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福州市八县(市)协作校2013--2014学年第一学期半期联考高三文科数学试卷


福州市八县(市)协作校 2013--2014 学年第一学期半期联考 高三文科数学试卷
【完卷时间:120 分钟;满分:150 分】 命题:连江黄如论中学 郑永通 高 雄 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.设 U ? ?? 1,2,3,4,5?, A ? ?? 1,5?, B ? ?2,4? ,则 B ? ?CU A? ? ( ? ) A. {2} B. {2,4} C. {2,3,4} D. {1,3,4,5}

2.幂函数 f ?x ? ? k ? x ? 的图象过点 A.

,则 k ? ? =( ? ) C.

1 2

B.1

3 2

D.2

3.已知数列 {a n } ,那么“对任意的 n ? N * ,点 Pn (n, a n ) 都在直线 y ? 2 x ? 1 上” 是“ {a n } 为等差数列”的( ? ) A. 必要而不充分条件 C. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 D. 充分而不必要条件

4.已知奇函数 f (x) 满足 f ( x ? 3) ? f ( x) ,且当 x ? (0,2) 时, f ( x) ? 2 x ,则 f ?5? = (?)

1 D. ? 2 2 2 5.已知等比数列 {a n } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a 2 =1,则 a1 =( ? )
A.32 B.2 C. A.

6.下列命题中,真命题的个数有( ? ) ① ?x ? R, x 2 ? x ?

1 2

B.

2 2

C.

2

D.2

1 ?0; 4

② ?x ? 0, ln x ?

1 ? 2; ln x

③若命题 p ? q 是真命题,则 ? p 是真命题; A.1 个 B.2 个
高三文科数学 1 —

④ y ? 2 x ? 2? x 是奇函数. D.4 个

C.3 个
— (共 4 页)

7. 函数 f ?x ? ? ln x ? x ? 3 的零点所在的区间为( ? ) A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)

8.已知函数 f ?x ? ? A sin??x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ? 分图象如图所示,则 f ?0? ? ( ? ) A. 1 B.

? ?

??

? 的部 2?

2

C. 2

D. 2 2
? ?

9.在 ?ABC 中, M 是 BC 的中点, AM ? 4 ,点 P 在 AM 上,且满足 AP ? 3 PM ,则

??? ??? ??? ? ? ? PA ? ( PB ? PC ) 的值为( ? )
A. ? 8 B. ? 6 C. ?4 10.已知 R 上可导函数 f ( x) 的图像如图所示, 则不等式 x ? 2 x ? 3 f ?( x) ? 0 的解集 y 为( ? )
2

?

?

D.6

A. ? ??, ?1? ? ? 3, ?? ?

B. ? ??, ?2 ? ? ?1, 2 ?

C. ? ??, ?1? ? ? ?1, 0 ? ? ? 2, ?? ? D. ?? ?,?1? ? ?? 1,1? ? ?3,???
-2 -1

O

1

2

x

11.已知函数 f ?x ? ? ?

? x , ( x ? 1) ?

?2 x , ( x ? 1) ? 实数 k 的取值范围为( ? ) A. ? 0, ? ? ? B. ?1, ? ? ?

,若关于 x 的方程 f ? x ? ? k 有 3 个不同的实根,则 C. ? 0, 2 ? D. ?1, 2?

12.已知函数 f ? x ? ? x 2 ? 2ax ? b ? x ? R ? ,给出下列命题: (1) f (x) 必是偶函数; (2)当 f ?0? ? f ?2? 时, f (x) 的图象关于直线 x ? 1对称; (3)若 a 2 ? b ? 0 ,则 f (x) 在区间 ?a,??? 上是增函数; (4) f (x) 有最大值 a 2 ? b . 其中正确的命题序号是( ? ) .. A. (3) B.(2) (3) C.(3) (4) D.(1) (3) (2)

高三文科数学

2 —



(共 4 页)

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡相应横线上. 13.曲线 f ( x) ? x3 ? x ? 2 在点 P0 处的切线平行于直线 y ? 4 x ? 1 ,则 P0 点坐标为 ________; 14.已知 a ? 1 , a ? b ?
?

? ?

? ? 1 1 ?? ?? , ? a ? b ? ? ,则 a 与 b 的夹角等于______; 2 2 ? ?

2

15.如图 ?ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD ? AC, sin ?BAC ?

2 2 , 3

AB ? 2 , AD ? 1,则 BD 的长为________;

16.函数 f M ( x) 的定义域为 R,且定义如下: f M ? x ? ? ?

(x ?2, ? M ) (其中 M 是实数集 ?0, ? x ? M ?

R 的非空真子集) ,在实数集 R 上有两个非空真子集 A、B 满足 A ? B ? ? ,则函 数 F ?x ? ?

f A ?x ? ? f B ?x ? ? 2 的值域为________. f A? B ? x ? ? 2

三、解答题:本大题 6 小题共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知命题 p : x ? A ,且 A ? {x | a ? 1 ? x ? a ? 1} ,命题 q : x ? B , 且B? x y ?

?

x 2 ? 3x ? 2 .

?

(Ⅰ)若 A ? B ? R ,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 p 是 q 的充分条件,求实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分)已知各项均不相等的等差数列 ?a n ? 的前四项和 S 4 ? 14 , a 3 是

a1 、 a 7 的等比中项.
(Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

?

1 ? ? 的前 n 项和 Tn . an an ?1 ? ?

高三文科数学

3 —



(共 4 页)

x 19.( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 a ? ( 3 s i n ?

?

? c oxs , 1)b ? (cos x, m) , 且 函 数 ,

? ? ? f ( x) ? a ? b 的图象过点 M ( , 0) . 12 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)将函数 f ( x) 的图象各点纵坐标不变,横坐标伸长为原来的 2 倍,然后向左平

? 个单位长度,得函数 g ( x) 的图象.若 a 、 b 、 c 分别是△ABC 三个内角 A、B、 3 C 的对边, a ? c ? 4 ,且当 x ? B 时, g ( x) 取得最大值,求 b 的取值范围.


20.(本小题满分 12 分)某机械厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元, 每年生产 x 台,需另投入成本为 C ? x ? 万元,当年产量不足 80 台时, C ?x ? ?

当年产量不小于 80 台时,C ?x ? ? x 3 ? 29950 x ? 1998750 (万元).通过市场分析, 若每台售价为 50 万元,该厂当年生产的该产品能全部销售完. (Ⅰ)写出年利润 L ? x ? 万元关于年产量 x 台的函数解析式; (Ⅱ) 年产量为多少台时, 该厂在这一产品的生产中所获利润最大, 最大利润是多少?

1 2 x ? 10 x (万元); 3

21.(本小题满分 12 分)已知数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,a1 ? 1 ,S n 是 3 与 ? a n 的等差 中项( n ? N * ). (Ⅰ)求数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)是否存在正整数 k ,使不等式 k ? ?1? an 2 ? S n ( n ? N * )恒成立,若存在,求出
n

k 的最大值;若不存在,请说明理由.

22.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间;

1 ? ln x . x

1? 上不是单调函数,求实数 t 的取值范围; ?( t ? 0 ) 2? a (Ⅲ)如果当 x ? 1时,不等式 f ( x) ? 恒成立,求实数 a 的取值范围. x ?1
(Ⅱ) 若函数 f ( x) 在区间 ? t , t ?

? ?

高三文科数学

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福州市八县(市)协作校 2013—2014 学年第一学期半期联考 高三数学(文科)参考答案
一、选择题 1-6 B C 二、填空题 D D B C 7-12 C A B D D A

13. (1,0)或(?1,?4) 三、解答题 17. (本小题满分 12 分)

14. 45 ?

15.

3 3

16. ? ? 1

解:(Ⅰ) 由题意知, B ? x x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ? ? x x ? 1或x ? 2? ???2 分 ∵ A ? B ? R ,且 A ? {x | a ? 1 ? x ? a ? 1} ∴

?

?

∴ 即所求实数 a 的取值范围是 ?1, 2 ? ∵ p 是 q 的充分条件, ∴ A? B ∴ a ?1 ? 1或 a ?1 ? 2 ∴ a ? 0或 a ? 3 18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设等差数列 ?a n ? 的公差为 d

?a ? 1 ? 1 ? ?a ? 1 ? 2 1? a ? 2

???5 分 ???6 分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 B ? ? x x ? 1或x ? 2? ,且 A ? {x | a ? 1 ? x ? a ? 1} ??7 分 ???8 分 ???11 分 ???12 分

即所求实数 a 的取值范围是 ?a a ? 0或a ? 3?

? S 3 ? 9 , a 3 是 a1 、 a 7 的等比中项
?3a1 ? 3d ? 9 ?? 2 ??a1 ? 2d ? ? a1 ? ?a1 ? 6d ?
解得: d ? 1 或 d ? 0 (舍去) ????????????2 分

? a1 ? 2

?????????4 分 ?????????6 分

? a n ? 2 ? ?n ? 1? ? 1 ? n ? 1
高三文科数学 5 — —

(共 4 页)

(Ⅱ)?

1 1 1 1 ? ? ? a n a n ?1 ?n ? 1??n ? 2? n ? 1 n ? 2

???????????8 分

? Tn ?
?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? ? 2 3 3 4 n ?1 n ? 2
1 1 n ? ? 2 n ? 2 2?n ? 2?

???????????10 分 ?????????12 分

19.解: (Ⅰ) f ( x) ? ∵

?? 1 ? 3 1 sin 2 x ? ?1 ? cos 2 x ? ? m ? sin ? 2 x ? ? ? m ? .?2 分 6? 2 ? 2 2
? ?

函数 f ( x) ? a ? b 的图象过点 M (

?

12

, 0)



1 1 ? ? ?? sin ? 2 ? ? ? ? m ? ? 0 ,解得 m ? . ???????4 分 2 2 ? 12 6 ?


由 2k? ?

?? ? f ( x) ? sin ? 2 x ? ? . 6? ?
?
2 ? 2x ?

?
6

? 2k? ?
? ?

?
2

?k ? Z ? ,得 k? ? ?
?
6 , k? ?

6

? x ? k? ?

?
3

∴函数 f ( x) 的单调增区间为 ? k? ? (Ⅱ) g ( x) ? sin ? ? 2 x ? ∵ ∴

??
3? ?

(k ? Z ) .?????6 分

?1 ?2

?
3

?

??

?? ? ? ? sin ? x ? ? . 6? 6? ?

当 x ? B 时, g ( x) 取得最大值,

B?

?
6

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z ,∴ B ?

?
3



???????8 分
2

由余弦定理可知 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos
2

?
3

? a 2 ? c 2 ? ac ? ? a ? c ? ? 3ac

?a?c? ? 16 ? 3? ? ? 16 ? 12 ? 4 ? 2 ? ∴ b ? 2 ,又? b ? a ? c ? 4 . ∴ b 的取值范围是 ? 2, 4 ? . ????????12 分

高三文科数学

6 —



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20.解: (1)由题意知:

? ?1 2 ? ? ?50 x ? ? x ? 10 x ? ? 250 0 ? x ? 80, x ? N 3 L?x ? ? ? ? ? ?50 x ? x 3 ? 29950 x ? 1998750 ? 250 x ? 80, x ? N ? ?

?

?

?

?

?

?

? 1 2 ? ?? x ? 40 x ? 250 0 ? x ? 80, x ? N ?? 3 ?? x 3 ? 30000 x ? 1999000 x ? 80, x ? N ? ?

?

?

?

?

??????????4 分

(2)当 0 ? x ? 80 时, L?x ? ? ? x 2 ? 40 x ? 250 ? ?

1 3

1 ?x ? 60 ?2 ? 950 3

?当 x ? 60 时,L ? x ?取到最大值 L?60 ? ? 950
当 x ? 80 时, L?x ? ? ? x 3 ? 30000 x ? 1999000

??????????6 分

? L/ ?x ? ? ?3x 2 ? 30000 ? ?3?x 2 ? 10000 ? ? ?3?x ? 100 ??x ? 100 ? ??8 分 ?当 80 ? x ? 100 时, L/ ?x ? ? 0 ,函数 L ? x ? 在 ?80.100 ? 上为增函数;
当 x ? 100 时, L/ ?x ? ? 0 ,函数 L ? x ? 在 ?100 ,?? ? 上为减函数;

?函数 L ? x ?在 x ? 100 处取到最大值 L?100 ? ? 1000

?????10 分

综上所述:当 x ? 100 时,函数 L ? x ? 取到最大值 L?100 ? ? 1000 。???11 分 答:当年产量为 100 台时,该厂在这一产品的生产中所获利润最大,最大 利润是 1000 万元。 ?????????12 分 21.解: ? S n 是 3 与 ? a n 的等差中项( n ? N * )

? 2S n ? 3 ? a n

① ② ( n ? 2)

??????????1 分

? 2S n ?1 ? 3 ? a n ?1 ( n ? 2 )
由①-②得: 2an ? ?an ? an?1

1 ? a n ? a n ?1 3

( n ? 2)

??????????3 分

? 2S 2 ? 2?a1 ? a2 ? ? 3 ? a2 , a1 ? 1
高三文科数学 7 — — (共 4 页)

? a2 ?
?

1 3

?

a2 1 ? a1 3

??????????4 分 ??????????5 分 ?????????6 分

a n ?1 1 ? (n? N*) an 3

1 ?数列 ?a n ?是以 1 为首项, 为公比的等比数列 3

?1? ? an ? 1 ? ? ? ?3?

n ?1

?1? ?? ? ?3?

n ?1

(n? N*)
n

??????????7 分

?1? 1? ? ? n ?1 ? 3? ? 3 ? 1 ??1? (Ⅱ)由(Ⅰ)知: S n ? ??????????8 分 ? ? 1 2 2 ?3? 1? 3
原问题等价于 k ? ?1?n ? 1 ? ? ?
?3?
2? n ?1?

?

1 ? ?1? ?3 ? ? ? 2 ? ?3? ?

n ?1

? * ? ( n ? N )恒成立 ? ?

????9 分

当 n 为奇数时,对任意正整数 k 不等式恒成立; 当 n 为偶数时,等价于 2k ? 1 ? ? ?
?3?
2? n ?1?

?????10 分

?1? ?? ? ? 3?

n ?1

? 3 ? 0 恒成立

令? ?

?1? ?3?

n ?1

? t ,0 ? t ?

1 ,则等价于 2kt 2 ? t ? 3 ? 0 恒成立 3 1 ) ,则 g ?t ?max ? 0 3
2

设 g ?t ? ? 2kt2 ? t ? 3 ( 0 ? t ?

? k 为正整数,? g ?t ?max
2 8 ? k? ?0 9 3
又? k ? N * ,

1 2 8 ?1? ?1? ? g ? ? ? 2k ? ? ? ? ? 3 ? k ? 3 9 3 ?3? ? 3?

解得: k ? 12

?存在符合要求的正整数 k ,且其最大值为 11。
22. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ?
1 ? ln x ln x , x ? 0 ,则 f ?( x) ? ? 2 , x x

?????12 分

????????1 分

当 0 ? x ? 1时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 .
高三文科数学 8 — — (共 4 页)



f ( x) 在 (0, 1) 上单调递增,在 (1, ? ?) 上单调递减,

???????3 分 ??????? 4分

即函数 f ( x) 的单调增区间是 (0,1) ,减区间是 (1, ??)

(II)由(I)知 f ( x) 在 (0, 1) 上单调递增,在 (1, ? ?) 上单调递减, ∴ 要使函数 f ( x) 在区间 ? t , t ? ? (其中t ? 0) 上不是单调函数, 2
? ? ? 1?



?t ? 1, ? ? 1 ?t ? 2 ? 1, ?

1 解得 ? t ? 1. 2

?????????????7 分

即所求实数 t 的取值范围是 ? ,1? (Ⅲ)不等式 f ( x)≥ ∴ ∴

?1 ? ?2 ?

?????????????8 分

a ( x ? 1)(1 ? ln x) ( x ? 1)(1 ? ln x) , , 即为 ≥a, 记 g ( x) ? x ?1 x x

a ? ? g ( x)?min
g ?( x) ?

???????10 分

[( x ? 1)(1 ? ln x)]? x ? ( x ? 1)(1 ? ln x) x ? ln x ,???????11 分 ? x2 x2

1 令 h( x) ? x ? ln x ,则 h?( x) ? 1 ? , x

? x ? 1 , ? h / ?x ? ? 0
∴h( x) 在 [1, ? ?) 上单调递增,
∴ h( x)]min ? h(1) ? 1 ? 0 , [

?????????13 分

从而 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 [1, ? ?) 上也单调递增,所以 [ g ( x)]min ? g (1) ? 2 , ∴
a≤2 .

即所求实数 a 的取值范围是 ? ??, 2 ?

????????14 分

高三文科数学

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