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2017届云南省曲靖经开区一中高三第一次适应性考试数学文试题


绝密★启用前

曲靖经开区一中 2017 届高三第一次适应性考试卷

文 科 数 学
教师:浦仕国 第 I 卷(选择题 共计 60 分)

命题

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的,把正确答案填

在答题卡相应位置。 )

1、设集合 A ? {1,3,5,7} , B ? {x | 2 ? x ? 5} ,则 A ? B ? (
A.{1,3} B.{3,5} C.{5,7} ) B . 1 ? 3i

) D.{1,7}

2、复数 i ? 3 ? i ? 的共轭复数是(
A . 1 ? 3i D. ?1 ? 3i

C . ?1 ? 3i

?? ? ?? ? 3、已知向量 m ? ?1,2 ? , n ? ? a, ?1? ,若 m ? n ,则实数 a 的值为(
A . -2 D.2 B. ?

) C.

1 2


1 2

4、设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是(
A.若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? C.若 l //? , m ? ? ,则 l //m B.若 l ? ? , l //m ,则 m ? ? D.若 l //? , m//? ,则 l //m

5、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) 1 A. y ? B. y ? x2 C. y ? x3 D. y ? sin x x ? 6、要得到函数 y ? sin 2 x 的图象,只要将函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象( ) 3 ? ? A.向左平行移动 个单位 B.向左平行移动 个单位 3 6 ? ? C.向右平行移动 个单位 D.向右平行移动 个单位 3 6
?y ? 0 ? 7、不等式组 ? x ? 3 y ? 4 ,所表示的平面区域的面积等于 ( ?3 x ? y ? 4 ?
3 2 4 3 B. C. D. 2 3 3 4 8、执行如右图所示的程序框图,则输出 s 的值等于(
A. )



A.1

B.

1 2

C.0

D. ?

1 2

9、如图,网格纸上每个小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何
体的表面积为 A.96 C. 96 ? 4( 2 ?1)? B. 80 ? 4 2? D. 96 ? 4(2 2 ?1)?

10、 《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题: “今有五人分五钱,令
上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差 数列.问五人各得多少钱?” ( “钱” 是古代的一种重量单位).这个问题中,甲所得为( A. 钱 )

5 钱 4

B.

4 钱 3

C.

3 钱 2

D.

5 3

x2 y 2 11、设 F1 , F2 分别为椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与双曲线 C2 : a b

x2 y 2 ? ? 1 ? a1 ? 0,b1 ? 0? 的公共焦点,它们在第一象限内交于点 M , ?F1MF2 ? 90? ,若 a12 b12
椭圆的离心率 e =

3 ,则双曲线 C2 的离心率 e1 的值为( 4
B.

)

A.

9 2

3 2 2

C.

3 2

D.

5 4

12、若 a ? 0, b ? 0 ,函数 f ( x) ? 4 x3 ? ax2 ? 2bx ? 2 在 x ? 1 处有极值,则 ab 的最大值是
( ) A、9 B、6 C、3 D、2

第 II 卷(非选择题

共计 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡相应题中的横
线上.
2 13、已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3a9 ? 2a5 ,则公比 q ?



14、已知函数 f ( x) ? ln x ? ax2 在点 (2, f (2)) 处的切线的斜率是 ?

3 ,则 a ? ________. 2

2 15、 在平面直角坐标系 xoy 中, 点 F 为抛物线 x ? 8 y 的焦点, 则点 F 到双曲线 x ?
2

y2 ?1 9

的渐近线的距离为



16、下列四个命题:
①一个命题的逆命题为真,则它的否命题一定为真; ②等差数列{an}中,a1=2,a1,a3,a4 成等比数列,则公差为﹣ ; ③已知 a>0,b>0,a+b=1,则 + 的最小值为 5+2 ;

④在△ABC 中,若 sin2A<sin2B+sin2C,则△ABC 为锐角三角形. 其中正确命题的序号是 。 (把你认为正确命题的序号都填上)

三、解答题:本大题共 6 小题,共计 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ? ? 17、 (本小题满分 10 分)已知向量 a ? ? cos x ? sin x, 2sin x ? , b ? ? cos x ? sin x,cos x ? .令

? ? f ? x ? ? a ?b .
(1)求 f ? x ? 的最小正周期; (2)当 x ? ?

? ? 3? ? 时,求 f ? x ? 的最小值以及取得最小值时 x 的值. , ?4 4 ? ?

18、 (本小题满分 12 分)已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数, a1 ? 1 ,公比为 q ;等差数列

?bn ? 中, b1 ? 3 ,且 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn , a3 ? S3 ? 27, q ?
(1)求 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (2)设数列 ?cn ? 满足 cn ?

S2 . a2

9 ,求 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . 2Sn

19、 (本小题满分 12 分)随机调查某社区 80 个人,以研究这一社区居民在 20:00—22:00 时间段的休闲方式与性别的关系,得到下面的数据表: 休闲方式

跳广场舞
性别

看电视

合计

男 女 合计

10 10
20

50 10
60

60 20
80

(1)从这 80 人中按照性别进行分层抽样,抽出 4 人,则男女应各抽取多少人; (2)从第(1)问抽取的 4 位居民中随机抽取 2 位,恰有 1 男 1 女的概率是多少; (3) 由以上数据, 能否有 99%的把握认为在 20:00—22:00 时间段的休闲方式与性别有关系;

K2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) ,其中 n ? a ? b ? c ? d .

参考数据:

P(K 2 ? k0 )

0.15

0.10
2.706

0.05
3.841

0.025
5.024

0.010
6.635

k0

2.072

20、 (本小题满分 12 分)如图,在四面体 ABCD 中, CB ? CD,AD ? BD ,点 E,F 分 别是 AB,BD 的中点. (1)求证:直线 EF // 面 ACD ; (2)求证:平面 EFC ? 面 BCD ; (3) 若面 ABD ? 面 BCD 且 AD ? BD ? BC ? 1 ,求三棱锥 B ? ADC 的体积。 C
3 21、 (本小题满分 12 分)设 f ? x ? ? x ?

B F

E

D A

1 2 x ? 2x ? 5 . 2

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)若当 x ???1, 2? 时 f ? x ? ? m 恒成立,求 m 的取值范围。

22、 (本小题满分 12 分)已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的上顶点 P 在圆 a 2 b2
3 . 2
??? ? ??? ?

C : x 2 ? ? y ? 2 ? ? 9 上,且椭圆的离心率为
2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)若过圆 C 的圆心的直线 l 与椭圆 E 交于 A、B 两点,且 PA?PB ? 1 ,求直线 l 的方程;

曲靖经开区一中 2017 届高三第一次适应性考试卷 文科数学参考答案及评分标准
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 题 号 答 案 1 B 2 B 3 D 4 B 5 C 6 B 7 C 8 A 9 C 10 B 11 B 12 A

一、选择题解析
1、 【答案】B 考点:集合运算

2、 【答案】B

考点:复数的概念及运算.

【解析】 :因 i ? 3 ? i ? ? 1 ? 3i ,故其共轭复数是 1 ? 3i .应选 B. 3、 【答案】D 考点:向量垂直的充要条件

【解析】 :? m ? n ? m ? n ? ?1,2 ? ? ? a, ?1? ? a ? 2 ? 0 ? a ? 2 4、 【答案】B 考点:空间线面垂直平行的判定与性质

??

?

?? ?

【解析】 : A 中线面可能垂直可能斜交或平行或直线在平面内; B 中由线面垂直的判定可知结 论正确;C 中两条直线可能平行或异面;D 中两直线可能平行相交或异面 5、 【答案】C 考点:三角函数及幂函数的函数性质.

【解析】 : 由题求定义域内既是奇函数又是增函数为增函数, A.y ? 有减有增且为偶函数.

1 为减函数. B.y ? x2 , x
3

D. y ? sin x .有减有增,C. y ? x 为奇函数且为增函

数,满足. 6、 【答案】B 考点:三角函数图象变换. 【 解 析 】: 将 函 数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 的图象向左平行移动

? 个单位,可得 6

? ? ?? ?? y ? sin ?2? x ? ? ? ? ? sin 2 x 的图象,故选 B. 6 ? 3? ? ?

7、 【答案】C

考点:不等式表示平面区域

【解析】 :不等式对应的可行域为直线 y ? 0, x ? 3 y ? 4,3x ? y ? 4 围成的三角形,顶点为

? 4, 0 ? , ? ?

4 ? ,0? ?3 ?

?1,1? ,所以面积为 3
8、 【答案】A 【 解 考点:算法流程图的识读和理解. 析 】 : 因

4

cos 2? ? 1, cos

5? 1 4? 1 2? 1 ? 1 ? , cos ? ? , cos ? ? ?1, cos ? ? , cos ? , cos 0 ? 1 , 故 3 2 3 2 3 2 3 2

当 i ? ?1 输 出 s ,其值为 1 ,所以应选 A. 9、 【答案】C 【命题意图】本题考查三视图、几何体表面积等基础知识,意在考查基本运

算能力和空间想象能力. 【解析】 由三视图可知,该几何体是由一个棱长为 4 的正方体上方挖去一个底面半径为 2, 高为 2 的圆锥,且圆 锥的底面恰好是正方体上底面正方形的内切圆,所以该几何体的表面积为:

6 ? 42 ? ? ? 22 ? 2? ? 2 ? 22 ? 22 ? 96 ? 4(2 2 ?1)? , 故选 C.
10、 【答案】B 【解析】设所成等差数列的首项为 a1 ,公差为 d ,则依题意,有

5? 4 ? d ?5 ?5a1 ? , 2 ? ? ?a1 ? a1 ? d ? a1 ? 2d ? a1 ? 3d ? a1 ? 4d
解得 a1 ? 11、 【答案】B

4 1 , d ? ? ,故选 B. 3 6
【命题意图】本题主要考查椭圆与双曲线的性质,意在考查运算能力.

【解析】由椭圆与双曲线的定义,知 | MF 1 | ? | MF 2 |? 2a , | MF 1 | ? | MF2 |? 2a1 ,所以

| MF1 |? a ? a1 , | MF2 |? a ? a1 .因为 ?F1MF2 ? 90? ,所以 | MF1 |2 ? | MF2 |2 ? 4c2 ,
2 即 a2 ? a1 ? 2c2 ,即 ( )2 ? ( )2 ? 2 ,因为 e ?

1 e

1 e1

3 3 2 ,所以 e1 ? ,故选 B. 4 2

12、 【答案】A

考点:基本不等式

【解析】 :求出导函数,利用函数在极值点处的导数值为 0 得到 a,b 满足的条件,利用基本

不等式求出 ab 的最值

解:由题意,求导函数 f′ (x)=12x -2ax-2b,∵在 x=1 处有极值,

2

∴a+b=6,∵a>0,b>0, ∴ab≤(

a?b 2 ) =9,当且仅当 a=b=3 时取等号,以 ab 的最大值等于 9,答案为 A 2

点评:本题考查函数在极值点处的导数值为 0、考查利用基本不等式求最值,需注意:一 正、二定、三相等.

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题 号 答 案 13 14
1 2

15

16
① ③

2

10 5

13、 【答案】 2
定义及运用.

2 2 【解析】 :因 a3 a9 ? a6 ,故 q ? ? 2a5

a6 ? 2. a5

考点:等比数列的

14、 【答案】
算能力.

1 2

【命题意图】本题考查导数几何意义等基础知识,意在考查基本运

【解析】由题意,得 f ?( x ) ? 解得 a ?

1 1 3 ? 2ax ,则由导数的几何意义,知 f ?(2) ? ? 4a ? ? , x 2 2

1 . 2

15、 【答案】

10 5

考点:抛物线及双曲线的基本性质及点到直线距离公式.

【解析】试题分析:由已知得 F(0,2) ,渐近线方程为 y ? ?3 x ,然后由点到直线距离公 式得,

2 10 . ? 5 10
考点:命题的真假判断与应用.

16、 【答案】①③

【解析】试题分析:①利用命题的逻辑关系可判断;②根据等差数列和等比数列的性质判断 ③根据条件,进行变形即可;④根据正弦定理得出边的关系,进行判断. 解:①一个命题的逆命题与其否命题为等价命题,故正确; ②等差数列{an}中,a1=2,a1,a3,a4 成等比数列,则公差为﹣ 或零,故错误;

③已知 a>0,b>0,a+b=1,则 + =

+

=5+

+

≥5+2

,故正确;

④在△ABC 中,若 sin2A<sin2B+sin2C,可推出 a2<b2+c2,A 为锐角,但不能得出是锐角三角 形,故错误. 故答案为①③.

三、解答题:本大题共 6 小题,共计 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ? ? 17、 (本小题满分 10 分)已知向量 a ? ? cos x ? sin x, 2sin x ? , b ? ? cos x ? sin x,cos x ? .令

? ? f ? x ? ? a ?b .
(1)求 f ? x ? 的最小正周期; (2)当 x ? ?

? ? 3? ? 时,求 f ? x ? 的最小值以及取得最小值时 x 的值. , ?4 4 ? ?

解: f ? x ? ? ? cos x ? sin x ?? cos x ? sin x ? ? 2sin x ? cos x
?? ? cos2 x ? sin 2 x ? 2sin x cos x ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 sin ? ? 2 x ? ? .????????
? 4?

??3 分 (1)由最小正周期公式得: T ? (2) x ? ?

2? ? ? .??????????5 分 2

? 3? 5? ? ? 3? 7? ? ? ? 3? ? ,则 x = , , ? ,则 2 x ? ? ? , ? ,令 2 x ? ? 4 2 8 4 ? 4 4 ? ?4 4 ?
? ? 5? ? ? 5? 3? ? , ? 单调递减,在 ? , ? 单调递增, ?4 8 ? ? 8 4 ?

从而 f ? x ? 在 ? 即当 x ?

5? 时,函数 f ? x ? 取得最小值 ? 2 .??????????10 分 8

考点:三角函数的图像和性质

解题反思: (1)利用向量的数量积运算公式及二倍角的三角函数、辅助角公式整理可得
?? ? f ( x) ? 2 sin ? 2 x ? ? , 4? ?
则周期易得; (2)讨论函数 f ? x ? 在 x ? ? 取得最小值时 x 的值 18、 (本小题满分 12 分)已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数, a1 ? 1 ,公比为 q ;等差数

? ? 3? ? 的单调性,即可求出 f ? x ? 的最小值以及 , ?4 4 ? ?

列 ?bn ? 中, b1 ? 3 ,且 ?bn ? 的前 n 项和为 S n , a3 ? S3 ? 27, q ?

S2 . a2 9 ,求 ?cn ? 的前 n 项 2Sn

(1)求 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; 和 Tn .

(2)设数列 ?cn ? 满足 cn ?

解: (1)设数列 ?bn ? 的公差为 d ,

?a3 ? S3 ? 27 ?q 2 ? 3d ? 18 ?q ? 3 ? ? ?? ?? ? an ? 3n ?1 , ? ? S2 2 q ? d ? 3. ?6 ? d ? q ? ? ? a2 ?

bn ? 3n ??????????6 分
(2)由题意得: S n ?

n ? 3 ? 3n ? , 2

cn ?

? 9 9 2? 1 1 1 ? ? ? ? 3( ? ) ??????????9 分 ? ? 2Sn 2 3 ? n n ? 1 n n ? 1 ? ? ? ?

1 1 1 1 1 3n ??????????12 分 Tn ? 3[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 2 2 3 n n ?1 n ?1
考点:1、等差数列与等比数列;2、数列的求和.

解题反思: (1)利用等差数列与等比数列的关系式,列出方程,即可求出通项公式.
(2)表示出 cn ?

9 ,利用裂项求和,求解即可. 2Sn

19、 (本小题满分 12 分)随机调查某社区 80 个人,以研究这一社区居民在 20:00—22:00 时间段的休闲方式与性别的关系,得到下面的数据表: 休闲方式 性别 男 女 合计 看电视 看书 合计

10 10 20

50 10 60

60 20 80

(1)从这 80 人中按照性别进行分层抽样,抽出 4 人,则男女应各抽取多少人; (2)从第(1)问抽取的 4 位居民中随机抽取 2 位,恰有 1 男 1 女的概率是多少; (3) 由以上数据, 能否有 99%的把握认为在 20:00—22:00 时间段的休闲方式与性别有关系.

K2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) ,其中 n ? a ? b ? c ? d .

参考数据:

P(K 2 ? k0 )

0.15

0.10
2.706

0.05
3.841

0.025
5.024

0.010
6.635

k0

2.072

解: (1)这 80 人中,男人 60 人,女人 20 人,而男女人数之比为 3:1,
所以分层抽样,男、女抽出的人数分别为 3 人、1 人.??????????3 分 (2)从 4 人中随机抽出两人共有 6 种等可能结果,而一男一女共有 3 种结果,所以根据古 典概型可得,从第(1)问抽取的 4 位居民中随机抽取 2 位,恰有 1 男 1 女的概率是

p?

1 .??????????7 分 2
2 2

(3)由独立性检验 K 计算公式得, K ?

80 ? 6.635 ,所以由表格中参考数据知, 9

有 99%的把握认为在 20:00——22:00 时间段的休闲方式与性别有关 系.??????????12 分 考点:分层抽样,古典概型概率;独立性检验

解题反思: (1)分层抽样各层要按比例抽取; (2)本题考察的是古典概型概率,需求得所
有基本事件的种数与满足题意的基本事件种数,求其比值即可; (3)根据样本提供的 2×2 列联表,得 K ≥6.635 的概率约为 0.01,由此能推导出有 99%的把握认为“在 20:00-22: 00 时间段的休闲方式与性别有关系 20、 (本小题满分 12 分)如图,在四面体 ABCD 中, CB ? CD,AD ? BD ,点 E,F 分 别是 AB,BD 的中点. (1)求证:直线 EF // 面 ACD ; (2)求证:平面 EFC ? 面 BCD ; (3)若面 ABD ? 面 BCD 且 AD ? BD ? BC ? 1 ,求三棱锥 B ? ADC 的体积。 D C F B
2

E

解: (1)? EF 是 ? BAD 的中位线,所以 EF // AD

A

,AD ? 平面ACD ? EF // 平面A CD ??????????3 分 又 EF ? 平面ACD

() 2 ? EF // AD,A D ? B D ?B D ? EF 又?BD ? C F ? B D ? 面B C D 又B D ? 面E FC ? 面E FC ? 面B C D
(3)因为面 ABD ? 面 BCD ,且 AD ? BD 所以 AD ? 面BCD ,由 BD ? BC ? 1 和 CB ? CD 所以 S ?BCD ? 得 ?BCD 是正三角形 ??????????7 分

1 3 3 ? 1? ? 2 2 4

1 1 3 3 ??????????12 分 VB-ACD ? VA-BCD ? S?BCD ? AD ? ? ?1 ? 3 3 4 12
考点: (1)线与面平行的判定。 体积。 (2)面与面垂直的判定。 (3)等体积法求三棱锥的

解题反思:1)证明线与面平行,可运用线与面平行的判定定理,转化为证线与平面内的
线平行来证。结合题目 中的中点条件,可运用中位线的性质得证。 (2)证明面面垂直,可利用面面垂直的判定定理,即:化为线与面的垂直来证。由题条件 可发现 BD ? 面BCD ,则可证得。 (3)由题为求三棱锥的体积,可利用等体积法,灵活选用地面和顶点来求,结合条件可选 择 VA? BCD 来算体积。

3 21、 (本小题满分 12 分)设 f ? x ? ? x ?

1 2 x ? 2x ? 5 . 2

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)若当 x ???1, 2? 时 f ? x ? ? m 恒成立,求 m 的取值范围。
' 2 解: (Ⅰ)由 f ? x ? ? 3x ? x ? 2 ? 0 得 x ? 1 或 x ? ?

2 所以函数的单调增区间为 3,

2? ? ? ??, ? ? , ?1, ?? ? ; 3? ?

单调减区间为 ? ? , 1? ??????????6 分 (Ⅱ) 根据上一步知函数在区间 ? ?1, ? ? 上递增, 在区间 ? ? ,1? 上递减, 在区间 ?1, 2? 上 3 3

? 2 ? 3

? ?

? ?

2? ?

? 2 ? ? ?

递增,又 f ? ?

11 ? 2? ? ? 6 ? f ? 2 ? ? 7 ,所以在区间 ??1, 2? 上 f max ? 7 27 ? 3?

要使 f ? x ? ? m 恒成立,只需 m ? 7 即可??????????12 分 考点:函数导数求单调区间及最值

解题反思: (Ⅰ) 由原函数求得函数的导函数,由导数值的正负可得到函数的增减区间; (Ⅱ)
由函数在区间 ? ?1, 2? 上的单调性可求得在该区间上函数的最大值,借助于最值得到 m 的取 值范围

x2 y 2 22、 (本小题满分 12 分)已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的上顶点 P 在圆 a b
C : x 2 ? ? y ? 2 ? ? 9 上,且椭圆的离心率为
2

3 . 2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)若过圆 C 的圆心的直线 l 与椭圆 E 交于 A、B 两点,且 PA?PB ? 1 ,求直线 l 的方程.
2 解: (1)依题意,令 x ? 0 时, 0 ? ? y ? 2 ? ? 9 ,解得 y ? 1或y ? ?5 , 2

??? ? ??? ?

∴点 P 的坐标为 ? 0,1? ,即 b ? 1 , 又∵ e ?

c 3 ,解得 a ? 2 , ? a 2

∴椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分 4

(2)∵直线 l 经过圆心 C ? 0, ?2? , ①直线 l 的斜率不存在时,不合题意. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5分 ②直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,

? y ? kx ? 2 ? 2 2 联立 ? x 2 , 消去 y 并整理, 得:?1 ? 4k ? x ? 16kx ? 12 ? 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 ? ? y ?1 ?4

2 2 2 ∵ ? ? 256k ? 48 1 ? 4k ? 0 ,解之,得 k ?

?

?

3 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 分 4

由韦达定理可得 x1 ? x2 ?

16k 12 , x1 x2 ? , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

又∵ y2 ? kx2 ? 2, y1 ? kx1 ? 2 , ∴ y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 4, y1 y2 ? ? kx1 ? 2?? kx1 ? 2? ? k x1x2 ? 2k ? x1 ? x2 ? ? 4 ,
2

∴ PA?PB ? ? x1 , y1 ? 1?? x1 , y1 ? 1? ? x1 x2 ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1

??? ? ??? ?

? ?1 ? k ?

2

? x1x2 ? 3k ? x1 ? x2 ? ? 9 ?
1 ? 4k
2

12 ?1 ? k 2 ? 1 ? 4k 2

?

48k 2 ? 9 ???????? 10 分 1 ? 4k 2

12 ?1 ? k 2 ? ? 48k 2 ? 9 ? 36k 2

?

21 ?1, 1 ? 4k 2

2 解之,得 k ? 5 ,即 k ? ? 5 ,此时 ? ? 0 ,

∴直线 l 的方程为 y ? 5x ? 2 或 y ? ? 5x ? 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 考点:直线与圆锥曲线的位置关系. 试题分析: (1)上顶点为 ? 0, b ? ,代入圆的方程,求得 b ? 1 ,离心率

c 3 ,求得方程为 ? a 2

x2 ? y 2 ? 1; (2)直线 l 经过圆心 C ? 0, ?2? ,①直线 l 的斜率不存在时,不合题意;②直线 4
l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,联立直线的方程
2 和椭圆的方程,有 k ?

??? ? ??? ? 3 16k 12 , x x ? PA ? PB ? 1 ,可解得 ,且 x1 ? x2 ? . 代入 1 2 4 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

k ? ? 5 ,进而求出直线方程.
【方法点晴】涉及直线与椭圆的基本题型有: (1)位置关系的判断; (2)弦长、弦中点问题; (3)轨迹问题; (4)定值、最值及参数范围问题; (5)存在性问题.常用思想方法和技巧有: (1)数形结 合思想; (2)设而不求; (3)坐标法; (4)根与系数关系. 研究直线与圆、直线与圆锥曲线

的位置关系问题,往往易忽视直线的斜率不存在的情况而导致失解.


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