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3.2-1,2,3 直线的方程


如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距 相等”,“截距互为相反数”,“截距的绝 对值相等”,“在一个轴上的截距是另一个 轴上的截距的几倍”条件时,采用截距式求 直线方程,要注意考虑“零截距”的情况, 不要将其遗漏。 练习2.求过点P(4,-3) ,且在两坐标轴上的截距的
绝对值相等的直线 l 的方程. x+y-1=0或x-y-7=0 或3x+4y=0

例4.已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交 点为P(2,3),求过两点Q1(a1,b1), Q2(a2,b2)的直线 方程.2x+3y+1=0

斜率问题 例1.设直线 l 的方程为 x+ycosθ+3=0(θ∈R),则直线 l 的倾斜角α 的取值范围是( ). C ? ? ) (A) [0,? ) (B) [ 4 , 2
(C) [ , ] 4 4

? 3?

? ? 3? (D) [ ? , )?( , ] 4 2 2 4

例2.求直线l : x ? sin ? ? 3 y ? 1 ? 0的 纵截距和倾斜角的取值范围.
? 5? 3 ; ? ? [0, ] ? [ ,? ) 6 6 3

例3.如果直线l沿x轴负方向平移3个单位, 再沿y轴正方向平移1个单位后, 又回到原 来的位置, 那么l的斜率是 ( A )
1 (A) ? 3

(B) -3

1 (C) 3

(D) 3

三角形中的直线问题 例1.已知△ABC中,A(-8,2),AB边上的中 线CE所在直线方程为x+2y-5=0, AC边上 的中线BD所在直线方程为2x-5y+8=0,求 直线BC的方程.
4x-y-20=0

例2.△ABC中,A(-1,5),B(0,-1),∠C的平分 线所在直线方程为2x-3y+6=0,求三角形 的AB边和BC边所在直线的方程. l AB : 6 x ? y ? 1 ? 0
lBC :12 x ? 31y ? 31 ? 0
例3.△ABC的顶点A的坐标为(1,4), ∠ B,∠C的平分线的方程分别为x-2y=0和x+y1=0,求BC边所在直线的方程. 4x+17y+12=0

与直线在坐标轴上的截距有关的问题
(1)与坐标轴围成的三角形的周长为 a ? b ? a 2 ? b 2 .

1 (2)直线与坐标轴围成的三角形的面积为 ab . 2 (3)若直线在坐标轴上的截距相等,即a ? b, 则k ? ?1
或直线过原点.
例1.已知直线 l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴 分别交于A、B两点 , O为坐标原点. (1)求△AOB面积的最小值及此时直线 l 的方程; (S△AOB)min=12, 此时l: 2x+3y-12=0

例1.已知直线 l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正 半轴分别交于A、B两点 , O为坐标原点. (2)求直线l 在两坐标轴上截距之和的最小值 及此时直线 l 的方程;
(a ? b)min ? 5 ? 2 6, 此时l : 6 x ? 3 y ? 6 ? 3 6 ? 0

(3)求 PA ? PB 的最小值及此时l的方程.
( PA ? PB ) min ? 12, 此时l : x ? y ? 5 ? 0

练习.过点P(2,1)作直线 l,与x轴、y轴正半轴分 别交于A、B两点 , O为坐标原点,求 (1)△OAB面积的最小值及此时直线 l 的方程; (2)求直线l 的两坐标轴上截距之和的最小值 及此时直线 l 的方程;

(3)求 PA ? PB 的最小值及此时l的方程.
(1)(S△AOB)min=4, 此时l: x+2y-4=0
(2)(a ? b) min ? 3 ? 2 2, 此时l : x ? 2 y ? 2 ? 2 ? 0

(3)( PA ? PB ) min ? 4, 此时l : x ? y ? 3 ? 0

练习.直线 l 过点P(6,4),与x轴正半轴交于A,与 y轴的正半轴交于B , O为坐标原点. (1)当△OAB的面积S为最小值时,求直线 l 的 方程; 2x+3y-24=0 (2)设M是AB上一点,且直线OM的斜率为4,当 △OAM的面积S/为最小值时,求点M的坐标. M(2,8)

练习 : 1、直线l经过点P(3,2), 倾斜角 是直线x ? 4 y ? 3 ? 0的倾斜角的2倍, 则直线 l的方程是 ________; 2、已知直线l经过点P (?2,3)且与两坐标 围成的三角形面积为4, 则直线l的方程是 _;
分析: l : y ? 3 3 ? 2)令x ? 0 1 ? k( x 1, y ? 2k ? 3 3 3 y ? 0, x ? ?2 ? ,? ) ? ?8;4k 2 ? 4 k 4( 2k ? 3)( 2 ? 4k

分析 :? y ? x ? ? tan ? ? , k ? tan 2? ? , ? 8 x ? 15 y ? 6 ? 0 15 9x ? 2 y ? 12 ? 0;
1 2

20k 8 ? 9 ? 0; k ? ?

或k ? ?

9 2

, x ? 2y ? 4 ? 0

练习1.求直线Ax-2y-1=0和直线6x-4y+C=0平 行的条件. A=3且C≠-2

练习2.求与直线2x+3y+5=0平行,且在两坐标 5 轴上截距之和为 的直线l的方程. 6 2x+3y-1=0 练习3.求平行于直线3x-8y+25=0且在y轴上的 截距为-2的直线方程. 3x-8y-16=0

6.已知?ABC的顶点A(1,3), B(?2, ?3), C (4, 0), 若直线l平行于BC边上的高, 且被?ABC的边 1 截得的线段长为此高的 , 求直线l的方程. y A(1,3) 提示 : 设l ? BC于Q, 与AB相交于P. 3
BP 1 1 ? ? ? ,? ? . AD BA 3 PA 2 ??? ? 1 ? P分 BA所成的比? ? .? 可求出 2 1 P (?1, ?1), H (3,1).? kl ? ? ? ?2, k BC ? 直线l的方程为 2 x ? y ? 3 ? 0或2 x ? y ? 7 ? 0. PQ BP

l o
P Q B(-2,-3)

H C(4,0) D l

x

练3.(1)点A(1,1), B (2,6).若点P在 x轴上, 当 | AP | ? | BP | 最小时, 则P的坐标是 _____;当 | BP | ? | AP | 最大时 点P的坐标是 ______; (2)函数y ? x ? 4 x ? 5 ? x ? 4 x ? 8
2 2

的最小值是 ________;

分析:: AB 找点 轴的对称点 (), 1当 , ?1 分析 : A关于 ? x即 y ? 6 ? 5( x A ?2 y), ?0 则,BA : 设? 即y ? 6 ? ,7 (x 2), ?0 时 则x ? P为x轴上一点 有 |? AP |当 ? |y BP | 时 则x ?点 ? |, A | ? | BP |?| A ?| , AB |,? A B,P P ! | 三点共线时候满足题意 AC |?| CB |? B 5|
/ 8 C ( 2,2) ? | 7AB | ? /

/ y?6 x?2 2 2 分析 : y ? 1?( 2 6x ? 1? 2) ? ( 0 ? 1) ? y ?6 / x?2 2 4 2 1? 6 (0 ? 1? 2 ( x ? 2)?5 ? 2) 设点A( x ,0), B( ?2,?1),


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