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全等三角形典型例题


【典型例题】
例 1. (2008 年陕西)已知:如图,B、C、E 三点在同一直线上,AC∥DE,AC=CE,∠ACD=∠B.求证:△ ABC≌△CDE.

分析:已知条件中具备 AC=CE,要证明两个三角形全等,需要推证其它的对应边、对应角相等,而由 AC∥DE 得∠E=∠ACB,∠D=∠ACD,又因为∠ACD=∠B,所以∠D=∠B.得到两个三角形全等的条件。 解:∵AC∥DE,∴∠ACD=∠D,∠BCA=∠E. 又∵∠ACD=∠B,∴∠B=∠D. 在△ABC 和△CDE 中,,∴△ABC≌△CDE. 评析:从已知条件入手寻找三角形全等的条件,灵活运用平行线的性质推导∠D=∠ACD,∠E=∠ACE.解题 关键是利用平行线的性质获得三角形全等的条件。 例 2. (2008 年浙江衢州)如图,AB∥CD (1)用直尺和圆规作∠C 的平分线 CP,CP 交 AB 于点 E(保留作图痕迹,不写作法); (2)在(1)中作出的线段 CE 上取一点 F,连结 AF.要使△ACF≌△AEF,还需要添加一个什么条件?请你写 出这个条件(只要给出一种情况即可;图中不再增加字母和线段;不要求证明).

分析:根据角平分线的作法,分三步得到∠C 的平分线.对于补充条件使△ACF≌△AEF,由于已具备公共边 AF=AF,∠ACF=∠AEF,根据全等三角形判定方法和题目要求再补充一个角相等即可. 解:(1)作图略(2)AF⊥CE,∠AFC=∠AFB,∠CAF=∠BAF(选一个即可) 评析:掌握三角形全等的判定方法,分析已知,结合图形探索全等所需条件是解题关键. 例 3. 如图所示,在正方形 ABCD 中,E 是 AD 的中点,F 是 BA 延长线上一点,AF=AB,已知△ABE≌△ADF. (1)在图中,可以通过平移、翻折、旋转中哪一种方法,使△ABE 变到△ADF 的位置. (2)线段 BE 与 DF 有什么关系?证明你的结论.
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分析:根据平移、翻折、旋转的特点△ABE 经过旋转变到△ADF 的位置,因为平移后对应边平行,翻折后有一 组对应边在同一直线上.讨论 BE 与 DF 的关系要考虑它们之间的数量关系和位置关系,根据全等易得 BE=DF.对 应位置关系,需要延长 BE 交 DF 于 G,观察证明∠DGB=90°. 解:(1)图中通过绕点 A 旋转 90°,使△ABE 变到△ADF 的位置. (2)延长 BE 交 DF 于 G, ∵△ABE≌△ADF, ∴BE=DF,∠ABE=∠ADF. 又∠AEB=∠DEG, ∴∠DGB=∠DAB=90°. ∴BE⊥DF. 评析:本题意在考查对平移、翻折、旋转的理解;合理猜想、探索、推理、论证能力也在考查之中. 例 4. (2008 年河南)复习“全等三角形”的知识时,老师布置了一道作业题:“如图①,已知在△ABC 中,AB =AC,P 是△ABC 内部任意一点,将 AP 绕 A 顺时针旋转至 AQ,使∠QAP=∠BAC,连接 BQ、CP,则 BQ=CP.” 小亮是个爱动脑筋的同学,他通过对图①的分析,证明了△ABQ≌△ACP,从而证得 BQ=CP 之后,将点 P 移到等 腰三角形 ABC 之外,原题中的条件不变,发现“BQ=CP”仍然成立,请你就图②给出证明.

分析:首先由旋转的特点得 AQ=AP,又由∠QAP=∠BAC,结合图形,利用角的差得∠QAB=∠PAC,又 AB =AC,得△AQB≌△APC,从而 BQ=CP.而点 P 在△ABC 外部时,与点 P 在△ABC 内部时基本相同,只是在证
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∠QAB=∠PAC 时利用角的和而不是差. 解:∵∠QAP=∠BAC, ∴∠QAP+∠PAB=∠BAC+∠PAB,即∠QAB=∠PAC. 在△QAB 和△PAC 中,, ∴△QAB≌△PAC,∴BQ=CP. 评析:分析已知条件,观察图形,培养“直觉”图形的意识,确认边、角之间的关系,尽快地找到解题的突破口.

例 5. 如图所示,已知△ABC 中,a=5cm,b=4cm,c=3cm,∠B=53°,∠C=37°,请你从中选择适当的数据 画一个三角形,使之与△ABC 全等,把你所能画的三角形全部画出来,不写画法,并在所画出的三角形中标出你选 用到的数据,并说明符合条件的三角形可有多少种不同的画法?

分析:利用 SSS、AAS 等方法画三角形与已知△ABC 全等时,同学们不够熟练,为此不妨利用三角形内角和为 180°,从而可知∠A=90°,在具体画图时可先画出∠A=90°后仍选用 SSS、AAS 等方案画图为宜,即在所画出 的图形中仍只标明∠B、∠C 的度数即可. 解:要画出与△ABC 全等的三角形,可由题设中所给出的五个数据中任选三个得十种不同的画法,其中有四种 画法不符合 SAS、SSS、ASA、AAS,故有六种画法符合要求. (1)利用“SSS”,即 a=5cm,b=4cm,c=3cm; (2)利用“SAS”,即 a=5cm,c=3cm,∠B=53°; (3)利用“SAS”,即 a=5cm,b=4cm,∠C=37°; (4)利用“AAS”,即 c=3cm,∠B=53°,∠C=37°;
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(5)利用“AAS”,即 b=4cm,∠B=53°,∠C=37°; (6)利用“ASA”,即∠B=53°,a=5cm,∠C=37°.

评析:当题目要求在所给条件中选择进行作图时,可利用分类的思想进行讨论来作,因此其作图具有开放性.这 就要求思考问题要周密,分类要准确,做到不重不漏. 【方法总结】 1. 在探索三角形全等方法的时候,利用了一个非常重要的数学思想,就是分类讨论思想.在讨论问题时,我们常 常用分类的方法,分类要有标准,标准不同,分类的结果也不同.在分类讨论时,要注意标准的一致性,做到讨论的 对象不丢,不漏,不交叉. 2. 全等三角形的几种识别方法都是采用直观感知,操作确认的方式得到的,这是数学发现的一种重要方法,就是 由特殊事例推出一般结论的方法,在学习中,同学们要体会这种方法的运用. 3. 转化思想是数学中常见的一种思想方法,解题时运用转化思想,可将未知问题转化为已知问题,化复杂为简单.

【模拟试题】(答题时间:45 分钟)
一. 选择题 1. 下列条件,不能使两三角形全等的是( ) A. 两边一角对应相等 B. 两角及其中一角的对边对应相等 C. 三边对应相等 D. 两边及其夹角对应相等 2. 如图所示,已知 OA=OB,OC=OD,AD、BC 相交于 E,则图中全等三角形有( )

A. 2 对 B. 3 对 C. 4 对 D. 5 对 3. (2008 年成都)如图,在△ABC 与△DEF 中,已有条件 AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF, 不能添加的一组条件是( )

A. ∠B=∠E,BC=EF

B. BC=EF,AC=DF
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C. ∠A=∠D,∠B=∠E D. ∠A=∠D,BC=EF 4. 如图所示,AB=AC,AE=AD,则①△ABD≌△ACE;②△BOE≌△COD;③点 O 在∠BAC 的平分线上.以 上结论( )

A. 都正确

B. 都不正确 C. 只有一个正确 D. 只有一个不正确

5. 如图所示,欲测量内部无法到达的古塔相对两点 A、B 间的距离,可延长 AO 至点 C,使 CO=AO,延长 BO 至 点 D,使 DO=BO,则△COD≌△AOB,从而通过测量 CD 就可得 A、B 间的距离,其全等的根据是( )

A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 6. 如图所示,△ABC 是不等边三角形,DE=BC,以 D、E 为两个顶点作位置不同的三角形,使所作三角形与△ ABC 全等,这样的三角形最多可以作出( )

A. 2 个

B. 4 个

C. 6 个

D. 8 个

二. 填空题 7. 已知△ABC≌△DEF,∠A=52°,∠B=31°,ED=10,则∠F=__________,AB=__________. 8. 如图所示, BD⊥AC, CE⊥AB, 垂足分别为 D、 E, 若△ABD≌△ACE, 则∠B=__________, ∠BAD=__________, ∠ADB=__________,AB=__________,AD=__________,BD=__________,如果△BEO≌△CDO,那么∠BOE =__________,DO=__________.

9. 已知△ABC≌△DEF,BC=EF=6cm,△ABC 的面积是 18cm2,则 EF 边上的高是__________cm.
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10. (2008 年海南)已知在△ABC 和△A1B1C1 中,AB=A1B1,∠A=∠A1,要使△ABC≌△A1B1C1,还需添加一个 条件,这个条件可以是__________. 11. 如图所示,已知:△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,l 是过 C 的任意一条直线,AD⊥l 于 D,BE⊥l 于 E, 且 AD=2 厘米,BE=5 厘米,那么线段 DE=__________厘米.

12. 如图所示,已知点 C 是∠AOB 平分线上的点,点 P、P′分别在 OA、OB 上,如果要得到 OP=OP′,需要添 加以下条件中的某一个即可,请你写出所有可能的结果的序号:__________.

①∠OCP=∠OCP′;②∠OPC=∠OP′C;③PC=P′C;④PP′⊥OC.

三. 解答题 13. (2008 年济南)已知:如图,AB∥DE,AC∥DF,BE=CF.求证:AB=DE.

14. (2008 年北京)已知:如图,C 为 BE 上一点,点 A、D 分别在 BE 两侧.AB∥ED,AB=CE,BC=ED.求 证:AC=CD.

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15. 已知:如图所示,D、A、E 在一条直线上,△ADC≌△AEB,∠BAC=40°,∠D=45°. 求:(1)∠B 的度数;(2)∠BMC 的度数.

16. 如图,若点 C 是 AB 的中点,CD∥BE 且 CD=BE,则∠D 与∠E 相等吗?小华的思考过程如下: CD∥BE→∠1=∠B ① AC=CB,∠1=∠B,CD=BE→△ACD≌△CBE ② △ACD≌△CBE→∠D=∠E ③ 你能说明每一步的理由吗?

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17. 如图所示,AD 和 BC 相交于点 O,BE⊥AD,DF⊥BC,BE=DF,∠ABC=∠CDA,那么 AB=CD 吗?说明 理由.

四. 应用与探究题 18. 如图所示,小冰想测量一下他手中举起的等腰直角三角板的斜边 BC 是否水平,于是他采用如下行动,从 BC 的中点 D 处悬挂一物体,若自然下垂后刚好垂直通过 A,则说明: (1)AD⊥BC; (2)BC 处于水平位置,请解释其中的几何道理.

19. 在一次战役中,如图所示,我军阵地与敌军阵地隔河相望.为炸掉它需知我军阵地与碉堡的距离,在不能过河 测量又没有任何测量工具的情况下,一个战士想出一个办法,他面向碉堡方向站好,然后调整帽子,使视线通过帽檐 正好落在碉堡的底部,然后,他转过一个角度,保持刚才姿态,这时视线落在自己所在岸的某一点上,接着,他用步 测的办法量出自己与那个点的距离,这个距离就是他与碉堡间的距离. (1)按这个战士的方法,找出教室或操场与你距离相等的两点,并通过测量加以验证. (2)你能解释其中的道理吗?

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【试题答案】
一. 选择题 1. A 2. C 3. D 4. A 5. A 6. B

二. 填空题 7. 97° 10 8. ∠C ∠CAE ∠AEC AC AE CE ∠COD EO 10. 如:∠B=∠B1,AC=A1C1 等 11. 7 12. ①②④

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三. 解答题 13. 利用 ASA 证明 14. 证△ABC≌△CED(SAS) 15. (1)25°(2)65° 16. ①两直线平行,同位角相等;②SAS;③全等三角形对应角相等 17. 先证△BEO≌△DFO,再证△BOA≌△DOC 四. 应用与探究题 18. 可用 SSS 证△ABD≌△ACD 19. (1)略 (2)他两次所确定的三角形全等.

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