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函数单调性的应用


求函数的值域 函数的单调性刻画出函数的变化趋势. 因此可 借助函数的单调性、最值、以及函数在其定义域端点 的极限 来求函数的值域. 例 求函数 f ( x) = x + x 2 - 3 x + 2 , x ∈ ( - ∞,1 +的值域. 解 当 x ∈( - ∞,1 +时 ,有 f′ ( x ) = 1 + 2 x - 3 2 x 2 - 3 x + 2 = 1 + 2 x - 3 (2 x - 3) 2 - 1 < 1 + 2 x - 3 (2 x - 3) 2 = 1 + 2 x - 3 3 - 2 x = 0 , 所以 f ( x) 在( - ∞,1 +上 单调递减. ∵limx →- ∞ 1 f ( x) = limx →- ∞ 1 x + x 2 - 3 x + 2 = limx →- ∞ x - x 2 - 3 x + 2 3 x - 2 = limx →- ∞ 1 + 1 - 3 x + 2 x 2 3 - 2 x = 2 3 , ∴limx →- ∞ f ( x) = 3 2 . 又因 f (1) = 1 , 所以函数 f ( x ) 的值域为 [ 1 , 3 2 ].

? 讨论方程实根的情况 ? 方程 f ( x) = 0 的实根是函数 y = f ( x) 的图像与 x 轴交点的横 坐标 ,所以若函数 f ( x) 是[ a , b]上的连 续单调函数 ,且 f ( a) f ( b) < 0 ,则方程 f ( x) = 0 在 ( a , b) 内有唯一解;若函数 f ( x) 是 ( a , b) 内的连续单 调函数 ,则方程 f ( x) = 0 在( a , b) 内最 多有一实根. ? 例 试证方程 x 3 - 3 x 2 + a = 0 (其中 a 为常 数) 在区间(0 ,1) 内不可能有两个不同的实根. ? 证明 设 f ( x) = x 3 - 3 x 2 + a ,则 f′( x) = 3 x 2 - 6 x = 3 x ( x - 2) . 因为当 0 < x < 1 时 , f′( x) < 0 ,此时函数 f ( x) 单调递减 ,所以 方程 f ( x) = 0 在(0 ,1) 内不可能有两 个不相同的实数根.

? 证明不等式 ? 利用函数单调性证明不等式 ,首先要引进适当 的辅助函数 , 将不等式的证明问题转化为比较两个 函数值的大小问题. ? 例 已知 m、n 是正整数 ,且 1 < m < n ,证明 (1 + m) n > (1 + n) m. ? 证明 所证不等式两端取自然对数 ,得 nln (1 + m) > mln (1 + n) , 即 ln (1 + m) m > ln (1 + n) n . 令 f ( x) = ln (1 + x) x ,考查 f ( x) 的单调性. ∵f′( x) = x 1 + x - ln (1 + x) x 2 , 且当 x ≥2 时 x 1 + x < 1 ,ln (1 + x) > 1 , ∴f′( x) < 0. 由函数 f ( x) 在*2 , + ∞) 上单 调递减知 ln (1 + m) m > ln (1 + n) n , ∴(1 + m) n > (1 + n) m .

? 解决恒成立问题 ? 利用单调性解决恒成立问题的依据是 : f ( x) > 0 (或 f ( x) < 0) 在区间 D 内恒成立 ,则 f ( x) min > 0 (或 f ( x) max < 0) 在区间 D 内恒成立. ? 例 已知不等式 x 4 + 2 ax 2 - a + 2 > 0 对任意 实数 x 恒成立 ,求实数 a 的 取值范围. ? 解 令 f ( x) = x 4 + 2 ax 2 - a + 2 ,则 f′( x) = 4 x 3 + 4 ax = 4 x ( x 2 + a) . (1) 若 a ≥0 ,则当 x > 0 时 f′( x) > 0 ;当 x < 0 时 , f′( x) < 0 ,知 f ( x) 的最小值是 f (0) = - a + 2. 因此 , f ( x) > 0 在 x ∈ 上恒成立 Ζ - a + 2 > 0 , 即 a < 2 ,所以 0 ≤a < 2. (2) 若 a < 0 ,则当 x < - - a或 0 < x < - a 时 , f′( x) < 0 ;当 - - a < x < 0 或 x > - a时 , f′ ( x) > 0 ,知 f ( x) 的最小值是 f ( ± a) = - a 2 - a + 2. 因此 f ( x) > 0 在 x ∈ 上恒成立 Ζ - a 2 - a + 2 > 0 ,即 - 2 < a < 1. 所以 - 2 < a < 0. 由(1) 、 (2) 知 ,实数 a 的取值范围为( - 2 ,2) .

? 研究几何问题 ? 例 过平面内两点的圆中 ,大圆的劣孤较短. 分析 该问题的实质是证明 过 A 、B 两点的圆 中 ,劣孤A B的长度随圆半径的增大反而减小. 为此 需构建A B的孤长与圆半径的函数关系式. ? 证明 如图 , A B 是 ⊙O 的弦 , 过 O 作 OM ⊥A B 于 M ,设圆半径为 R , B M = L , ∠B OM =α, 劣孤 A B 的长为 c. ∵sinα= L R , ∴α= arcsin L R , 故 c = R ·2α= 2 Rarcsin L R , c′= 2arcsin L R - 2L R 2 - L 2 . 由α为锐角 ,知α< tanα, 而 tanα= α R 2 - L 2 , ∴c′= 2arcsin L R - 2L R 2 - L 2 = 2α- 2tanα< 0. 所以劣 孤长 c 是半径 R 的单调递减函数 ,即平 面内过两点的圆中大圆的劣孤 较短. 注 例 6 可以用来解决球面上两点之间的最短 距离 ,就是经过这 两点的大圆在这两点间的一段劣 孤的长度这一问题.


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