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平面与平面垂直的判定(1)


平面与平面垂直的判定 1. 二面角 1) 一般地,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二 面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。 2) 二面角的范围是 [0?, 180? ] 。 3) 二面角的平面角:一般地,以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂 直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 4) 二面角的平面角必须具备的三个条件: ①角的顶点在二面角的棱上; ②角的两边分别在二面角的两个半平面内; ③角的两边分别与二面角的棱垂直。 5) 二面角的平面角的三种常用作法: ① 定义法:在二面角的棱上找一点,在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射 线。 ② 垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面形成的交 线,这两条射线(交线)所成的角,即为二面角的平面角。 ③ 垂线法:利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角,是 最常用的一种方法,如图,由一个半平面内不在棱上的点 A 向另一个半平面作垂直线 AB ,垂足为 B ,由点 B 向二 面角的棱作垂线 BO ,垂足为 O ,连接 AO ,则 ?AOB 为 二面角的平面角。 注: (1)二面角的平面角的顶点时二面角棱上任意一点。为便于解决问题,可以把其平 面角的顶点放在某一特殊位置,这要具体问题具体分析。 (2) 二面角的平面角是在两个半平面内分别垂直于棱的两条射线所成的角, 而不是 两条直线所称的角。 2. 两平面的垂直 1) 一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相 垂直。 2) 两平面垂直的判定 ① 定义法:证明两个平面所成的二面角是直二面角; ② 判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。

面面垂直的判定 1.如图, AD 是 ?ABC 边 BC 上的高, E 是 AD 上的点,

1 ED ,过点 E 作直线 MN // BC ,交 AB,AC 于 2 点 M , N ,将 ?AMN 沿 MN 折起到 A? MN ,使二面角
且 AE ?

A? ? MN ? C 为 60? .求证:平面 A?MN ? 平面 A?BC .

2. 如图, ?ABC 为正三角形, EC ? 平面 ABC , BD // CE ,且 CE ? CA ? 2 BD , M 是 EA 的中点,求证: (1) DE ? DA ; (2)平面 BDM ? 平面 ECA ; (3)平面 DEA ? 平面 ECA 。

3. 如图, AB ? 平面 ? , AC ? ? ? C , CD ? ? , CD ? AC . 求证:平面 ABC ? 平面 ADC


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