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2013年江苏省高中数学优秀课评比教案——直线与平面垂直的判定教案


课题:直线与平面垂直的判定(一)
授课教师:江苏省宿迁中学 张明星 教材:苏教版·必修二 教学目标 1.通过对图片、实例的观察,抽象概括出直线与平面垂直的定义,能正确理解 直线与平面垂直的定义,并能简单的运用定义。 2.通过类比联想,直观感知,操作确认,归纳出直线与平面垂直判定的定理, 并能运用判定定理证明一些的简单命题。 3.让学生亲身经历数学研究的过程,体验探索的乐趣,增强学习数学的兴趣, 培养主动探究的习惯,并渗透事物间相互转化和理论联系实际的辨证唯物主义观 点. 教学重点、难点 教学重点:操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。 教学难点:操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。 教学方法与教学手段 教学方法:启发式与实验探究式相结合 教学手段:计算机、多媒体课件、三角形卡纸 教学过程 一、直线与平面垂直定义的构建 1、创设情境——感知概念 复习直线与平面的三种位置关系,指出已经系统学习过直线与平面平行的定 义、判定定理和性质定理后,进一步提出问题:你认为直线与平面相交中哪种情况 最特殊?最值得研究?展示几幅生活中常见的图片,让学生指出其中给人以“直线 与平面垂直” 形象的部分, 从中抽取出直线与平面垂直的几何图形, 进而引出课题: 直线与平面垂直. 设计意图:从数学知识内部发展和生活应用两个角度让学生认识到研究“直线 与平面垂直”的必要性.并通过抽象的三部曲:实物 模型 空间直观图,抽象出

直线与平面垂直的几何图形,让学生直观感知直线与平面垂直的位置关系,使学生 头脑中产生直线与平面垂直的初步印象. 2、观察归纳——形成概念

从陀螺中抽象出圆锥模型,学生通过旋转纸片,感受圆锥的形成过程,并思 考: 问题 1:旋转轴与底面内哪些直线垂直?(教师播放动画) 并追问为什么?进而归纳出直线与平面垂直的定义. 设计意图:在具体的情境中,让学生感知直线与平面垂直的本质属性,体会到 定义的合理性. 3、讨论辨析——深化概念 引导学生用数学符号将定义表示出来,接着提出问题: (1)如果将定义中的 “任意一条直线”改成“无数条直线” ,结论还成立吗?(2)若 l⊥α ,m ? α ,则 l⊥m 成立吗? 设计意图:通过对两个问题的讨论辨析,让学生加深对概念的理解,并让学生 体会到通过定义可以实现“线线垂直”与“线面垂直”的相互转化. 二、直线与平面垂直判定定理的构建 1、类比联想——提出问题 根据线面平行的判定定理进行类比,通过不断的猜想和分析,最终提出问题: 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么该直线与此平面垂直吗? 设计意图:从学生的已有知识出发,类比联想,符合学生的认知规律,使学 生的思维顺畅,并激发学生进一步探究的欲望. 2、动手实验——提出猜想 演示实验过程:先将三角形纸片折叠一次,再将纸片略打开放置于桌面上, 使折痕与桌面相交. 思考: (1)折痕与桌面一定垂直吗? (2)如何折叠才能使折痕与桌面所在的平面垂直? 学生解释,并给出不同的折法. 问题 2:这两种不同的折法有何共同特点?你有何猜想?

A

猜想:若一条直线和平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面

设计意图:一方面让学生从另一个角度来理解定义——只要直线 l 与平面 α 内 有一条直线不垂直,那么直线 l 就与平面 α 不垂直;另一方面让学生通过讨论不同 折法的共同特点,直观感知并归纳猜想出直线与平面垂直的判定定理. 3、合作探究——形成定理 问题 3:为什么折痕能与桌面所在的平面垂直? 学生讨论探究,以折痕 AD 为轴转动纸片,来说明 AD 与平面 α 内过 D 点的所 有直线都垂直,平面 α 内不过 D 点的直线,可以通过平移经过 D 点,说明它们与 AD 都垂直,符合直线与平面垂直的定义,验证了猜想的正确性(辅以动画演示) , 得出直线与平面垂直的判定定理. 直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则 该直线与此平面垂直. 让学生用图形语言表示判定定理并辨析: 直线 l 是否必须经过经过直线 m 与直 线 n 的交点 O?

符号语言: l ? m , l ? n , m ? ? , n ? ? , m ? n ? O ? l ? ? . 设计意图:让学生通过动手操作,经历观察、归纳、猜想及验证的探究过程, 增强学生的学习兴趣,提高学生的抽象概括能力,培养学生严谨细致的作风 在理解直线与平面垂直的判定定理时,强调“两条”“相交”缺一不可.指出 、 要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线 与已知直线垂直. 三、初步应用——深化认识 1. 图形感知——提出命题 从图中可以看出边 AB 与折痕平行,边 AB 是否也与平面 ? 垂直?

本题可以使用直线与平面垂直的定义来证明, 也可以使用直线与平面垂直的判 定定理来证明,让学生展现其解决问题的思路,并通过学生的交流,完善并规范解 题过程的书写. 设计意图:一方面让学生学会使用定义和判定定理,让他们掌握分析此类问题 的方法和步骤,另一方面让学生学会思考,增强其逻辑推理能力,并给学生更多的 发展机会. 问题 4:判定直线与平面垂直有哪些方法? 学生总结出利用定义和定理两种方法. 设计意图:让学生在头脑中初步形成将线面垂直转化为线线垂直的意识,为下 面的应用打下铺垫. 请学生用文字语言将例题表述出来——如果两条平行线中的一条直线与一个 平面垂直,那么另外一条直线也与此平面垂直. 2. 命题变式——探究证明 将命题的题设和结论交换,得出变式例题. 例 2.已知: AB ? α , DE ? α .求证: AB / /DE . 本题证明有一定困难,需要适当的引导,师生共同探究,完成证明,进而总结 出直线与平面的性质定理. 性质定理:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行 符号语言:a⊥α,b⊥α 图形语言:
α

a//b

a

b

设计意图: “授人以鱼,不如授人以渔” ,在共同探究的过程中,不仅体现了知 识的运用,更重要的是展示了思维的过程,增强学生分析问题、解决问题的能力. 四、回顾总结,反思升华 问题 5:这节课,我们有哪些收获?

线 线 垂 直 线 线 线 线 平 平 行 行

定义法(任一直线) 判定定理 (两相交直线)

线 面

a//b,a⊥b a//b

b⊥α a⊥α,b⊥α

垂 直

性质定理

知识方面:线面垂直的定义、线面垂直的判定定理、线面垂直的性质定理. 方法方面:掌握了立体几何中研究线面位置关系思路与方法. 数学思想:转化思想(空间 垂直、平行 垂直) 平面、无限 有限、线面垂直 线线

五、布置作业,巩固理解 (1)阅读课本相关内容进行复习; (2)课本第 41-42 页习题 1.2(2)的“感受·理解”部分的第 7 题和第 9 题; (3)课本第 42 页习题 1.2(2)的“思考·运用”部分的第 12 题.


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