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北京市朝阳区2011届高三第一学期期末考试(数学文)


北京市朝阳区 2010~2011 学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学试卷(文科)
(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

2011.1

第一部分(选择题 共 40 分)
注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己

的姓名、考试科目涂写在答题卡上。考试结束时,将试 题卷和答题卡一并交回。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号,不能答在试题卷上。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.设全集 U ? R , A ? x x ? x ? 2 ? ? 0 , B ? x x ? 1 ? 0 ,则 A I B = (A) (?2, 1) (B) [1, 2) (C) (?2, 1] (D) (1, 2)

?

?

?

?

2.已知圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 8 ? 0 ,那么下列直线中经过圆心的直线方程为 (A) 2 x ? y ? 1 ? 0 (C) 2 x ? y ? 1 ? 0 (B) 2 x ? y ? 1 ? 0 (D) 2 x ? y ? 1 ? 0

3.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a2 ? a4 ? 6 ,则 S5 等于 (A)10 (B)12 (C)15 (D) 30

4.若 0 ? m ? n ,则下列结论正确的是 (A) 2 ? 2
m n

(C) log2 m ? log2 n 5.要得到函数 y ? sin(2 x ?

1 m 1 n 2 2 (D) log 1 m ? log 1 n
(B) ( ) ? ( )
2 2

?
4

) 的图象,只要将函数 y ? sin 2 x 的图象

? 单位 4 ? (C)向右平移 单位 8
(A)向左平移

? 单位 4 ? (D)向左平移 单位 8
(B)向右平移

6.关于直线 l , m 及平面 ? , ? ,下列命题中正确的是

(A)若 l // ? , ? I ? ? m ,则 l // m ; (B)若 l // ? , m // ? ,则 l // m ; (C)若 l ? ? , l // ? ,则 ? ? ? ; (D)若 l // ? , m ? l ,则 m ? ? .

7.设椭圆的两个焦点分别为 F , F2 ,过 F2 作椭圆长轴的垂线与椭圆相交,其中的一个交 1 点为 P ,若△ F PF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是 1 (A) 2 ? 1

(B)

2 ?1 2

(C) 2 2

(D)

2 2
C1

8.如图,正方体 ABCD - A B1C1D1 中, E , F 1 分别为棱 AB , CC1 的中点,在平面 ADD1 A 1 内且与平面 D1EF 平行的直线 (A)有无数条 (C)有 1 条 (B)有 2 条 (D)不存在 A1

D1

B1

F

D A E B

C

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上.

3 , x ? ?? ,2? ? ,则 tan x ? 5 10.经过点 (?2, 3) 且与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 垂直的直线方程为
9.已知 cos x ? 11.一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图与侧视图 都是边长为 2 的正三角形,俯视图半径为 1 的圆,则这个 几何体的体积为 .



? x ? y ≤ 1, ? 12. 设 x , y 满足约束条件 ? y ≤ x, 则 z ? 2 x ? y 的最 ? y ≥ 0, ?
大值为 .
?

正视图

侧视图

俯视图 .

13.平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , a = (2, 0) , | b |= 1 ,则 | a + 2b | =

14.按下列程序框图运算:
开始 输入 x

若 x ? 5 ,则运算进行

次才停止;

若运算进行 3 次才停止,则 x 的取值范围 是
是 输出 x

x ? 3x ? 2 x ? 244 ?




结束

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 3sin x cos x ? cos2 x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)当 x ? [0,

?
2

] 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值及相应的 x 的值.

16. (本小题满分 13 分) 如图,已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 底面 ABC , AC ? BC ? 2 , AA ? 4 , 1

AB ? 2 2 , M , N 分别是棱 CC1 , AB 中点.
(Ⅰ)求证: CN ? 平面 ABB1 A ; 1 (Ⅱ)求证: CN // 平面 AMB1 ; A1 M

C1

B1

C (Ⅲ)求三棱锥 B1 ? AMN 的体积. A 17. (本小题满分 13 分)
3 2 已知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d 的图象过点 P(0, 2) , 且在点 M (?1, f (?1)) 处的切

N

B

线方程为 6 x ? y ? 7 ? 0 . (Ⅰ)求函数 y ? f (x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 y ? f (x) 的单调区间.

18. (本小题满分 13 分) 已知点 M (4, 0) , N (1, 0) ,若动点 P 满足 MN ? MP ? 6 | PN | . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设过点 N 的直线 l 交轨迹 C 于 A , B 两点,若 ? 的斜率的取值范围.

???? ???? ?

??? ?

? ? 18 ??? ??? 12 ≤ NA ? NB ≤ ? ,求直线 l 7 5

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 ( a, b 为实数, a ? 0 , x ? R ) . (Ⅰ)当函数 f ( x ) 的图像过点 (?1, 0) ,且方程 f ( x) ? 0 有且只有一个根,求 f ( x ) 的表达 式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,当 x???2, 2? 时, g ( x) ? f ( x) ? kx 是单调函数,求实数 k 的 取值范围; (Ⅲ)若 F ( x) ? ?

? f ( x) x ? 0, 当 mn ? 0 , m ? n ? 0 , a ? 0 ,且函数 f ( x ) 为偶函数 ?? f ( x) x ? 0,

时,试判断 F (m) ? F (n) 能否大于 0 ?

20. (本小题满分 14 分) 已知点 P (an , bn ) ( n ? N )满足 an?1 ? anbn?1 , bn ?1 ? n
?

bn ,且点 P 的坐标为 1 2 1 ? 4an

(1, ? 1).
(Ⅰ)求经过点 P , P 的直线 l 的方程; 1 2 (Ⅱ) 已知点 P (an , bn ) ( n ? N )在 P , P 两点确定的直线 l 上,求证:数列{ n 1 2
?

1 }是 an

等差数列. (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求对于所有 n ? N ,能使不等式 (1 ? a1 )(1 ? a2 )?(1 ? an ) ≥
?

k

1 成立的最大实数 k 的值. b2b3 ??? bn ?1

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数学试卷(文科)参考答案
一.选择题: 题号 答案 二.填空题: 题号 答案 9 10 11 12 2 13 14 4, (10, 28] 1 D 2 B 3 C 4 D 5 C 6 C 7 A 8 A

?

4 3

x ? 2y ?8 ? 0

3 ? 3

2 3

三.解答题: 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? 所以 T ?

? 1 3 1 1 sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin(2 x ? ) ? , 6 2 2 2 2

………… 4 分

2? ? ? ,故 f ( x) 的最小正周期为 ? . 2 ? ? ? 5? (Ⅱ)因为 0 ≤ x ≤ , 所以 ? ≤ 2 x ? ≤ . 2 6 6 6 ? ? ? 1 所以当 2 x ? ? ,即 x ? 时, f (x) 有最大值 . 6 2 3 2
当 2x ?

…………………… 7 分 ……………………9 分 ………………11 分 ………………13 分

?

6

??

?

6

,即 x ? 0 时, f (x) 有最小值 ?1 .

16. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:因为三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 底面 ABC 又因为 CN ? 平面 ABC , 所以 AA1 ? CN . ………………………………… 1 分

因为 AC ? BC ? 2 , N 是 AB 中点, 所以 CN ? AB . …………………………………………………… 2 分 因为 AA1 I AB ? A , 所以 CN ? 平面 ABB1 A . 1 ……………………………………………………… 3 分 ……………………………………………………… 4 分 C1

(Ⅱ)证明:取 AB1 的中点 G ,连结 MG , NG , 因为 N , G 分别是棱 AB , AB1 中点, A1 M C G B1

1 BB1 . 2 1 又因为 CM // BB1 , CM ? BB1 , 2
所以 NG // BB1 , NG ?

A

N

B

所以 CM // NG , CM ? NG . 所以四边形 CNGM 是平行四边形. ………………………………………… 6 分 所以 CN // MG . …………………………………………………………… 7 分 因为 CN ? 平面 AMB1 , GM ? 平面 AMB1 , 所以 CN// 平面 AMB1 . …………………………… 8 分

……………………………………………………… 9 分 …………………………………………… 10 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 GM ? 平面 AB1 N . 所以 VB1 ? AMN ? VM ? AB1N ? 17. (本小题满分 13 分)

1 1 2 4 ? ? ? 4? 2 ? . 3 2 2 3

………………………… 13 分

解: (Ⅰ)由 f (x) 的图象经过 P(0, 2) ,知 d ? 2 , 所以 f ( x) ? x ? bx ? cx ? 2 .
3 2

……………………………1 分

所以 f ?( x) ? 3x ? 2bx ? c .
2

…………………………………………………3 分

由在 M (?1, f (?1)) 处的切线方程是 6 x ? y ? 7 ? 0 ,

(? 知 ?6 ? f (?1) ? 7 ? 0 ,即 f (?1) ? 1 , f ′ 1) ? 6 .
所以 ?

………………………5 分

?3 ? 2b ? c ? 6, ?2b ? c ? 3, 即? 解得 b ? c ? ?3 . ??1 ? b ? c ? 2 ? 1. ?b ? c ? 0.
3 2

…………… 6 分

故所求的解析式是 f ( x) ? x ? 3x ? 3x ? 2 .
2 (Ⅱ)因为 f ?( x) ? 3x ? 6 x ? 3 ,

………………………………7 分

…………………………………………………8 分

令 3x ? 6 x ? 3 ? 0 ,即 x ? 2 x ? 1 ? 0 ,
2 2

解得 x1 ? 1 ? 2 , x2 ? 1 ? 2 .

……………………………………………10 分 …………………………………11 分

当 x ? 1 ? 2 或 x ? 1 ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,

当 1 ? 2 ? x ? 1 ? 2 时, f ?( x) ? 0 , …………………………………………12 分 故 f ( x) ? x ? 3x ? 3x ? 2 在 (??, 1 ? 2) 内是增函数,在 (1 ? 2, 1 ? 2) 内是减函
3 2

数,在 (1 ? 2 ,??) 内是增函数. 18. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设动点 P( x, y) ,

…………………………………………………13 分

则 MP ? ( x ? 4, y) , MN ? (?3, 0) , PN ? (1 ? x, ? y) .
2 2 由已知得 ? 3( x ? 4) ? 6 (1 ? x) ? ( ? y ) ,

????

???? ?

??? ?

…………………2 分

化简得 3x ? 4 y ? 12 ,得
2 2

x2 y 2 ? ? 1. 4 3 x2 y2 ? ? 1. 4 3
………………………6 分

所以点 P 的轨迹 C 是椭圆, C 的方程为 (Ⅱ)由题意知,直线 l 的斜率必存在,

不妨设过 N 的直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 设 A , B 两点的坐标分别为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .

? y ? k ( x ? 1), ? 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 消去 y 得 (4k ? 3) x ? 8k x ? 4k ?12 ? 0 . ?1 ? ? 3 ?4
因为 N 在椭圆内,所以 ? ? 0 .

………………8 分

? 8k 2 x1 ? x2 ? , ? ? 3 ? 4k 2 所以 ? ………………………………………………………10 分 2 ? x x ? 4k ? 12 . ? 1 2 3 ? 4k 2 ? ??? ??? ? ? 因为 NA ? NB ? ( x1 ?1)( x2 ?1) ? y1 y2 ? (1 ? k 2 )( x1 ?1)( x2 ?1)

? (1 ? k 2 )[x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1]
4k 2 ? 12 ? 8k 2 ? 3 ? 4k 2 ? 9(1 ? k 2 ) ? (1 ? k ) ? , …………12 分 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
2

所以 ?

18 ?9(1 ? k 2 ) 12 2 ≤ ≤? . 解得 1 ≤ k ≤ 3 . 2 7 3 ? 4k 5
…………………………………………13 分

所以 ? 3 ≤ k ≤ ?1 或 1 ≤ k ≤ 3 . 19. (本小题满分 14 分)

解: (Ⅰ)因为 f (?1) ? 0 ,所以 a ? b ? 1 ? 0 .

……………………………………1 分
2

因为方程 f ( x) ? 0 有且只有一个根,所以 ? ? b ? 4a ? 0 . 所以 b ? 4(b ?1) ? 0 .
2

即b ? 2 , a ? 1.

…………………………………3 分

所以 f ( x) ? ( x ? 1)2 .

……………………………………………………………4 分

(Ⅱ )因为 g ( x) ? f ( x) ? kx ? x2 ? 2x ? 1 ? kx ? x2 ? (k ? 2) x ? 1 = (x ? 所以当

k ?2 2 (k ? 2) 2 ) ?1? . 2 4

………………… 6 分

k ?2 k ?2 ≥2或 ≤ ?2 时, 2 2

即 k ≥ 6 或 k ≤ ?2 时, g ( x) 是单调函数. …………………………………… 9 分 (Ⅲ f ( x ) 为偶函数,所以 b ? 0 . 所以 f ( x) ? ax 2 ? 1 . )

?ax 2 ? 1 x ? 0, ? 所以 F ( x) ? ? 2 ??ax ? 1 x ? 0. ?

………………………………………………10 分

因为 mn ? 0 ,不妨设 m ? 0 ,则 n ? 0 . 又因为 m ? n ? 0 ,所以 m ? ?n ? 0 . 所以 m ? ?n . …………………………………………………………………12 分

此时 F (m) ? F (n) ? f (m) ? f (n) ? am2 ? 1 ? an2 ?1 ? a(m2 ? n2 ) ? 0 . 所以 F (m) ? F (n) ? 0 . 20. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)因为 b2 ? …………………………………………… 14 分

1 1 1 b1 1 ? ,所以 a2 ? a1b2 ? . 所以 P2 ( , ) . ……… 1 分 2 3 3 3 3 1 ? 4a1
………………………… 2 分

所以过点 P , P 的直线 l 的方程为 2 x ? y ? 1 . 1 2

(Ⅱ)因为 P (an , bn ) 在直线 l 上,所以 2an ? bn ? 1 . 所以 bn?1 ? 1 ? 2an?1 . …… 3 分 n 由 an?1 ? anbn?1 ,得 an?1 ? an (1 ? 2an?1 ) . 即 an?1 ? an ? 2an an?1 . 所以

1 1 1 ? ? 2 . 所以 { } 是公差为 2 的等差数列. an?1 an an 1 1 ? ? 2(n ? 1) . an a1

………………… 5 分

(Ⅲ )由(Ⅱ)得

所以

1 ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 . an

所以 an ?

1 . 2n ? 1

…………………………………………………………… 7 分

所以 bn ? 1 ? 2an ?

2n ? 3 . 2n ? 1

……………………………………………… 8 分

依题意 k ≤ (1 ? a1 )(1 ? a2 )?(1 ? an ) b2b3 ??? bn?1 恒成立. 设 F (n) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )?(1 ? an ) b2b3 ??? bn?1 , 所以只需求满足 k ≤ F (n) 的 F ( n) 的最小值. ………………………………… 10 分

因为

F (n ? 1) (1 ? a1 )(1 ? a2 )? (1 ? an )(1 ? an ?1 ) b2b3 ??? bn ? 2 ? F ( n) (1 ? a1 )(1 ? a2 )? (1 ? an ) b2b3 ??? bn ?1
= (1 ? an ?1 ) bn ? 2 ?
2 2n ? 2 4n ? 8n ? 4 = ? 1, 4n2 ? 8n ? 3 2n ? 1 2 n ? 3

所以 F ( n) ( x ? N )为增函数. 所以 F (n)min ? F (1) ?

?

……………………………………… 12 分

2 2 3 . ? 3 3
……………………………………… 14 分

所以 k ≤

2 3 2 3 . 所以 kmax ? . 3 3


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