z ? ?1 的 ? 值可能是(

A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

? 2

3、 f ( x), g ( x) 是定义在 R 上的函数, h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则“ f ( x), g ( x) 均为偶函数”是 “ h( x) 为偶函数”的( A.充要条件 C.必要不充分的条件 ) B.充分不必要的条件 D.既不充分也不必要的条件

4 、已知 x ? 0, y ? 0, x, a, b, y 成等差数列, x, c, d , y 成等比数列,则 ( ) A.0 B.1
2

( a ? b) 2 的最小值是 cd

C .2 )

D.4

5、函数 f ( x) ? ln(4 ? 3x ? x ) 的单调递减区间是( A. ? ? ? , ? 2

? ?

3? ?

B. ? ,?? ?
2

?3 ?2

? ?

C. ? ? 1, ? 2

? ?

3? ?

D. ? ,4 ?

?3 ?2

? ?

6.设函数 f ( x) ? g ( x) ? x ,曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,则曲 线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处切线的斜率为( A. ? ) C.4 D. ?

1 4

B.2

1 2


7.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于(

A.6

B.2

C. 2 3

D. 3

8.由函数 y ? cos x,(0 ? x ? 2? )的图象与直线x ? ? 及y ? 1 的图象所围成的一个封闭图形的面 积是( A.4 ) B.

3 2

3? ?1 2

C.

? ?1 2

D. 2?

9.若直线 2ax-by+2=0 (a >0, b>0)被圆 x2+y2+2x-4y+1=0 截得的弦长为 4,则 小值( A. )

1 1 ? 的最 a b

1 2

B.

1 4
2

C.2 )

D.4

10.当 0<x< A.2

1 ? cos 2 x ? 8sin x ? 时,函数 f(x)= 的最小值为( 2 sin 2 x
B.2 3
2

C.4
2

D.4 3 )

11.已知 ? 1 ? a ? 1,?1 ? b ? 1, 则关于 x 的方程 x ? ax ? b ? 0 有实根的概率是( A.

1 4

B.

1 2

C.

1 8

D.

1 10

12.已知函数 f(x)= ax2+bx-1(a,b∈ R 且 a>0)有两个零点,其中一个零点在区间(1,2) 内,则 a ? b 的取值范围为( A. (-1,1) ) C. (-∞,1) D. (-1,+∞)

B. (-∞,-1)

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。请把答案填在答题卡上。 13、已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图,如图所示,则该截 面的面积是

14、如图所示,A、B、C、D 是海上的四个小岛,要建三座桥 ,将这四个岛连接起来,不同 的建桥方案共有 种

15.阅读下面的程序框图,则输出的 S =



16 .正三棱锥 P - ABC 高为 2 ,侧棱与底面所成角为 45 °,则点 A 到侧面 PBC 的距离 是 .

三、解答题:本大题共 8 小题,其中 17~21 小题为必做题,22~24 小题为选做题,共 70 分。 17、 设数列 ?a n ?为各项均为 1 的无穷数列, 若在数列 ?a n ?的首项 a1 后面插入 1, 隔 2 项, 即 a3 后面插入 2,再隔 3 项,即 a 6 后面插入 3,??这样得到一个新数列 ?bn ?,则数列 ?bn ?的前 2010 项的和为 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18、已知向量 m ? ( 3 sin

x x x ,1), n ? (cos , cos 2 ) 4 4 4 2? ? x) 的值. (1)若 m ? n ? 1,求 cos( 3
( 2 ) 记 f ( x) ? m ? n, 在 △ ABC 中 , 角 A,B,C 的 对 边 分 别 是 a , b, c 且 满 足

(2a ? c) cos B ? b cosC ,求函数 f ( A) 的取值范围
19、已知数列 ?a n ?、 ?bn ?满足: a1 ?

bn 1 , an ? bn ? 1, bn?1 ? 2 4 1 ? an

(1)求 b1 , b2 , b3 , b4 的值,并求数列 ?bn ?的通项公式 (2)设 Sn ? a1a2 ? a2 a3 ? a3a4 ? ? ? an an?1 ,求实数 a 为何值时, 4aSn ? bn 恒成立. 20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 3 x? ?1 . 4 4x

(Ⅰ )求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ ) 设 g ( x) ? ? x 2 ? 2bx ? 4 , 若对任意 x1 ? (0 , 2) ,x2 ? ?1 , 2? , 不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒 成立,求实数 b 的取值范围. 21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率等于

2 5 ,它的一个顶点恰好是抛物线 5

y?

1 2 x 的焦点, 4

(Ⅰ )求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ ) 过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A、 B 两点, 交 y 轴于 M 点, 若 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,

求证:?1 ? ?2 为定值.
22.选考题:(本小题满分 10 分。请在下列 A、B、C 三题中任选一题作答,请用 2B 铅笔在答 题卡上 A、B、C 的相应选项上先填涂再作答,若不填涂所选题的选项字母,所做题不给分) A. 【选修 4-1:几何证明选讲】 如图, ?ABC 是内接于⊙ O, AB ? AC ,直线 MN 切⊙ O 于点 C ,弦 BD // MN , AC 与

BD 相交于点 E .
(I)求证: ?ABE ? ?ACD ;

(Ⅱ )若 AB ? 6, BC ? 4 ,求 AE 。

B. 【选修 4—4:坐标系与参数方程】以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴, 已知点 P 的直角坐标为 (1, ?5) ,点 M 的极坐标为 (4, 圆 C 以 M 为圆心、 4 为半径。 (I)写出直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ )试判定直线 l 和圆 C 的位置关系。 C. 【选修 4—5:不等式选讲】 设函数 f ( x) ?| x ? 4 | ? | x ? a | (a >1) ,且 f ( x) 的最小值为 3 , 若 f ( x) ? 5 ,求 x 的取值范围。

?
2

) ,若直线 l 过点 P ,且倾斜角为

? , 3

参考答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1-12 CDBDD CABDC AD

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13、

9 2

14、16

15.30

16.

6 5 5

三、解答题(本大题共 8 小题,共 70 分) 20.解: (I) f ( x) ? ln x ?

1 3 x? ? 1 的定义域是 (0 , ? ?) 4 4x

. . . . . . .1 分

f ?( x) ?

1 1 3 4x ? x 2 ? 3 ? ? 2 ? x 4 4x 4x 2

. . . . . . . . . . . . . . . 2分

由 x ? 0 及 f ?( x) ? 0 得 1 ? x ? 3 ;由 x ? 0 及 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 或 x ? 3 , 故函数 f ( x) 的单调递增区间是 (1 , 3) ;单调递减区间是 (0 , 1) , (3 , ? ?) (II)若对任意 x1 ? (0 , 2) , x2 ? ?1 , 2? ,不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立, 问题等价于 f ( x) min ? g ( x) max , . . . . . . . . .5 分 . . . . . . . .4 分

由(I)可知,在 (0 , 2) 上, x ? 1 是函数极小值点,这个极小值是唯一的极值点, 故也是最小值点,所以 f ( x) min ? f (1) ? ?

1 ; 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分

g( x) ? ?x2 ? 2bx ? 4 , x ? ?1, 2?
当 b ? 1 时, g ( x)max ? g (1) ? 2b ? 5 ; 当 1 ? b ? 2 时, g ( x)max ? g (b) ? b2 ? 4 ; 当 b ? 2 时, g ( x)max ? g (2) ? 4b ? 8 ; . . . . . . . . . . . .8 分

?1 ? b ? 2 ?b ? 2 ?b ? 1 ? ? 问题等价于 ? 1 或? 1 或? ? 1 2 ? ?b ?4 ? ? 4b ? 8 ? ? 2b ? 5 ? ? ? ? 2 ? 2 ? 2
解得 b ? 1 或 1 ? b ?

. . . . . . . .11 分

14 或 b?? 2
. . . . . . . . . . . . . . . . .12 分

即b ?

? 14 14 ? ,所以实数 b 的取值范围是 ? ?? , ? ? 2 2 ? ?
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a2 b2
所以由题意知 b = 1.

21.解: (I)设椭圆 C 的方程为 因为抛物线 y ?

1 2 x 的焦点坐标是 (0,1) 4

2 2 又有 a ? b ? 2 5 . 2 a 5

即 1?

1 2 5 ? . 2 a 5

? a 2 ? 5.

∴ 椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 5

…………………………………………4 分

(II)方法一:设 A、B、M 点的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M (0, y0 ). 易知右焦点 F 的坐标为(2,0) .

MA ? ?1 AF,

?( x1, y1 ? y0 ) ? ?1 (2 ? x1, ? y1 ). 即x1 ?

y 2?1 , y1 ? 0 . 1 ? ?1 1 ? ?1

……6 分

y 2? 将 A 点坐标代入到椭圆方程中,得 1 ( 1 ) 2 ? ( 0 ) 2 ? 1. 5 1 ? ?1 1 ? ?1
2 2 去分母整理得 ?1 ? 10?1 ? 5 ? 5 y0 ? 0.

………………………………………9 分

2 同理,由MB ? ?2 BF可得 : ?22 ?10?2 ? 5 ? 5 y0 ? 0.
2 ??1 , ?2是方程x2 ? 10x ? 5 ? 5 y0 ? 0的两个根, ? ?1 ? ?2 ? ?10.

…………12 分

方法二: 设 A、B、M 点的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M (0, y0 ). 又易知 F 点的坐标为(2,0) . 显然直线 l 存在的斜率,设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程是 y ? k ( x ? 2). 将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中,消去 y 并整理得

(1 ? 5k 2 ) x 2 ? 20k 2 x ? 20k 2 ? 5 ? 0.
? x1 ? x 2 ? 20k 2 20k 2 ? 5 , x x ? . 1 2 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2

………………………………8 分

? MA ? ?1 AF, MB ? ?2 BF, 将各点坐标代入得 ?1 ? ??1 ? ?2 ?

x1 x2 , ?2 ? . 2 ? x1 2 ? x2

x1 x2 2( x1 ? x 2 ) ? 2 x1 x2 ? ? ? ? ? ?10. ……………………12 分 2 ? x1 2 ? x 2 4 ? 2( x1 ? x2 ) ? x1 x 2

22.A.解:(Ⅰ )在 ΔABE 和 ΔACD 中,

AB ? AC ∵

∠ ABE=∠ ACD

………2 分

又∠ BAE=∠ EDC ∵ BD//MN ∴ ∠ EDC=∠ DCN

∵ 直线是圆的切线,∴ ∠ DCN=∠ CAD ∴ ∠ BAE=∠ CAD ∴ Δ ABE ? Δ ACD (角、边、角) (Ⅱ )∵ ∠ EBC=∠ BCM ∠ BCM=∠ BDC ∴ ∠ EBC=∠ BDC=∠ BAC BC=CD=4 又∠ BEC=∠ BAC+∠ ABE=∠ EBC+∠ ABE=∠ ABC=∠ ACB ∴ BC=BE=4 设 AE= x ,易证 ΔABE∽ ΔDEC ……………………8 分 ………5 分

?

DE DC 4 2 ? ? ? DE ? x 又 AE ? EC ? BE ? ED x AB 6 3 2 4 ? x ? x (6 ? x ) 3 10 x? …………………………10 分 3

EC ? 6 ? x

1 ? x ? 1 ? t, ? 2 ? B.解(Ⅰ )直线 l 的参数方程是 ? , ( t 为参数) ? y ? ?5 ? 3 t ? ? 2
圆 C 的极坐标方程是 ? ? 8sin ? 。 ………………5 分

(Ⅱ )圆心的直角坐标是 (0, 4) ,直线 l 的普通方程是 3x ? y ? 5 ? 3 ? 0 , 圆心到直线的距离 d ?

0?4?5? 3 3 ?1

?

9? 3 ? 4 ,所以直线 l 和圆 C 相离。……10 分 2
………………3 分

C.解:因为 | x ? 4 | ? | x ? a |? ( x ? 4) ? ( x ? a) ? a ? 4 , 所以 a ? 4 ? 3 ,即 a ? 7或a ? 1 由 a >1 知 a ? 7 ; 解不等式 x ? 4 ? x ? 7 ? 5 得

………………5 分 ………………6 分

3 ? x ? 8.

………………10 分


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