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2.1.1第2课时椭圆的定义及标准方程的灵活运用


第2章
一、选择题(每小题 5 分,共 20 分)

第 2 课时

1.已知 A(0,-1),B(0,1)两点,△ABC 的周长为 6,则△ABC 的顶点 C 的轨迹方程是( x y y x A. + =1(x≠± 2) B. + =1(y≠± 2) 4 3 4 3
2 2 2 2

)

x y C. + =1(x≠0) 4 3

2

2

y x D. + =1(y≠0) 4 3

2

2

2.椭圆的两焦点为 F1(-4,0)、F2(4,0),点 P 在椭圆上,若△PF1F2 的面积最大为 12,则椭 圆方程为(
2 2

) x2 y2 B. + =1 25 9 x2 y2 C. + =1 25 16 x2 y2 D. + =1 25 4 )

x y A. + =1 16 9

x2 y2 x2 y2 3.曲线 + =1 与 + =1(0<k<9)的关系是( 25 9 9-k 25-k A.有相等的焦距,相同的焦点 C.有不同的焦距,不同的焦点

B.有相等的焦距,不同的焦点 D.以上都不对

x2 → → 4.已知椭圆 +y2=1 的焦点为 F1,F2,点 M 在该椭圆上,且MF1· 2=0,则点 M 到 y 轴 MF 4 的距离为( 2 3 A. 3 ) 2 6 B. 3 C. 3 3 D. 3

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) x2 y2 5.已知椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,P 是椭圆上的一点,Q 是 PF1 的中点, 16 9 若|OQ|=1,则|PF1|为________. x2 y2 6.已知椭圆 + =1 的左、右焦点分别是 F1、F2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P 9 4 到 Q,使|PQ|=|PF2|,那么动点 Q 的轨迹方程为________. 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) x2 y2 7.设 F1、F2 为椭圆 + =1 的两个焦点,P 为椭圆上的一点,已知 P、F1、F2 是一个直角 9 4 |PF1| 三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,求 的值. |PF2|

-1-

y2 x2 8.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的焦点分别是 F1(0,-1),F2(0,1),且 3a2=4b2. a b (1)求椭圆的方程; (2)设点 P 在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2 的余弦值.

四、创新探究 9.(10 分)设 P(x,y)是椭圆 x2 y2 + =1 上的点且点 P 的纵坐标 y≠0,点 A(-5,0)、B(5,0), 25 16

试判断 kPA·PB 是否为定值?若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由. k

-2-

1、解析: |CA|+|CB|=4>2,∴点 C 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆.2a=4,a=2,c=1, b2=a2-c2=3 x2 y2 ∴方程为 + =1(y≠± 2). 3 4 答案: B 1 2、解析: S△PF1F2= ×8b=12,∴b=3, 2 又∵c=4,∴a2=b2+c2=25, x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 + =1. 25 9 答案: B x2 y2 x2 y2 3、解析: 它们的焦距都是 8,但是椭圆 + =1 的焦点在 x 轴上,而椭圆 + = 25 9 9-k 25-k 1(0<k<9)的焦点在 y 轴上. 答案: B 4、解析: a2=4,a=2,b=1,c= 3, |MF1|+|MF2|=4,|MF1|2+|MF2|2=12, ∴|MF1|· 2|=2, |MF ∴|yM|×2 3=2, ∴|yM|= 1 , 3

2 xM 1 2 3 ∴ + =1,∴|xM|= . 4 3 3

答案: A 5、解析: |OQ|=1,∴|PF2|=2|OQ|=2,|PF1|+|PF2|=8, ∴|PF1|=6. 答案: 6 6、解析: 设 Q(x,y),P(x0,y0),F1(- 5,0),

?x =x- 2 则? y ?y =2
0 0

5 ?x- 5?2 y2 x2 y2 0 0 ,代入 + =1 得 + =1. 9 4 36 16

答案:

?x- 5?2 y2 + =1 36 16
-3-

7、解析: 设|PF1|=m,|PF2|=n.由已知 c2=5,即 c= 5.
2 2 2 ?n +?2 5? =m (1)当 PF2⊥F1F2 时,? ?m+n=6,

?m= 3 , 解得? 4 ?n=3
14

m 7 |PF1| 7 ∴ = ,即 = . n 2 |PF2| 2

2 2 2 ?m=4, ? ?m +n =?2 5? , (2)当 PF1⊥PF2 时,? 解得? ? ?n=2. ?m+n=6,

m |PF1| ∴ =2,即 =2. n |PF2| |PF1| 7 综上, 的值为 或 2. |PF2| 2 8、解析: (1)由已知得 c=1,则 a2-b2=1. x2 y2 又 3a2=4b2,故 a2=4,b2=3.所求椭圆方程为 + =1. 3 4
? ?|PF1|+|PF2|=4, 5 3 (2)由? 解得|PF1|= ,|PF2|= . 2 2 ? ?|PF1|-|PF2|=1,

又|F1F2|=2,于是在△F1PF2 中,由余弦定理得 25 9 + -4 4 4 3 cos∠F1PF2= = 5 3 5 2× × 2 2 9、解析: 因为点 P 的纵坐标 y≠0,所以 x≠± 5.设 P(x,y). 所以 kPA= y y ,kPB= . x+5 x-5 y y y2 · = 2 . x+5 x-5 x -25

所以 kPA·PB= k

x2 y2 因为点 P 在椭圆 + =1 上, 25 16 x2 25-x2 所以 y2=16×?1-25?=16× . ? ? 25 25-x2 y2 把 y =16× 代入 kPA·PB= 2 k , 25 x -25
2

-4-

25-x2 16× 25 16 得 kPA·PB= 2 k =- . 25 x -25 16 所以 kPA·PB 为定值,这个定值是- . k 25

-5-


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