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江西省上高二中2011届高三上学期第三次月考(数学文)word版


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2011 届高三年级第三次月考 数学试卷
一、选择题(10×5=50 分) 1、 sin( ?3300 ) 的值为( A. ) C.

1 2

B.-

1 2

3 2

D.-

3 2

2、若 sin θ = A.一

3 4 , cos θ = ? ,则 2θ 所在象限是( ) 5 5
B.二 C.三 D.四 y
3 2

3、如图中的图象所表示的函数的解析式为( )

3 | x ? 1| (0 ≤ x ≤ 2) 2 3 3 B. y = ? | x ? 1| (0 ≤ x ≤ 2) 2 2 3 C. y = ? | x ? 1| (0 ≤ x ≤ 2) 2
A. y = D. y = 1? | x ? 1| (0 ≤ x ≤ 2)

x y 2 1 0 1 2 x

4、函数 y = f ( x) 图象如图所示,则函数 y = log 1 f ( x)
2

图象大致是( ) y 2 1 0 1 2 x 2 1 0 1 2 x y 2 1 0 1 2 x y 2 1 0 y

1

2

x

3π 2 5、函数 f ( x) = ln ? 的零点一定位于区间( ) 2 x
A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) ) 6、直线 y = x + 1与曲线y = ln( x + a ) 相切,则 a 的值为( A.1 7、已知 y = B.2 C.-1 D.-2

A

B

C

D

D. (4,5)

1 sin 2 x + sin x, 则y ' 是( ) 2
B.既有最大值又有最小值的偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数

A.仅有最小值的奇函数 C.仅有最大值的偶函数

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8、函数 f ( x) = ax + x + 1 有极值的充要条件是( )
3

A. a > 0
3

B. a ≥ 0
2

C. a < 0

D. a ≤ 0

9、函数 f ( x ) = ax ? 6ax + b 在[-1,2]上最大值为 3,最小值为-29(a>0) ,则( ) A.a=2,b=-29 10、函数 f ( x ) = ln x ? A. (?1, +∞) C. (-1,0] 二、填空题(6×4=24 分) 11、设 a = log 1 , b = log 1 , c = ( ) , 则a, b, c 大小关系为
2 3 0.3 3 3

B.a-3, b=2

C.a=2, b=3

D.以上都不对

1 2 ax ? 2 x 存在单调递减区间,则 a 的取值范围是( ) 2
B.[0,1) D. ( ?∞, +∞ )

1 2



12、若 f ( x ) =

4x 在(m, 2m + 1) 上是增函数,则实数 m 的取值范围 x +1
2

13、曲线 y = x 2 ? x + 1 上一点 P 处切线斜率 k ∈ [?1,3] ,则点 P 纵坐标取值范围是 14、已知 sin x + cos x =



1 π (? < x < 0), 则 sin x ? cos x 的值为 5 2


15、函数 f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a < 0)满足f (1 ? x) = f (1 + x ) ,则 f (2 x )与f (3x ) 的大小关系为 16、设函数 f ( x ) 的定义域为 D,若对于任意的 x1 ∈ D ,存在唯一的 x2 ∈ D ,使

f ( x1 ) + f ( x2 ) = c(c 2

为常数)成立,则称函数 f ( x ) 在 D 上的均值为 c,给出下列四个函数:① y = x 2 ② y = 4sin x ③ y = lg x ④ y = 2 x ,则满足其定义域上均值为 2 的所有函数的序号为 。

2011 届高三年级第三次月考数学试卷答题卡

座 位 号

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一、选择题 题号 答案 二、填空题 11、 14、 三、解答题(76 分) 17、 (12 分)设函数 f ( x) = ax + bx + 3a + b 的图象关于 y 轴对称,且定义域为 [ a ? 1, 2a ], 求f ( x) 的
2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12、 15、

13、 16、

值域。

18、 (12 分)已知 cos( x ?

π
4

)=

2 π 3π ( < x < )。 10 2 4

求下列各式的值: (1)sin x;

(2) sin(2 x + ) 。 3

π

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19、 (12 分)对定义在[0, 1]上并且满足下列两个条件的函数 f ( x ) 称为 G 函数。①对任意的

x ∈ [0,1]总有f ( x) ≥ 0 , ② x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1 + x2 ≤ 1时总有f ( x1 + x2 ) ≥ f ( x1 ) + f ( x2 ) 成 立 。 已 知
g ( x) = x 2和h( x) = 2 x ? m 是定义在[0, 1]上的函数。 (1)问 g ( x) 是否为 G 函数,说明理由; (2)若 h( x) 是 G 函数,求实数 m 取值的范围。

20、 (12 分)ΔABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,且 cos A = (1)求 cos (
2

B+C 3 ) + cos 2 A 的值; (2)若 a = 2, c = , 求∠C 及ΔABC 的面积。 2 2

1 。 3

2 21、 (14 分)设函数 f ( x ) = (1 + x ) ? 2 ln(1 + x ) 。

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(1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)若 x ∈ [ ? 1, e ? 1]时, 其中(e ≈ 2.71828) ,不等式 f ( x ) < m 恒成立,求实数 m 的取值范围;

1 e 2 (3)若方程 f ( x) = x + x + a 在区间[0, 2] 恰有两个不等实根,求 a 的取值范围。

22 、( 14 分 ) 在 R 上 定 义 运 算 ⊕ : p ⊕ q = ? ( p ? c)( q ? b) + 4bc(b, c为常实数) , 记

1 3

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f1 ( x) = x ? 2c, f 2 ( x) = x ? 2b( x ∈ R ) , f ( x) = f1 ( x) ⊕ f 2 ( x) 4 (1)若 f ( x ) 在 x=1 处有极值 ? ,求 b, c 的值; 3 (2)求曲线 y = f ( x) 上斜率为 c 的切线与该曲线的公共点;
2

(3)记 g ( x ) =| f '( x ) | (?1 ≤ x ≤ 1) 的最大值为 M,若 M ≥ k 对任意 b, c 恒成立,求 k 的最大值。

2011 届高三年级第三次月考数学试卷
1—5:A D B C A 6—10:B B C C A

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3 7 11. a < c < b 12. (?1, 0] 13. [ , 3] 14. ? 15. f (2 x ) ≥ f (3x ) 16、③ 4 5 1 1 2 17、解:依题意求得 a = , b = 0 ? f ( x ) = x + 1,∴ f ( x)值域为[1, +∞ ) 3 3 π π π 2 π 2 18、 (1) sin x = sin[( x ? ) + ] = sin( x ? ) ? + cos( x ? ) ? 4 4 4 2 4 2 2 π 2 = [sin( x ? ) + ] 2 4 10 π π π π 3π ∵ <x< ? < x? < 2 4 4 4 2 π π 2 7 2 ∴ sin( x ? ) = 1 ? cos 2 ( x ? ) = 1 ? = 4 4 100 10

2 8 2 4 ? = 2 10 5 4 π 3π 3 (2) ∵ sin x = ( < x < ),∴ cos x = ? 5 2 4 5 4 3 24 16 7 ∴ sin x = 2 × × (? ) = ? , cos 2 x = 1 ? sin 2 x = 1 ? 2 × = ? 5 5 25 25 25 π 24 3 7 24 + 7 3 1 3 1 × =? ∴ sin(2 x + ) = sin 2 x + cos 2 x = × (? ) ? 25 2 25 50 3 2 2 2 19、 (1) g ( x ) 是 G 函数,满足①②条件 ∴ sin x =
x x ∴ (2) h( x ) = 2 ? m ≥ 0, ? m ≤ 2 , x ∈ [0,1]恒成立, m ≤ 1

由h( x1 ) + h( x2 ) ≥ h( x1 + x2 ) ? m ≥ 1 ? (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1) ∵ x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1 + x2 ≤ 1且x1,x2不同时为1. ∴ 0 ≤ (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1) ≤ 1 ? 0 < 1 ? (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1) ≤ 1 ? m ≥ 1 从而m = 1, 故m取值范围为{1} 20.(1)原式 = 1 + cos( B + C ) 1 ? cos A 4 + 2 cos 2 A ? 1 = + 2 cos 2 A ? 1 = ? 2 2 9

1 2 2 a c 2 (2) ∵ cos A = (0 < A < π ) ? sin A = , 又∵ = ? sin C = 3 3 sin A sin C 2 π π 4+ 2 ∴ a > c ? ∠C = , 又 ∵ sin B = sin( A + C ) = sin( A + ) = 4 4 6 ∴ S ?ABC = 1 4+ 2 ac sin B = 2 4 2 x( x + 2) 21、 (1) ∵ f '( x ) = ( x > ?1), 令f '( x) ≥ 0 ? x ≥ 0 x +1 令f '( x) ≤ 0 ? ?1 < x ≤ 0

∴ f ( x)增区间为[0, +∞), 减区间为(?1, 0]

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1 (2)令f '( x) = 0 ? x = 0,∈ [ ? 1, e ? 1] e 1 由(1)可知f ( x)在[ ? 1, 0]上 ↓, 在[0, e ? 1]上 ↑ e 1 1 f ( ? 1) = 2 + 2, f (e ? 1) = e 2 ? 2, f (0) = 1 e e ∴ f ( x)max = f (e ? 1) = e 2 ? 2,∴ m > e 2 ? 2时, 不等式f ( x) < m恒成立
(3)方程f ( x) = x 2 + x + a, 即x + 1 ? 2 ln(1 + x) = a x ?1 设g ( x) = x + 1 ? 2 ln(1 + x), 则g '( x) = x +1 可知g ( x)在[0,1]上 ↓, 在[1, 2]上 ↑ ∵ g (0) = 1, g (1) = 2 ? 2 ln 2, g (2) = 3 ? 2 ln 3 ∴ g (0) > g (2) > g (1),∴当a ∈ (2 ? 2 ln 2, 3 ? 2 ln 3]时, 方程f ( x) = x 2 + x + a有两个不等实根.
22、 (1) ∵ f ( x ) = f1 ( x ) ⊕ f 2 ( x ) = ? ( f1 ( x ) ? c )( f 2 ( x ) ? b) + 4bc

1 3

1 = ? x3 + bx 2 + cx + bc 3 ? f '(1) = 0 ?b = 1 ?b = ?1 ? ∴ f '( x) = ? x 2 + 2bx + c,由 ? 或? 4?? ? f (1) = ? 3 ?c = ?1 ?c = 3 ? 经检验 : b = 1, c = ?1时, f '( x) = ?( x ? 1)2 ≤ 0无极值,∴ b = ?1, c = 2

(2) ∵ f '( x) = ? x 2 + 2bx + c,∴? x 2 + 2bx + c = c,∴ x = 0或x = 2b 1)若x = 0 ? 切点(0, bc), 切线方程为y = cx + bc ? y = cx + bc ? 由? ? 公共点为(0, bc), (3b, 4bc) 1 3 2 ? y = ? 3 x + bx + cx + bc ?
2) 若 x = 2 b ? 切 点 (2 b , 4 3 b + 3bc ) 3

4 4 切 线 方 程 为 y ? ( b 3 + 3bc ) = c ( x ? 2 b ), 即 y = cx + bc + b 3 , 3 3 4 3 ? ? y = cx + bc + 3 b 4 4 ? 由? ? 公 共 点 为 (2 b , b 3 + 3bc ), ( ? b , b 3 ) 1 3 3 3 ? y = ? x + bx 2 + cx + bc ? 3 ? ∴ b = 0时 , 切 线 与 曲 线 公 共 点 只 有 一 个 (0, 0) b ≠ 0时 , 切 线 与 曲 线 公 共 点 有 两 个 , 分 别 为 (0, bc ) 和 (3b , 4 bc ) 4 4 或 (2 b , b 3 + 3bc ) 和 ( ? b , b 3 ) 3 3

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(3) ∵ g ( x) =| f '( x) |=|1 ? ( x ? b) + b + c |
2 2

1)当 | b |> 1时, y = f '( x)对称轴位于区间[?1,1]之外 ∴ f '( x)在[?1,1]端点处取最值,∴ M = max{g (1), g (?1)} ∴ 2 M ≥ g (1) + g (?1) =| ?1 + 2b + c | + | ?1 ? 2b + c | ≥| (?1 + 2b + c) ? (?1 ? 2b + c) |= 4 | b |> 4.∴ M > 2
2)当 | b |≤ 1时 , y = f '( x ) 对 称 轴 位 于 区 间[ ? 1,1]内 M = m ax{ g (1), g ( ? 1), g ( b )} ∴ 4 M ≥ g ( ? 1) + g (1) = 2 g ( b ) = | ? 1 ? 2 b + c | + | ? 1 + 2 b + c | + 2 | b 2 + c | ≥ | ( ? 1 ? 2 b + c ) + ( ? 1 + 2 b + c ) ? 2( b 2 + c ) |= | 2 b 2 + 2 |≥ 2 ∴M ≥ 1 1 1 , 综 上 , M ≥ , 故 M ≥ k 对 任 意 的 b , c 恒 成 立 , k的 最 大 值 为 2 2 2


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