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安徽省望江中学2013届高三上学期第四次月考数学(文)试题


望江中学高三第四次数学月考试卷(文科)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,) 1. 若复数 z ? ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为( A. ?1 B. 0 C. 1 )

D. ?1 或 1

2.以下有关命题的说法错误的是( ) A.命题“若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1 ,则 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ” B.“ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 C. 对于命题 p : ? x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ? p : ? x ? R ,均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 D. 若 p? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题 3.已知向量 a ? (2,1) , a ? b ? 10, a ? b ? 5 2, 则 b 等于 ( A.

?

? ?

? ?

?

) D.25

5

B. 10

C.5

4 . 函 数 y ? f( x) 在 定 义 域 ( ?

3 ,3 ) 内 的 图 象 如 图 所 示 , 记 y ? f( x) 的 导 函 数 为 2
)

y ? f ' ( x) ,则不等式 f ' ( x) ? 0 的解集为(
3 1 A. [? , ] ? [1,2) 2 2

1 B. [? ,1] ? ?2,3? 3 3 1 1 4 4 D. (? ,? ] ? [ , ] ? [ ,3) 2 3 2 3 3

1 4 8 C. [?1, ] ? [ , ] 2 3 3

5. 已知数列 ?an ? 为等差数列,数列{bn}是各项均为正数的等比数列,且公比 q ? 1,若

a1 ? b1 , a2011 ? b2011 ,则 a1006 与 b1006 的大小关系是(
A. a1006



? b1006

B. a1006

? b1006

C. a1006

? b1006

D.

a1006 ? b1006

π 3 11 π 5π ? 对称;②函数 f (x) 在区间 (? , ) 内是增函数; ①图象 C 关于直线 x ? 12 12 12 π ③由 y ? 3 sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C . 3
6.函数 f ( x) ? 3sin(2 x ? ) 的图象为 C, 以上三个论断中正确论断的个数为( A.0 B.1 ) C.2 D.3

7.已知{an}为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,Sn 为{an}的前 n 项和, n∈N*,则 S10 的值为( ) A. -110 B.-90 C. 90 D.110

8.设 a ?

2 tan13? 1 ? cos 50? 1 3 ,c ? 则有( cos 6? ? sin 6?, b ? 2 1 ? tan 2 13? 2 2
B.a<b<c C.a>b>c D.a>c>b

)

A.a<c<b

9.已知各项均不为零的数列 {an } ,定义向量 cn ? (an , an?1 ) ,bn ? (n, n ? 1) , n ? N* . 下列命 题中真命题是 ( )

A. 若 ?n ? N* 总有 cn ? bn 成立,则数列 {an } 是等比数列 B. 若 ?n ? N* 总有 cn / / bn 成立,则数列 {an } 是等比数列 C. 若 ?n ? N* 总有 cn ? bn 成立,则数列 {an } 是等差数列 D. 若 ?n ? N* 总有 cn / / bn 成立,则数列 ?an ? 是等差数列 10.如图几何体的主(正)视图和左(侧)视图都正确的是 ( )

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 1 1 11.已知 n∈{-1,0,1,2,3},若(- )n>(- )n,则 n=_________ 2 5 1+cos2x+8sin2x π 12. 当 0<x< 时,函数 f(x)= 的最小值为 2 sin2x 13

x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0关于直线 2ax ? by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0)对称 , 则


4 1 ? a b

的最小值为

1 14.已知函数 f(x)满足 f(x+1)= ,且 f(x)是偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间 f?x? [-1,3]内,函数 g(x)=f(x)-kx-k 有四个零点,则实数 k 的取值范围是_______

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? 15.已知变量 x, y满足约束条件? x ? 3 y ? 3 ? 0.若目标函数z ? ax ? y (其中 a>0)仅在 ?y ?1 ? 0 ?
点(3,0)处取得最大值,则 a 的取值范围为

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

? x ?1 ? 16. (本小题满分 12 分)设 f ( x) ? ? ? 2x ? 3 ? x

x ?1
,解不等式 f (x) ? 1 ? 0

x ?1

17. (本小题满分 12 分) 已知△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=2,cos2B=(1)若 b=4,求 sinA 的值; (2)若△ABC 的面积 S△ABC=4,求 b,c 的值.

7 . 25

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 y ? sin 2 ?x ? 3 sin ?x cos?x ? 1 ? ? 0) 的最小正周期为 2? .求: x ? [0, ? ] ( 当 时 y 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分) 如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的中点. 1
D1

(1)求证: EF //平面 ABC1D1 ; (2)求证: EF ? B1C ; (3)求三棱锥 VB1 ? EFC 的体积.

C1 B1

A1 E

D F A B

C

20.(本小题满分 13 分) 设数列{an}满足 a1=t,a2= t ,前 n 项和为 Sn,且 Sn+2-(t+1)Sn+1+tSn=0(n∈N*). (1)证明数列{an}为等比数列,并求{an}的通项公式; 1 - - (2)当 <t<2 时,比较 2n+2 n 与 tn+t n 的大小; 2 1 2an 1 1 1 n ?n (3)若 <t<2,bn= 2,求证: + +?+ <2 - 2 2 b1 b2 bn 1+an
.
2

21. (本小题满分 14 分) 1 a 设函数 f(x)= x3- x2+bx+c,其中 a>0,曲线 y=f(x)在点 P(0,f(0))处的切线方程为 3 2 y=1. (1)确定 b,c 的值; (2)设曲线 y=f(x)在点(x1,f(x1))及(x2,f(x2))处的切线都过点(0,2). 证明:当 x1≠x2 时,f ′(x1)≠f ′(x2); (3)若过点(0,2)可作曲线 y=f(x)的三条不同切线,求 a 的取值范围.

望江中学高三第三次数学月考试卷(文科)答案
一、选择题 1. A 2. D 3. C 4. B 5.B 二、填空题 11.-1 或 2 三、解答题 16.解:解: (1)当 x ? 1 时,原不等式等价于 | x ? 1| ?1 ? 0 ,即 x ? 2 或 x ? 0 分 ∴x ? 2. ?????????????????????????????5 分 ????3 12.4 13.9 14. 1 (0,4] 15. 6. C 7. D 8.A 9.D 10.B

1 ( ,?? ) 2

(2)当 x ? 1 时,原不等式等价于 ∴x ?0.

2x ? 3 ? 1 ? 0 ,即 x ? 3 或 x ? 0 ????8 分 x

?????????????????????????????10 分 ??????12 分

综上所述,不等式 f (x) ? 1 ? 0 的解集为 (??, ? [2, ?) . 0) ? 17. 解:(1)∵cos2B= ? ∴sinB=

7 ,且 0<B<π, 25

1 ? cos 2 B 4 a b = ,由正弦定理得 = , 5 sinA sinB 2

4 2× 5 2 asinB ∴sinA= = = .……….6 分 b 4 5 1 1 4 (2)∵S△ABC= acsinB=4,∴ ×2×c× =4,∴c=5. 2 2 5 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accosB,又 cosB= ?

3 5

∴b= a2+c2-2accosB= 17 或 41 ……….12 分 18. 解: y ?

1 3 (1 ? cos 2?x) ? sin 2?x ? 1 2 2

?????2 分(每个公式的应用得 2 分)

? 1 ? sin( 2?x ? ) ? ?????????????????????? 4 分 6 2
因为 T ?

1 2? ? 2? ,所以 ? ? ?????????????????????? 6 分 2 2?

y ? s i nx ? (

?
6

)?

1 ?????????????????????????? 7 分 2
?
6 ? x?

因为 0 ? x ? ? ,所以 ?

?
6

?

5? ??????????????????? 8 分 6

?

1 ? ? s i nx ? ) ? 1 ????????????????????????? 10 分 ( 2 6
?1 ? y ? 1 ????????????????????????????12 分 2



19. (Ⅰ)连结 BD1 ,在 ?DD1 B 中, E 、 F 分别为 D1D , DB 的中点,则

? ? D1 B ? 平面ABC1 D1 ? ? EF // 平面ABC1 D1 EF ? 平面ABC1 D1 ? ? EF // D1 B
(Ⅱ)

D1 A1 E B1

C1

B1C ? AB ? ? B1C ? BC1 ? ?? AB, B1C ? 平面ABC1 D1 ? ? AB ? BC1 ? B ?

D F A B

C

B1C ? 平面ABC1D1 ? ?? BD1 ? 平面ABC1 D1 ? B1C ? BD1 ? ? ? EF ? B1C EF // BD1 ?
(Ⅲ)?CF ? 平面BDD1B1

?CF ? 平面EFB1
? EF ?



C F? B F 2 ?

1 BD1 ? 3 , B1 F ? BF 2 ? BB12 ? ( 2)2 ? 22 ? 6 2

B1 E ? B1 D12 ? D1E 2 ? 12 ? (2 2) 2 ? 3
∴ EF ? B1F ? B1E
2 2 2

即 ?EFB1 ? 90

?

1 1 1 ?VB1 ? EFC ? VC ? B1EF ? ? S ?B1EF ? CF = ? ? EF ? B1 F ? CF 3 3 2

=

1 1 ? ? 3? 6 ? 2 ?1 3 2

20.解:(1)证明:由 Sn+2-(t+1)Sn+1+tSn=0,得 tSn+1-tSn=Sn+2-Sn+1,即 an+2=tan+1, 而 a1=t,a2=t2,∴数列{an}是以 t 为首项,t 为公比的等比数列, ∴an=tn. ……………………….4 分 1 1 1 1 - - (2)∵(tn+t n)-(2n+2 n)=(tn-2n)[1-( )n],又 <t<2,∴ < <1, 2t 2 4 2t 1 n 1 n n n -n n -n 则 tn-2n<0 且 1-( )n>0,∴(t -2 )[1-( ) ]<0,∴t +t <2 +2 .……….8 分 2t 2t 1 1 - (3)证明:∵ = (tn+t n), bn 2 1 1 1 - - - - ∴2( + +?+ )<(2+22+?2n)+(2 1+2 2+?+2 n)=2(2n-1)+1-2 n b1 b2 bn 1 1 1 + - + - =2n 1-(1+2 n)<2n 1-2 2 n,∴ + +?+ <2n- 2? n .……………………….13 分 b1 b2 bn 1 a 21.[解析] (1)由 f(x)= x3- x2+bx+c,得 f(0)=c,f ′(x)=x2-ax+b,f ′(0)=b,又 3 2 由曲线 y=f(x)在点 P(0,f(0))处的切线方程为 y=1,得 f(0)=1,f ′(0)=0,故 b=0,c=1. ………………………. ………………………3 分 1 a (2)f(x)= x3- x2+1,f ′(x)=x2-ax,由于点(t,f(t))处的切线方程为 y-f(t)=f ′(t)(x 3 2 2 a -t),而点(0,2)在切线上,所以 2-f(t)=f ′(t)(-t),化简得 t3- t2+1=0,即 t 满足的方程 3 2 2 a 为 t3- t2+1=0, 下面用反证法证明: 假设 f ′(x1)=f ′(x2), 由于曲线 y=f(x)在点(x1, 1)) f(x 3 2 及(x2,f(x2))处的切线都过点(0,2),则下列等式成立:

?3x -2x +1=0 ? ?2x -ax +1=0 ?3 2 ?x -ax =x -ax
2
3 1 3 2

a

2 1

① ② ③

2 2

2 1

1

2 2

2

3 由③得 x1+x2=a,由①-②得 x2+x1x2+x2= a2④ 1 2 4 a 3 3 又 x2+x1·2+x2=(x1+x2)2-x1x2=a2-x1(a-x2)=x2-ax1+a2=(x1- )2+ a2≥ a2 x 1 2 1 2 4 4 a a 故由④得,x1= ,此时 x2= 与 x1≠x2 矛盾,所以 f ′(x1)≠f ′(x2). 2 2 ………………………. ………………………7 分 (3)由(2)知,过点(0,2)可作 y=f(x)的三条切线,等价于方程 2-f(t)=f ′(t)(0-t)有三个

2 a 相异的实根,即等价于方程 t3- t2+1=0 有三个相异的实根. 3 2 2 a a 设 g(t)= t3- t2+1,则 g′(t)=2t2-at=2t(t- )由于 a>0,故有 3 2 2 t g′(t) g(t) (-∞,0) + ? 0 0 极大值 1 a (0, ) 2 - ? a 2 0 a3 极小值 1- 24 a ( +∞) 2 + ?

a3 3 由 g(t)的单调性可知:要使 g(t)=0 有三个相异的实根,当且仅当 1- <0,即 a>2 3, 24 3 ∴a 的取值范围是(2 3,+∞).………………………. ………………………13 分


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