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一轮复习解三角形


3.2 解三角形
一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 内容 a b c 余弦定理

sin A
变 形 形式

?

sin B

?

sin C

? 2R

a 2 ? b 2 ? c 2

? 2bc ?cos A, b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ac cos B, c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C. b2 ? c2 ? a 2 cos A ? ; 2bc a 2 ? c2 ? b2 cos B ? ; 2ca a 2 ? b2 ? c2 cos C ? . 2ab

①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; ②sinA=

a b c ,sinB= ,sinC= ; 2R 2R 2R

③a:b:c=sinA: sinB: sinC; ④

a?b?c a ? sin A ? sin B ? sin C sin A

解 决 ① 已知两角和任一边,求另一角和其他两条边; ① 已知三边,求各角; 的 问 ② 已知两边和其中一边的对角, 求另一边和其他 ② 已知两角和它们的夹角, 求 题 两角。 第三边和其他两个角。 注:在Δ ABC 中,sinA>sinB 是 A>B 的充要条件。 (∵sinA>sinB ?

a b ? ? a>b ? A>B) 2R 2R

(1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下文的叫俯角 (2)方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为α 注:仰角、俯角、方位角的区别是:三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言 的,而方位角是相对于正北方向而言的。 (3)方向角:相对于某一正方向的水平角(如图③) ①北偏东 ? ? 即由指北方向顺时针旋转 ? ? 到达目标方向; ②北偏本 ? ? 即由指北方向逆时针旋转 ? ? 到达目标方向; ③南偏本等其他方向角类似。 2、Δ ABC 的面积公式

1 1 1 abc ab sin C ? ac sin B ? bc sin A ? ( R为外接圆半径) ; 2 2 2 4R 1 (2) S ? r (a ? b ? c)(r为内切圆半径) 。 2
(1) S ?

【热点难点精析】
(一)正弦定理、余弦定理的简单应用 1、已知两边和一边的对角解三角形时,可有两解、一解、无解三种情况,应根据已知 条件判断解的情况,主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断; 2、应熟练掌握余弦定理及其推论。解三角形时,有时可用正弦定理,也可用余弦定理, 应注意用哪一个定理更方便、简捷; 3、三角形中常见的结论 (1)A+B+C=π ; (2)在三角形中大边对大角,反之亦然; (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边; (4)三角形内的诱导公式

1

sin( A ? B) ? sin C;cos( A ? B) ? ? cos C; tan( A ? B) ? ? tan C;sin
(5)在Δ ABC 中,tanA+tanB+tanC= tanA·tanB·tanC.
o

A? B C A? B C ? cos ;cos ? sin . 2 2 2 2
0

〖例 1〗在Δ ABC 中,(1)若 b= 2 ,c=1,B=450 ,求 a 及 C 的值;(2)若 A=60 ,a=7,b=5, 求边 C。

〖例 2〗在Δ ABC 中,已知 a=7,b=3,c=5,求最大角和 sinC

(二)三角形形状的判定 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时,主要有如下两种方法: (1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的 相应关系,从而判断三角形的形状; (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒 等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用 A+B+C=π 这个结论。 注:在上述两种方法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以 免漏解。 〖 例 〗 在 Δ ABC 中 , a 、 b 、 c 分 别 表 示 三 个 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 , 如 果

(a 2 ? b2 )sin( A ? B) ? (a 2 ? b2 )sin( A ? B) ,判断三角形的形状

(三)正、余弦定理的应用 正、余弦定理的应用 (1)首先根据已知量和未知量确定未知量所在的三角形; (2)其次确定与未知量相关联的量; (3)最后把要求解的问题转化到由已知条件可直接求解的量上来。 〖例 1〗如图所示,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=5,AC=9, 0 0 ∠BCA=30 ,∠ADB=45 ,求 BD 的长。

2

〖例 2〗如图,,在四边形 ABCD 中,已知 AD⊥CD,AD=10,AB=14, 0 0 ∠BDA=60 ,∠BCD=135 ,求 BD 及 BC 的长。

〖例 3〗 某观测站 C 在 A 城的南偏西 20 的方向。 A 城出发的一条公路, 由 走向是南偏东 40 , 在 C 处测得公路上 B 处有一人距 C 为 31 千米正沿公路向 A 城走去,走了 20 千米后到达 D 处,此时 CD 间的距离为 21 千米,问这人还要走多少千 米才能到达 A 城?

0

0

〖例 4〗某人在塔的正东沿着南偏本 60 的方向前进 40 米后望见在东北方向,若沿途测得塔 0 顶的最大仰角为 30 ,求塔高。

0

〖例 5〗在海岸 A 处,发现北偏东 45 方向,距 A 处 ( 3 ? 1) n mile 的 B 处有一艘走私船,
0

在 A 处北偏本 75 的方向,距离 A 处 2n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 3 n mile/h 的速度 0 追截走私船。此时,走私船正以 10n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30 方向逃窜,问缉私 船沿什么方向能最快追上走私船?

0

3

〖例 6〗在Δ ABC 中,内角 A、B、C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,C=

? 。 3

(1)若Δ ABC 的面积等于 3 ,求 a,b;(2)若 sinC+sin(B-A)=2sin2A,求Δ ABC 的面积。

【高考真题】
1、在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若∠C=120°,c= 2 a,则 A.a>b B.a<b C. a=b D.a 与 b 的大小关系不能确定 2、在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a ? b ? 3bc , sin C ? 2 3 sin B ,
2 2
0 0

则 A=

(A) 30

(B) 60

(C) 120

0

(D) 150 。

0

3、在△ABC 中,若 b = 1,c = 3 , ?C ?

2? ,则 a = 3

4、已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3 , A+C=2B,则 sinC= .

5、 ?ABC 的面积是 30,内角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c , cos A ? (Ⅰ)求 AB?AC ;(Ⅱ)若 c ? b ? 1,求 a 的值。

??? ???? ?

12 。 13

7、在△ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且 2asin A ? (2a ? c)sin B ? (2c ? b)sin C. (Ⅰ)求 A 的大小;(Ⅱ)求 sin B ? sin C 的最大值.

4


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