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三角函数图像及性质高考题分类归纳


第四讲
[知识能否忆起] 1.周期函数 (1)周期函数的定义:

三角函数的图像及性质

对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x),那 么函数 f(x)就叫做周期函数.T 叫做这个函数的周期. (2)最小正周期: 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期. 2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x

图象

定义域

R

R

{xx∈R且x≠ 2+
kπ,k∈Z

π

值域

[-1,1]

[-1,1]

R

?2kπ-π,π+ 2 2 ?
2kπ(k∈Z)上递增; 单调性 [2kπ-π,2kπ](k∈Z)上递增; [2kπ,2kπ+π](k∈Z)上递减

?kπ-π,π+ 2 2 ?
kπ(k∈Z)上递增

?2kπ+π,3π+ 2 2 ?
2kπ(k∈Z)上递减 π x= +2kπ(k∈Z)时,ymax=1; 2 最值 π x=- +2kπ(k∈Z)时,ymin= 2 -1


x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1;x =π+2kπ(k∈Z)时, ymin=-1

页 共8页

1

奇偶性 对称

奇函数

偶函数

奇函数

(kπ,0)(k∈Z) 中心 对称轴 方程 周期

?π+kπ,0? ?2 ?
(k∈Z)

?kπ,0?(k∈Z) ?2 ?

π x= +kπ(k∈Z) 2 2π

x=kπ(k∈Z)



π

一、y=Asin(ωx+φ)的有关概念 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0), x∈[0, +∞)表示一个振动量时 振幅 A 周期 2π T= ω 频率 1 ω f= = T 2π 相位 ωx+φ 初相 φ

二、用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图 用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示: x - φ ω φ π - + ω 2ω π 2 π-φ ω π 3π φ - 2ω ω 3π 2 2π-φ ω 2π

ωx+φ y=Asin(ωx+

0

0 φ)

A

0

-A

0

三、函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤



页 共8页

2

(一)最值 1.(10 福建)函数 f ( x) ? sin x cos x 最小值是= 。

2.①(08 全国二) .函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的最大值为



? ②(08 上海)函数 f(x)= 3sin x +sin( +x)的最大值是 2

③(09 江西)若函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x , 0 ? x ?

?
2

,则 f ( x ) 的最大值为

3.(08 海南)函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x 的最小值为

最大值为



4.(08 湖南)函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x 在区间 ?

?? ? ? 上的最大值是 , ?4 2? ?

5.(10 上海)函数 y ? 2cos x ? sin 2x 的最小值是
2

.



页 共8页

3

(三)单调性 1.(04 天津)函数 y ? 2 sin(

?
6 ]

? 2x) ( x ?[0, ? ]) 为增函数的区间是(

).

A. [0,

?
3

]

B. [

? 7?
,

12 12

C. [ ,

? 5?
3 6

]

D. [

5? ,? ] 6

2.函数 y ? sin x 的一个单调增区间是( A. ? ? , ? B. ? , ?



? ? ?? ? ? ??

? ? 3? ? ?? ? ?

C. ? ?, ?

? ?

?? ? ? ?

D. ?

? 3? ? , 2? ? ? ? ?

3.函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ?[?? ,0]) 的单调递增区间是( A. [ ?? , ?

) D. [?

5? ] 6

B. [?

5? ? ,? ] 6 6

C. [ ?

?
3

, 0]

?
6

, 0]

4.函数 y ? 2cos x 的一个单调增区间是
2

A. ( ?

? ?

, ) 4 4

B. (0,

?
2

)

C. (

? 3?
4 , 4

)

D. (

?
2

,? )

(四)周期性 1. (07 江苏卷)下列函数中,周期为 A. y ? sin

? 的是( 2

) C. y ? cos

x 2

B. y ? sin 2 x

x 4

D. y ? cos 4 x

2.(08 江苏) f ? x ? ? cos ? ? x ?

? ?

??

? ? 的最小正周期为 5 ,其中 ? ? 0 ,则 ? = 6?
). . ).
4

3.(04 全国)函数 y ?| sin | 的最小正周期是(

x 2

4.(1) (04 北京)函数 f ( x) ? sin x cos x 的最小正周期是

(2) (04 江苏)函数 y ? 2 cos 2 x ? 1 ( x ? R) 的最小正周期为(
第 页 共8页

5.(1)函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x 的最小正周期是 (2)(09 江西文)函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x 的最小正周期为 (3). (08 广东)函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)sin x 的最小正周期是 (4)(04 年北京卷.理 9)函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x 的最小正周期是 6.(09 年广东文)函数 y ? 2 cos ( x ?
2

. .

?
4

) ? 1是

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C. 最小正周期为

B. 最小正周期为 ? 的偶函数 D. 最小正周期为

? 的奇函数 2

? 的偶函数 2
?
( )

7.(04 年广东)函数 f(x) f(x) 是 ? sin 2 (x ? ) ? sin 2 (x ? ) 4 4 A.周期为 ? 的偶函数 C. 周期为 2 ? 的偶函数

?

B.周期为 ? 的奇函数 D..周期为 2 ? 的奇函数 )

2 8.(08 广东卷)已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin x, x ? R ,则 f ( x ) 是(

A、最小正周期为 ? 的奇函数 C、最小正周期为 ? 的偶函数
2

? 的奇函数 2 ? D、最小正周期为 的偶函数 2
B、最小正周期为 .

9.(浙江卷 2)函数 y ? (sin x ? cos x) ? 1 的最小正周期是 (五)对称性 1.(08 安徽)函数 y ? sin(2 x ? A. x ? ?

?
3

) 图像的对称轴方程可能是(

) D. x ?

?
6

B. x ? ?

?
12

C. x ? )

?
6

?
12

2.下列函数中,图象关于直线 x ? A y ? sin( 2 x ?

?
3

对称的是(

?
3

)

B y ? sin( 2 x ?

?
6

)

C y ? sin( 2 x ?

?
6

)

D y ? sin(

x ? ? ) 2 6

3. (07 福建)函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

π? ? 的图象( 3?



A.关于点 ? , 0 ? 对称

?π ?3

? ?

B.关于直线 x ?

π 对称 4



页 共8页

5

C.关于点 ? , 0 ? 对称

?π ?4

? ?

D.关于直线 x ?

π 对称 3
4? , 0) 中心对称,那么 ? 的最小值为 ( 3


4.(09 全国)如果函数 y ? 3cos(2 x ? ? ) 的图像关于点 ( (A)

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

? 2

(六)图象平移与变换

? 个单位后,得到函数 y=g(x)的图象,则 g(x)的解析式为 2 ? 2.(08 天津)把函数 y ? sin x ( x ? R )的图象上所有点向左平行移动 个单位长度,再把所得图象上 3 1 所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数是 2 ? 3.(09 山东)将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式是 4 ? 4.(09 湖南)将函数 y=sinx 的图象向左平移 ? ( 0 ? ? <2 ? ) 的单位后, 得到函数 y=sin ( x ? ) 的图象, 则 6
1.(08 福建)函数 y=cosx(x∈R)的图象向左平移

? 等于
5.要得到函数 y ? sin( 2 x ?

?
4

) 的图象,需将函数 y ? sin 2 x 的图象向

平移

个单位

6(1) (07 山东)要得到函数 y ? sin x 的图象,只需将函数 y ? cos ? x ? 平移 个单位

? ?

?? ? 的图象向 ??

(2) (全国一 8)为得到函数 y ? cos ? 2 x ? 向 平移 个单位

? ?

π? ? 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像 3?

(3)为了得到函数 y ? sin( 2 x ? 个单位长度

?
6

) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象向

平移

7.(2009 天津卷文)已知函数 f ( x) ? sin( wx ?

?
4

)( x ? R, w ? 0) 的最小正周期为 ? ,将 y ? f ( x) 的图像

向左平移 | ? | 个单位长度,所得图像关于 y 轴对称,则 ? 的一个值是( ) A

? 2

B

3? 8

C

? 4


D

? 8
页 共8页 6

(七)图象 1. (07 宁夏、海南卷)函数 y ? sin ? 2 x ?

y
? ? 3

? ?

1
? 6

π? ?π ? ? 在区间 ? ,π ? 的简图是( 3? ?2 ? y 1
? ? ?? O 3 2 ? 6



? ? 2

O
?1

?

x

?

x

?1

A.

B.

y

y
?
? 3

1
? ? 2 ? ? O 6

?

x

?

?1

? 2

? 6

1
? 3

O

? x

?1
D.

C.

2(浙江卷 7)在同一平面直角坐标系中,函数 y ? cos( 个数是 (A)0 (B)1 (C)2

x 3? 1 ? )( x ? [0, 2? ]) 的图象和直线 y ? 的交点 2 2 2

(D)4

3. (2006 年四川卷)下列函数中,图象的一部分如右图所示的是( ) (A) y ? sin ? x ?

? ?

??
? 6?

(B) y ? sin ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

(C) y ? cos ? 4 x ?

? ?

??
? 3?

(D) y ? cos ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

4. ( 2009 江 苏 卷 ) 函 数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A, ? , ? 为 常 数 ,

A ? 0, ? ? 0 )在闭区间 [?? , 0] 上的图象如图所示,则 ? =
5. ( 2009 宁 夏 海 南 卷 文 ) 已 知 函 数

.

f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 的 图 像 如 图 所 示 , 则

? 7? f? ? 12

? ?? ?





页 共8页

7

解答题 1. (2009 陕西卷文) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R(其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 且图象上一个最低点为 M (

?
2

) 的周期为 ? ,

2? , ?2) . 3

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? [0,

?
12

] ,求 f ( x) 的最值.

2.(2009 北京文) (本小题共 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 6 2? ?

3.(2009 福建卷文)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), 其中 ? ? 0 , | ? |? (I)若 cos

?
2

?
4

cos, ? ? sin

?? sin ? ? 0, 求 ? 的值; 4

(Ⅱ)在(I)的条件下,若函数 f ( x ) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于

? ,求函数 f ( x ) 的解 3

析式;并求最小正实数 m ,使得函数 f ( x ) 的图像象左平移 m 个单位所对应的函数是偶函数。



页 共8页

8

4. (08 福建文)已知向量 m ? (sin A,cos A), n ? (1, ?2) ,且 m n ? 0. (Ⅰ)求 tanA 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? tan A sin x( x ?R)的值域. (08 福建理) (已知向量 m=(sinA,cosA),n= ( 3, ?1) ,m·n=1,且 A 为锐角. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 4cos A sin x( x ? R) 的值域. 5.(2009 福建卷文)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), 其中 ? ? 0 , | ? |? (I)若 cos

?
2

?
4

cos, ? ? sin

?? sin ? ? 0, 求 ? 的值; 4

(Ⅱ)在(I)的条件下,若函数 f ( x ) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于

? ,求函数 f ( x ) 的解 3

析式;并求最小正实数 m ,使得函数 f ( x ) 的图像象左平移 m 个单位所对应的函数是偶函数。



页 共8页

9

(二) 1.已知向量 a ? ( 3 sin x, cos x) , b ? (cosx, cos x) ,记函数 f ( x) ? a ? b 。 (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x) 的最大值,并求此时 x 的值。 2.(04 年重庆卷.文理 17)求函数 y ? sin 4 x ? 2 3 sin x cos x ? cos 4 x 的最小正周期和最小值;并写出该函 数在 [0, ? ] 的单调递增区间. 3.(2009 湖北卷文) 在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 3a ? 2c sin A (Ⅰ)确定角 C 的大小:

?

?

? ?

(Ⅱ)若 c= 7 ,且△ABC 的面积为

3 3 2

,求 a+b 的值。

4. (2009 陕西卷文) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R(其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 且图象上一个最低点为 M (

?
2

) 的周期为 ? ,

2? , ?2) . 3

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? [0,

?
12

] ,求 f ( x) 的最值.

5.(2009 北京文) (本小题共 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 6 2? ?

6.(2009 重庆卷理)设函数 f ( x) ? sin( (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期.

?x ?

?x ? ) ? 2 cos 2 ?1 . 4 6 8

(Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,求当

4 x ? [0, ] 时 y ? g ( x) 的最大值. 3
7.(2009 天津卷理)在⊿ABC 中,BC= 5 ,AC=3,sinC=2sinA (I) 求 AB 的值: (II) 求 sin ? 2 A ?

? ?

??

? 的值 4?



页 共8页

10

8.(08 全国二 17)在 △ ABC 中, cos A ? ? (Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)设 BC ? 5 ,求 △ ABC 的面积.

5 3 , cos B ? . 13 5



页 共8页

11


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