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高二数学竞赛 2


2012-2013 下学期高二数学竞赛试卷
第 I 卷(选择题)
评卷人 得分 一、选择题(5 分/题共 50 分) 1.若集合 A={-1,1} ,B={0,2} ,则集合{z︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为 ( ) A、5 B、4 C、3 D、2 2.设 a ? R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)

y+4=0 平行”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知 O,N,P 在 ?ABC 所在平面内,且 OA ? OB ? OC , NA ? NB ? NC ? 0 ,且

A、

B、

C、

D、

7.已知正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 中 ,AB=2,CC1= 2 2 BED 的距离为 A、2 B、 3 C、 2 D、1

E 为 CC1 的中点,则直线 AC1 与平面

8.已知正四棱锥 成的角的余弦值为( A. B.

的侧棱长与底面边长都相等, ) C. D.



的中点,则



PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则点 O,N,P 依次是 ?ABC 的(
(A)重心 外心 垂心 (B)重心 外心 内心 (C)外心 重心 垂心 (D)外心 重心 内心 (注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角型的垂心)

)

9.已知抛物线 ,则 (A) (B)

的焦点为 的面积为()

,准线与

轴的交点为

,点



上且

(C)

(D)

4.设 ?ABC 的三个内角 A, B, C ,向量 m ? ( 3 sin A,sinB ) , n ? (cos B, 3 cos A) ,若

10.如图, F1 和 F2 分别是双曲线

m ? n ? 1 ? cos(A ? B ) ,则 C =(

x2 r 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点, A 和 B 是以 O 为 a2 b2



? A. 6

? B. 3

2? C. 3

5? D. 6
2

圆心,以 O F1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△ F2 AB 是等边三角形,则双曲线 的离心率为 ) (A) 3 (B) 5 (C)

5.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:c m )为( (A)48+12 2 (B)48+24 2 (C)36+12 2

5 2

(D) 1? 3

(D)36+24 2

6.已知

为等边三角形,AB=2,设点 P,Q 满足 , ,若 ,则 =



试卷第 1 页,总 3 页

2012-2013 下学期高二数学竞赛试卷
第 I 卷(选择题)
评卷人 得分 一、选择题(5 分/题共 50 分)

a2 ON
2

?

b2 OM
2

?

评卷人

得分 三、解答题

E 16. 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AB1 ? AC1 ,D , 1 1
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 分 别 是 棱 B C,C C 上 的 点 ( 点 D 1 不同于点 C ) 且 ,

AD ? DE , 为 B1C1 的中点. F

第 II 卷(非选择题)
评卷人 得分 二、填空题(5 分/题共 25 分) 11.如果一个凸多面体是 n 棱锥,那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_____条, 这些直线中共有 f (n) 对异面直线,则 f (4) ? ____ ;f(n)=______(答案用数字或 n 的解析式表 示) 12.给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 120 .如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动.若 OC ? xOA ? yOB, 其中 x, y ? R ,则

求证: (1)平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 ; (2)直线 A1 F // 平面 ADE .

??? ?

??? ?

o

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

x ? y 的最大值是________.
13.在 ? ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则 AB ? AC = ______________. 14.已知以 F 为焦点的抛物线 的距离为___________. 上的两点 A、B 满足 ,则弦 AB 的中点到准线
??? ???? ?

17. 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, AC⊥AD, AB⊥BC, ∠BAC=45°, PA=AD=2,AC=1. (Ⅰ)证明 PC⊥AD; (Ⅱ)求二面角 A-PC-D 的正弦值; (Ⅲ)设 E 为棱 PA 上的点,满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30°,求 AE 的长.

x2 y 2 2 2 2 15.已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) ,圆 O : x ? y ? b ,过椭圆上任一与顶点不重合 a b
的点 P 引圆 O 的两条切线,切点分别为 A, B ,直线 AB 与 x 轴、 y 轴分别交于点 M , N ,则

x2 y 2 18.设椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,已知椭圆 E 上的任意 a b
试卷第 2 页,总 3 页

一点 P ,满足

PF 1 ? PF2的最小值为

1 2 a 2 ,过 F1 作垂直于椭圆长轴的弦长为 3.

(2)判断 L 能否与双曲线交于 A , B 两点,且线段 AB 恰好以点 P 为中点,若存在,求出直 线 L 的方程,若不存,说明理由.

(参考公式:a ? b ? a ? b cos? ? x1 x2 ? y1y2 )

(1)求椭圆 E 的方程;

(2)若过 F1 的直线交椭圆于 A, B 两点,求 F2 A ? F2 B 的取值范围.

???? ???? ? ?

19.已知曲线 E 上任意一点 P 到两个定点 F1 ? 3, 0 , F2 (1)求曲线 E 的方程;

?

?

?

3, 0 的距离之和为 4.

?

21.已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 轴上,椭圆 C 上的点到焦点的距离的最大值为 3, 最小值为 1. (I)求椭圆 C 的标准方程; (II)若直线 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点),且以 AB 为直径的圆

(2)设过(0,-2)的直线 l 与曲线 E 交于 C , D 两点,且 OC ? OD ? 0 ( O 为原点) ,求直线 l 的方程.

??? ???? ?

过椭圆 C 的右顶点.求证:直线 过定点,并求出该定点的坐标.

20.已知双曲线实轴在 x 轴,且实轴长为 2,离心率 e ? (1)求双曲线的标准方程;

3 , L 是过定点 P(1,1) 的直线.

试卷第 3 页,总 3 页

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参考答案 1.C 【解析】 本题考查集合的概念及元素的个数.容易看出 x ? y 只能取-1,1,3 等 3 个数值.故共 有 3 个元素. 【点评】集合有三种表示方法:列举法,图像法,解析式法.集合有三大特性:确定性,互 异性,无序性.本题考查了列举法与互异性.来年需要注意集合的交集等运算,Venn 图的考 查等 2.A 【解析】当 a=1 时,直线 l1:x+2y-1=0 与直线 l2:x+2y+4=0 显然平行;若直线 l1 与直线 l2 平行,则有: 3.C 【解析】 ;
a 2 ,解之得:a=1 or a=﹣2.所以为充分不必要条件 ? 1 a ?1

4.C 【 解 析 】 m?n ? 3 s A n ? i

B o ? A c? o B c s s

?s i n A

? 3 s?i n?( , B A

B ) ?

1

c o s

? A ? B ? C ? ? ,所以 3 sin C ? 1 ? cos C ,即 3 sin C ? cos C ? 1, (C ? ) 1 2sin ? 6 ? 1 ? 5? 2? ? sin(C ? ) ,由题 C ? ? ? ,即 C ? 。 6 2 3 6 6
5.A 【解析】设

【考点定位】 本题考查向量的数量积和向量的减法运算, 考查学生灵活应用数形结合思想的 解题和字母的运算能力 6.A 【解析】棱锥的直观图如右,则有 PO=4,OD=3,由勾股定理,得 PD=5,AB=6
答案第 1 页,总 12 页

,全

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面积为:

×6×6+2×

×6×5+

×6

×4=48+12

,故选.A。

7.D 【 解 析】 连结 AC, BD 交 于 点 O , 连 结 OE , 因 为 O, E 是 中 点, 所以 OE // AC1 , 且

OE ?

1 AC 1 ,所以 AC1 // BDE ,即直线 AC1 与平面 BED 的距离等于点 C 到平面 BED 的 2

距离,过 C 做 CF ? OE 于 F ,则 CF 即为所求距离.因为底面边长为 2,高为 2 2 ,所以

AC ? 2 2 , OC ? 2 , CE ? 2 , OE ? 2 , 所 以 利 用 等 积 法 得 CF ? 1 , 选 D.

8.C 【解析】 解法一:连接 AC、BD 交于 O,连接 OE,因 OE∥SD。所以∠AEO 为所求。设侧棱长与底面边 长都等于 2,则在⊿AEO 中,OE=1,AO= 于是 解法二:建立如图所示坐标系, ,AE= 。 ,

答案第 2 页,总 12 页

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令正四棱锥的棱长为 2,则 A(1,-1,0) ,D(-1,-1,0) ,S(0,0,

),E(

),



,因此可知 cos

,故选 C.

考点:本题主要考查了多面体的结构特征和空间角的求法,同时,还考查了转化思想和运算 能力,属中档题. 点评:解决该试题的关键是由于是正方体,又是求角问题,所以易选用向量量,所以建立如 图所示坐标系, 先求得相关点的坐标, 进而求得相关向量的坐标, 最后用向量夹角公式求解. 9.B 【解析】

∵抛物线 设 ∵ ∴由 ∴ 的面积为 ,过

的焦点为 点向准线作垂线

,准线为 ,则



,又 得 ,即 故选 B ,解得

【点评】此题重点考察抛物线的第二定义,抛物线中与焦点,准线有关三角形问题; 【点评】由题意准确化出图象,利用离心率转化位置,在 10.D 中集中条件求出 是关键;

x2 r 2 【解析】如图, F1 和 F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点, A 和 B 是以 a b

O 为圆心,以 O F1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△ F2 AB 是等边三角形,连

答案第 3 页,总 12 页

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接 AF1, ∠AF2F1=30°, 1|=c, 2|= 3 c, 2a ? ( 3 ?1)c , |AF |AF ∴ 双曲线的离心率为 1? 3 , 选 D。 11.

n( n ? 1) n(n ? 2)( n ? 1) ,12, 2 2

【解析】当多面体的棱数由 n 增加到 n+1 时,所确定的直线的条数将增加 n+1,由递推关系 f(n+1) -f(n)=n+1 我们能够求出答案。从图中我们明显看出四棱锥中异面直线的对数为 12 对。能与棱锥每棱构成异面关系的直线的条数为 12.2 【解析】 解法一:设 ?AOC ? ?

(n ? 2)( n ? 1) ,进而得到 f(n)的表达式。 2

1 ? ???? ??? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ?cos ? ? x ? 2 y ?OC ? OA ? xOA ? OA ? yOB ? OA, ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ,即 ? ? ? ? ? ???? ??? ?OC ? OB ? xOA ? OB ? yOB ? OB, ?cos(1200 ? ? ) ? ? 1 x ? y ? ? ? 2
0 ∴ x ? y ? 2[cos ? ? cos(120 ? ? )] ? cos ? ? 3 sin ? ? 2sin(? ?

?
6

) ? 2。

解法二:

建 立 如 图 所 示 的 坐 标 系 , 则 A( 1, 0) 即 , 设 则 ,









, ,
答案第 4 页,总 12 页

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有 最 大 值 2,当

时 取 最 大 值 2.

13. ?16 【解析】此题最适合的方法是特例法.假设 ? ABC 是以 AB=AC 的等腰三角形,如图,

AM=3,BC=10,AB=AC= 34 . cos∠BAC= 14.
??? ???? ? ??? ??? ? ? 34 ? 34 ? 100 8 ? ? . AB ? AC = AB ? AC cos ?BAC ? ?16 2 ? 34 17

8 3

【解析】设 BF=m,由抛物线的定义知

中,AC=2m,AB=4m, 直线 AB 方程为 与抛物线方程联立消 y 得

所以 AB 中点到准线距离为

15.

a2 b2

【解析】略 16.见解析 【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。 【解析】 (1) 要证平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 , 只要证平面 ADE 上的 AD ? 平面 BCC1 B1 即可。 它可由已知 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱和 AD ? DE 证得。 (2)要证直线 A1 F // 平面 ADE ,只要证 A1 F ∥平面 ADE 上的 AD 即可 证明: (1)∵ ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,∴ CC1 ? 平面 ABC 。 又∵ AD ? 平面 ABC ,∴ CC1 ? AD 。

CC 又∵ AD ? DE , 1,DE ? 平面 BCC1B1,CC1 ? DE ? E ,∴ AD ? 平面 BCC1 B1 。

答案第 5 页,总 12 页

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又∵ AD ? 平面 ADE ,∴平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 。 (2)∵ A1 B1 ? A1C1 , F 为 B1C1 的中点,∴ A1 F ? B1C1 。又∵ CC1 ? 平面 A1 B1C1 ,且 A1 F ? 平面 A1 B1C1 ,∴ CC1 ? A1 F 。又∵ CC1, 1C1 ? 平面 BCC1 B1 , CC1 ? B1C1 ? C1 ,∴ A1 F ? 平 B 面 A1 B1C1 。 由(1)知, AD ? 平面 BCC1 B1 ,∴ A1 F ∥ AD 。又∵ AD ? 平面 ADE , A1 F ? 平面 ADE ,∴直线 A1 F // 平面 ADE 17. (1)见解析 (2)

(3) 【解析】解法一:如图,以点 A 为原点建立空间直角坐标系,依题意得 A(0,0,0), D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).

(1)证明:易得 (2) ,



于是 设平面 PCD 的法向量

,所以 ,



,即

.不防设

,可得

.可取平面 PAC 的法向量

于是

从而

.

所以二面角 A-PC-D 的正弦值为

.

答案第 6 页,总 12 页

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(3)设点 E 的坐标为(0,0,h) ,其中

,由此得

.



,故

所以,

,解得

,即

.

解法二: 证明: (1) 由 故 .又

, 可得 ,所以

, 又由 .

,

,

(2)如图,作 因此 ,从而

于点 H,连接 DH.由

,

,可得 中,

. ,

为二面角 A-PC-D 的平面角.在

由此得

由(1)知

,故在

中,

因此

所以二面角

的正弦值为

.

(3)如图,因为 连接 BE,EF. 故 .在

,故过点 B 作 CD 的平行线必与线段 AD 相交,设交点为 F, 或其补角为异面直线 BE 与 CD 所成的角.由于 BF∥CD,故 中, 故

答案第 7 页,总 12 页

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中,由

,

,

可得

.由余弦定理,

,

所以

.

【考点定位】本小题主要考查空间两条直线的位置关系、二面角、异面直线所成德角、直线 与平面垂直等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运 算能力和推理论证能力.试题从命题的角度来看,整体上题目与我们平时练习的试题相似, 但底面是非特殊的四边形, 一直线垂直于底面的四棱锥问题, 那么创新的地方就是第三问中 点 E 的位置是不确定的,需要学生根据已知条件进行确定,如此说来就有难度,因此最好使 用空间直角坐标系解决该问题为好 18.(1) 【解析】 试题分析:解: (1)设点 P ( x0 , y0 ) ,则 PF ? (?c ? x0 , ? y0 ), PF2 ? (c ? x0 , ? y0 ) , 1

???? ???? 7 ? ? x2 y 2 ? ? 1 (2) ?3 ? F2 A ? F2 B ? 4 4 3

????

???? ?

???? ???? 1 ? ???? ???? ? c2 2 2 2 2 ? PF1 ? PF2 ? x0 ? c 2 ? y0 ? 2 x0 ? b 2 ? c 2 ,? PF1 ? PF2 ? a 2 , 0 ? x0 ? a 2 2 a ? b2 ? c2 ? 1 2 c2 y 2 b2 b2 3 a ,? a ? 2c ,又 2 ? 2 ? 1,? y ? ? ,? ? , 2 a b a a 2

a2 ? 4, b2 ? 3 ,∴椭圆的方程为:

x2 y 2 ? ?1 4 3
3 2 3 2 ???? ???? ? ? 1 ; 2

(2)当过 F1 直线 AB 的斜率不存在时,点 A( ?1, ), B ( ?1, ? ) ,则 F2 A ? F2 B ? ?

当 过 F1 直 线 AB 的 斜 率 存 在时, 设 斜 率 为 k , 则 直 线 AB 的方 程 为 y ? k ( x ? 1) , 设

A( x1 , y1 ), B ( x , y2 ) 2
答案第 8 页,总 12 页

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? y ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 y2 ?1 ? ? 3 ?4
x1 ? x2 ?

得: (4k 2 ? 3) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0

?8k 2 4k 2 ? 12 , x1 ? x2 ? 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 ???? ???? ? ? ? F2 A ? F2 B ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2 ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (k 2 ? 1)( x1 ? x2 ) ? (k 2 ? 1) 7k 2 ? 9 7 57 ? ? 2 4k ? 3 4 4(4k 2 ? 3) ???? ???? 7 ? ? ? k 2 ? 0,??3 ? F2 A ? F2 B ? 4 ???? ???? 7 ? ? 综合以上情形,得: ?3 ? F2 A ? F2 B ? 4 ?
考点:椭圆的方程、几何性质 点评: 本小题主要考查椭圆的方程、几何性质,平面向量的数量积的坐标运算,直线与圆锥 曲线的位置关系等基本知识及推理能力和运算能力 19.(1)

(2)直线 的方程是





【解析】 试题分析: (1)根据椭圆的定义,可知动点 其中 , ,则 . .

的轨迹为椭圆,

所以动点 P 的轨迹方程为

4分

(2)当直线 的斜率不存在时,不满足题意. 当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 设 ∵ ∵ ∴ , ,∴ , ,∴ .? ① , . . ,

答案第 9 页,总 12 页

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由方程组





则 即 ,解得,

, 或 . 或

,代入①,得 10 分 . 12 分



所以,直线 的方程是

考点:椭圆的定义,直线与椭圆的位置关系 点评:解决的关键是利用椭圆的定义来得到轨迹方程,这是求轨迹的首要考虑的方法之一, 同时联立方程组,结合韦达定理来得到直线方程,属于基础题。 20. (1) x ?
2

y2 ? 1 (2)不存在过点 P 的直线 L 与双曲线有两交点 A、B,且线段 AB 以点 2

P 为中点 【解析】 试题分析: (1)∵2a=2 ,∴a=1,又 ∴ b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2, a 2 ? 1 , ∴标准方程为: x ?
2

c ? 3 ,∴c= 3 , a

y2 ? 1. 2

(2)①:若过点 P 的直线斜率不存在,则 L 的方程为: x ? 1 , 此时 L 与双曲线只有一个交点,不满足题意. ②: 若过点 P 的直线斜率存在且设为 k ,则 L 的方程可设为: y ? 1 ? k ( x ? 1) , 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,AB 的中点 M ( x, y ) ,

? y ? kx ? 1 ? k 2 2 2 由? 得, (2 ? k ) x ? 2k (1 ? k ) x ? (1 ? k ) ? 2 ? 0 ? 2 y2 ?1 ?x ? 2 ?
2 显然,要有两个不同的交点,则 3 ? k ? 0 .所以 x ?



x1 ? x 2 k (1 ? k ) ? , 2 2?k2

要以 P 为中点,则有 x ?

x1 ? x2 k (1 ? k ) ? ? 1 ,解得 k ? 2 , 2 2?k2

2 当 k ? 2 时,方程①为: 2 x ? 4 x ? 3 ? 0 ,该方程无实数根,即 L 不会与双曲线有交点,

所以,不存在过点 P 的直线 L 与双曲线有两交点 A、B,且线段 AB 以点 P 为中点. 考点:本小题主要双曲线的标准方程,双曲线的性质和直线与双曲线的位置关系.
答案第 10 页,总 12 页

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点评:每年高考都会考查圆锥曲线问题,此类题目一般运算量较大,主要考查学生的运算求 解能力和分析问题、解决问题的能力. 21.(I)

x2 y2 ? ? 1. 4 3

(II) 直线 过定点,定点坐标为

【解析】解:(I)由题意设椭圆的标准方程为



(II)设

,由



, , .

以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点









,解得 ,且满足 当 时, ,直线过定点 . 与已知矛盾;

答案第 11 页,总 12 页

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时,

,直线过定点

综上可知,直线 过定点,定点坐标为

答案第 12 页,总 12 页


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