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福建省泉州市德化一中2015届高三上学期第三次月考数学试卷(文科)


福建省泉州市德化一中 2015 届高三上学期第三次月考数 学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={﹣1,0,1},B={x|﹣1≤x<1},则 A∩B=( ) A.{0} B.{﹣1,0} C.{0,1} D.{﹣1,0,1} 考点:交集及其运算. 专题:

集合. 分析:找出 A 与 B 的公共元素,即可确定出两集合的交集. 解答: 解:∵A={﹣1,0,1},B={x|﹣1≤x<1}, ∴A∩B={﹣1,0}. 故选 B 点评:此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.已知复数 A.第一象限

(i 为虚数单位) ,则 在复平面内对应的点在( B.第二象限 C.第三象限

) D.第四象限

考点:复数的代数表示法及其几何意义. 专题:计算题. 分析:复数的分子与分母同乘分母的共轭复数,化简为 a+bi 的形式,即可推出结果. 解答: 解: ( ) . ,在第一象限. = = ,故它所表示复平面内的点是

在复平面内对应的点

故选 A. 点评: 本题考查复数代数形式的乘除运算, 复数的代数表示法及其几何意义, 考查计算能力. 3.命题“?x∈R,x +2x+2≤0”的否定是( 2 A.?x∈R,x +2x+2>0 2 C.?x∈R,x +2x+2>0
2

) B.?x∈R,x +2x+2≥0 2 D.?x∈R,x +2x+2≤0
2

考点:命题的否定;特称命题. 专题:规律型. 分析:根据特称命题的否定的全称命题进行求解即可. 2 解答: 解:∵“?x∈R,x +2x+2≤0”是特称命题,

∴根据特称命题的否定的全称命题,得到命题的否定是:?x∈R,x +2x+2>0. 故选 C. 点评:本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础. 4.对于平面 α、β 和直线 a、b,若 a?α,b?β,α∥β,则直线 a、b 不可能是( A.相交 B.平行 C.异面 D.垂直 )

2

考点:空间中直线与直线之间的位置关系. 专题:空间位置关系与距离. 分析:利用平行平面的性质、空间直线的位置关系即可判断出位置关系. 解答: 解:∵a?α,b?β,α∥β, ∴a 与 b 无公共点, 因此直线 a、b 不可能相交. 故选:A. 点评:本题可怜虫平行平面的性质、空间直线的位置关系,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题. 5.下列函数,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y=ln(x+2) B. C. ) D.

考点:对数函数的单调性与特殊点;函数单调性的判断与证明. 专题:函数的性质及应用. 分析:利用对数函数的图象和性质可判断 A 正确;利用幂函数的图象和性质可判断 B 错误; 利用指数函数的图象和性质可判断 C 正确;利用“对勾”函数的图象和性质可判断 D 的单调 性 解答: 解:A,y=ln(x+2)在(﹣2,+∞)上为增函数,故在(0,+∞)上为增函数,A 正确; B, C, D, 在[﹣1,+∞)上为减函数;排除 B 在 R 上为减函数;排除 C 在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,排除 D

故选 A 点评:本题主要考查了常见函数的图象和性质,特别是它们的单调性的判断,简单复合函数 的单调性,属基础题

6.函数 f(x)=sinxsin(x+ A.最小正周期为 2π 的奇函数 C.最小正周期为 π 的奇函数

)是(

) B.最小正周期为 2π 的偶函数 D.最小正周期为 π 的偶函数

考点:函数奇偶性的判断;三角函数的周期性及其求法. 专题:三角函数的图像与性质.

分析:将函数进行化简即可判断函数奇偶性和周期. 解答: 解:f(x)=sinxsin(x+ )=sinxcosx= sin2x,

故函数的周期 T=π,函数 f(x)为奇函数, 故选:C 点评: 本题主要考查三角函数的图象和性质, 利用三角函数的诱导公式将函数进行化简是解 决本题的关键. 7.函数 y=log5(1﹣x)的大致图象是( )

A.

B.

C.

D. 考点:函数的图象. 专题:函数的性质及应用. 分析:把原函数变形为 y=log5[﹣(x﹣1)],利用函数图象的对称变换和平移变换即可得到 答案. 解答: 解:由 y=log5(1﹣x) ,得:y=log5[﹣(x﹣1)], ∵y=log5[﹣(x﹣1)]的图象是把函数 y=log5(﹣x)的图象向右平移一个单位得到的, 而 y=log5(﹣x)的图象与函数 y=log5x 的图象关于 y 轴对称, 由此可知,函数 y=log5(1﹣x)的大致图象是选项 C 的形状. 如图,

故选 C. 点评:本题考查了函数图象的变化,函数 y=f(x+a)+b 的图象是把函数 y=f(x)的图象向 左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位,然后再把函数 y=f(x+a)的图象向上(b>0)或 向下(b<0)平移|b|个单位得到,此题是基础题. 8.某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是( )

A.

π

B.6π

C.

π

D.

π

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥,下半部分为半圆柱组成的几何体,根据三 视图的数据求半圆柱与半圆锥的体积,再相加. 解答: 解:由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥,下半部分为半圆柱组成的几何体, 根据图中数据可知圆柱与圆锥的底面圆半径为 2,圆锥的高为 2,圆柱的高为 1, ∴几何体的体积 V=V 半圆锥+V 半圆柱= × ×π×2 ×2+ ×π×2 ×1=
2 2



故选 C. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积, 解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所 对应的几何量. 9.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=l,c=4 等于( ) A. B. C. D. ,B=45°,则 sinC

考点:解三角形. 专题:计算题. 分析:根据余弦定理求出 b 的值,再根据正弦定理求出 sinC 即可. 解答: 解:根据余弦定理,b =a +c ﹣2ac?cosB=1+32﹣8=25∴b=5 根据正弦定理, ,代入数据得 sinC=
2 2 2

故选 B. 点评:本题考查了正弦定理和余弦定理的应用,属于基础题型.

10.设

=(1,2) ,

=(a,3) ,

=(﹣b,4) ,a>0,b>0,O 为坐标原点,若 A,B, ) C .4 D.8

C 三点共线,则 + 的最小值是( A.2 B.4

考点:三点共线;基本不等式. 专题:不等式的解法及应用;直线与圆. 分析:利用向量共线定理、基本不等式的性质即可得出. 解答: 解: = =(a﹣1,1) , = =(﹣b﹣1,2) .

∵A,B,C 三点共线, ∴﹣b﹣1﹣2(a﹣1)=0, 化为 2a+b=1. 又 a>0,b>0, ∴ + =(2a+b) ∴ + 的最小值是 8. 故选:D. 点评:本题考查了向量共线定理、基本不等式的性质,属于基础题. =4+ =8,当且仅当 b=2a= 时取等号.

11.函数 f(x)= A.0 对 B.1 对

的图象上关于 y 轴对称的点共有( C .2 对 D.3 对

)

考点:余弦函数的图象;对数函数的图像与性质. 专题:计算题;转化思想. 分析:由题意可知函数图象关于 y 轴对称点,就是把 y=cosπx 的图象在 x>0 的部分画出, 与 y=log3 的交点的个数,即可得到选项. x 解答: 解: 函数图象关于 y 轴对称点, 就是把 y=cosπx 的图象在 x>0 的部分画出, 与 y=log3 的交点的个数, 如图中的红色交点,共有 3 对. 故选 D
x

点评:本题是基础题,考查函数的图象的交点,对称知识的应用,考查作图能力,转化思想 的应用. 12.设 a,b∈R,定义运算“∧”和“∨”如下: a∧b= a∨b=

若正数 a、b、c、d 满足 ab≥4,c+d≤4,则( ) A.a∧b≥2,c∧d≤2 B.a∧b≥2,c∨d≥2 C.a∨b≥2,c∧d≤2 D.a∨b≥2,c∨d≥2 考点:函数的值. 专题:函数的性质及应用. 分析:依题意,对 a,b 赋值,对四个选项逐个排除即可. 解答: 解:∵a∧b= ,a∨b= ,

正数 a、b、c、d 满足 ab≥4,c+d≤4, ∴不妨令 a=1,b=4,则 a∧b≥2 错误,故可排除 A,B; 再令 c=1,d=1,满足条件 c+d≤4,但不满足 c∨d≥2,故可排除 D; 故选 C. 点评: 本题考查函数的求值, 考查正确理解题意与灵活应用的能力, 着重考查排除法的应用, 属于中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.直线 x+ y+1=0 的倾斜角是 .

考点:直线的倾斜角. 专题:直线与圆. 分析:利用倾斜角与斜率的关系即可得出. 解答: 解:设直线 x+ y+1=0 的倾斜角为 θ, (θ∈[0,π) ) , ∵tanθ=﹣ ∴ . . ,

故答案为:

点评:本题考查了倾斜角与斜率的关系,属于基础题.

14.若变量 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+y 的最大值为 7.

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,进行平移即可得到结论. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 由 z=2x+y,得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z,由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 C, 直线 y=﹣2x+z 的截距最大,此时 z 最大, 由 ,解得 ,即 C(3,1) ,

此时 z=2×3+1=7, 故答案为:7.

点评: 本题主要考查线性规划的应用, 利用 z 的几何意义, 利用数形结合是解决本题的关键. 15.记数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2(an﹣1) ,则 a2=4. 考点:数列的求和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由已知可知 S1=2(a1﹣1) ,可求 a1,然后可得 S2=2(a2﹣1)=2+a2 可求 a2 解答: 解:∵Sn=2(an﹣1) , ∴S1=2(a1﹣1) , ∴a1=2 ∵S2=2(a2﹣1)=2+a2 ∴a2=4 故答案为:4 点评:本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的项,属于基础试题 16.半圆的直径 AB=4,O 为圆心,C 是半圆上不同于 A,B 的任意一点,若 P 为半径 OC 上的动点,则 的最小值是﹣2.

考点:平面向量数量积的运算;向量在几何中的应用. 专题:平面向量及应用.

分析:由题意可得 | |+| |=|

+

=2

,要求的式子即 2

? |?|

=﹣2|

|?|

|.再根据

|=2 为定值,利用基本不等式求得﹣2| + =2 |.

|的最小值.

解答: 解:因为 O 为 AB 的中点,所以 从而 =2 ? =﹣2| |?|



又|

|+|

|=|

|=2 为定值,再根据|

|?|

|≤

=1,

可得﹣2|

|?|

|≥﹣2, |=| |=1 时,即 P 为 OC 的中点时,等号成立,

所以当且仅当|

取得最小值是﹣2, 故答案为﹣2.

点评:本题主要考查向量在几何中的应用,两个向量的数量积公式的应用,属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知等差数列{an}的公差 d=1,前 n 项和为 Sn. (Ⅰ)若 1,a1,a3 成等比数列,求 a1; (Ⅱ)若 S5>a1a9,求 a1 的取值范围. 考点:等差数列与等比数列的综合;不等关系与不等式. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (I)利用等差数列{an}的公差 d=1,且 1,a1,a3 成等比数列,建立方程,即可求 a1; (II)利用等差数列{an}的公差 d=1,且 S5>a1a9,建立不等式,即可求 a1 的取值范围. 解答: 解: (I)∵等差数列{an}的公差 d=1,且 1,a1,a3 成等比数列, ∴ ∴ ∴a1=﹣1 或 a1=2; (II)∵等差数列{an}的公差 d=1,且 S5>a1a9, ∴ ∴

∴﹣5<a1<2. 点评:本题主要考查等差数列、等比数列、不等式等基础知识,考查运算能力,考查函数与 方程思想,考查化归与转化思想,属于中档题. 18.已知直线 l 与直线 x+y﹣2=0 垂直,且过点(2,1) (Ⅰ)求直线 l 的方程; (Ⅱ)若圆 C 过点(1,0) ,且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l 被该圆所截得的弦长为 求圆 C 的标准方程. 考点:直线与圆的位置关系;直线的一般式方程. 专题:直线与圆. 分析: (Ⅰ)由条件求得直线 l 的斜率,再利用点斜式求得 l 的方程.
2 2 2



(Ⅱ)设圆的标准方程为(x﹣a) +y =r ,由题意可得

,求得 a、

r 的值,可得圆的标准方程. 解答: 解: (Ⅰ)∵l 与 x+y﹣2=0 垂直,∴斜率 kl=1; ∵l 过点(2,1) ,∴l 的方程 y﹣1=(x﹣2) ,即 y=x﹣1.
2 2 2

(Ⅱ)设圆的标准方程为(x﹣a) +y =r ,由题意可得
2 2



解得:a=3,r=2,可得圆的标准方程为(x﹣3) +y =4. 点评:本题主要考查用点斜式求直线的方程,直线和圆相交的性质,点到直线的距离公式, 属于基础题. 19.如图,以 Ox 为始边作角 α 与 β(0<β<α<π) ,它们的终边分别与单位圆相交于点 P, Q,已知点 P 的坐标为 (1)求 (2)若 的值; ,求 sin(α+β) . .

考点:三角函数中的恒等变换应用.

分析: (1)根据三角函数定义得到角的三角函数值,把要求的式子化简用二倍角公式,切化 弦,约分整理代入数值求解. (2)以向量的数量积为 0 为条件,得到垂直关系,在角上表现为差是 90°用诱导公式求解. 解答: 解: (1)由三角函数定义得 ∴原式 = ; , ,

(2)∵ ∴ ∴ ,

,∴

∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=



点评: 经历用向量的数量积推导出题目要用的条件的过程, 体验和感受数学发现和创造的过 程,体会向量和三角函数的联系;2015 届高考题目中向量和三角函数经常结合在一起出现. 20.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,BC=PD=2,E 为 PC 的中点,CB=3CG (Ⅰ)求证:PC⊥BC; (Ⅱ)求三棱锥 C﹣DEG 的体积; (Ⅲ)AD 边上是否存在一点 M,使得 PA∥平面 MEG.若存在,求 AM 的长;若不存在, 说明理由.

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质. 专题:综合题;空间位置关系与距离. 分析: (I)由 PD⊥BC,BC⊥CD,推出 BC⊥平面 PCD,从而证明 PC⊥BC. (II)由 GC 是三棱锥 G﹣DEC 的高,三棱锥 C﹣DEG 的体积和三棱锥 G﹣DEC 的体积相 等, 通过求三棱锥 G﹣DEC 的体积得到三棱锥 C﹣DEG 的体积. (III) 连接 AC, 取 AC 中点 O, 连接 EO、 GO, 延长 GO 交 AD 于点 M, 则 PA∥平面 MEG, 由三角形相似可得 .

解答: (Ⅰ)证明:∵PD⊥平面 ABCD,∴PD⊥BC 又∵ABCD 是正方形∴BC⊥CD ∵PD∩CD=D ∴BC⊥平面 PCD… 又∵PC?面 PBC ∴PC⊥BC… (Ⅱ)解:∵BC⊥平面 PCD, ∴GC 是三棱锥 G﹣DEC 的高 … ∵E 是 PC 的中点, ∴ ∴ … …

(Ⅲ)解:连结 AC,取 AC 中点 O,连结 EO,GO,延长 GO 交 AD 于点 M,则 PA∥平面 MEG… 下面证明之 ∵E 为 PC 的中点,O 是 AC 的中点, ∴EO∥PA,… 又∵EO?平面 MEG,PA?平面 MEG ∴PA∥平面 MEG… 在正方形 ABCD 中,∵O 是 AC 的中点,∴△OCG≌△OAM, ∴ ,∴所求 AM 的长为 .…

点评:本题主要考查线面平行与垂直关系、多面体体积计算等基础知识,考查空间想象能、 逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力、考查数形结合思想、化归与转化思想.

21.某玩具厂生产一种儿童智力玩具,每个玩具的材料成本为 20 元,加工费为 t 元(t 为常 数,且 2≤t≤5) ,出厂价为 x 元(25≤x≤40) .根据市场调查知,日销售量 q(单位:个)与 e 成反比,且当每个玩具的出厂价为 30 元时,日销售量为 100 个. (1)求该玩具厂的日利润 y 元与每个玩具的出厂价 x 元之间的函数关系式; (2)若 t=5,则每个玩具的出厂价 x 为多少元时,该工厂的日利润 y 最大?并求最大值.
x

考点:导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题:应用题;导数的综合应用. x 分析: (1)由条件“日销售量与 e (e 为自然对数的底数)成反比例”可设日销量函数解析式, 根据日利润 y=每件的利润×件数,即可建立函数关系式; (2)先对函数进行求导,求出极值点,利用单调性求出函数的最值. 解答: 解: (1)设日销售量 ,则 ,∴k=100e
30

∴日销售量





(2)当 t=5 时,





由 y'>0,得 25≤x<26,由 y'<0,得 26<x≤40, ∴函数在[25,26)上单调递增,在(26,40]上单调递减, 当 x=26 时,函数取得最大值,最大值为 .

点评:本题考查数学模型和目标函数的建立,解题的关键是把“问题情境”译为数学语言,找 出问题的主要关系, 并把问题的主要关系抽象成数学问题, 在数学领域寻找适当的方法解决, 再返回到实际问题中加以说明. 22.已知函数 f(x)=lnx,g(x)=e . ( I)若函数 φ(x)=f(x)﹣ ,求函数 φ(x)的单调区间;
x

(Ⅱ)设直线 l 为函数的图象上一点 A(x0,f (x0) )处的切线.证明:在区间(1,+∞) 上存在唯一的 x0,使得直线 l 与曲线 y=g(x)相切. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 专题:综合题;压轴题. 分析: (Ⅰ)求导函数,确定导数恒大于 0,从而可得求函数 φ (x)的单调区间;

(Ⅱ)先求直线 l 为函数的图象上一点 A(x0,f (x0) )处的切线方程,再设直线 l 与曲线 y=g(x)相切于点 x0 存在且唯一即可. 解答: (Ⅰ)解: = , ,进而可得 ,再证明在区间(1,+∞)上

. ∵x>0 且 x≠1,∴φ'(x)>0 ∴函数 φ(x)的单调递增区间为(0,1)和(1,+∞) . (Ⅱ)证明:∵ ∴切线 l 的方程为 即 ,① , ,∴ , ,

设直线 l 与曲线 y=g(x)相切于点 ∵g'(x)=e ,∴ ∴直线 l 也为
x

,∴x1=﹣lnx0. ,



,②

由①②得







下证:在区间(1,+∞)上 x0 存在且唯一. 由(Ⅰ)可知,φ(x)= 在区间(1,+∞)上递增.




2



结合零点存在性定理,说明方程 φ(x)=0 必在区间(e,e )上有唯一的根,这个根就是所 求的唯一 x0. 故结论成立. 点评:本题以函数为载体,考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查曲线的切线,同 时考查零点存在性定理,综合性比较强.

请修改新增的标题


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