当前位置:首页 >> 数学 >>

高二淮安市金湖中学2012-2013学年高二下学期期初数学试题


2012-2013 学年江苏省淮安市金湖中学 高二(下)期初数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题 1. 分)给出下列命题: (5 ①若{ ②若 }是空间的一个基底,则 所在直线是异面直线,则 一定不共面; ,则 P,A,B,C 也是空间的一个基底;

③对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C,若 四点共面; ④已知 都不是零向

量,则 的充要条件是 .

其中正确命题的序号是 ①③ . 考点: 命题的真假判断与应用;平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 该题的四个命题均是考查向量的概念与向量的运算,①考查基地的概念;②考查共面 向量的概念,③考查了空间四点共面的条件,④考查了平行向量与向量,在熟悉向量 有关概念的前提下,逐一核对给出的四个命题即可得到正确答案. 解答: 解: 对于①, 若{ }是空间的一个基底, 则三向量不共面, 而向量 , 均与向量 与向量 , 共面,所以 不共面,则 , , 也是空间的一个基底.故①正确;

对于②,因为空间任意两个向量

都是共面向量,所以②不正确; ,

对于③,对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C,若 满足 对于④,

(x+y+z=1) ,则 P,A,B,C 四点共面.所以③正确; 都不是零向量,若两向量异向共线,则 不成立.故④

不正确. 所以正确的命题的序号是①③. 故答案为①③. 点评: 本题考查了命题的真假判断与应用,考查了平面向量与空间向量,是基础的概念题.

1

2. 分)数列{an}满足 an+1﹣an= (n∈N ) 1= ,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S100= (5 ,a 2525 . 考点: 等差关系的确定;等差数列的性质. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: 由数列递推式可判断该数列为等差数列,由等差数列前 n 项和公式即可求得答案. 解答: * 解:由 an+1﹣an= (n∈N )知:数列{an}为以 为公差的等差数列, 又 a1= , 所以 S100=100× + =2525,

*

故答案为:2525. 点评: 本题考查等差数列的定义、等差数列前 n 项和公式,考查学生的运算能力. 3. 分)已知平面上三点 A,B,C 满足 (5 的值等于 ﹣169 . ,则

考 平面向量数量积的运算. 点: 专 平面向量及应用. 题: 分 由平面上三点 A,B,C 满足 析:

,可得

,利用勾股定理的逆定理得∠ABC=90°.如图所示,可得 , .再利用数量积可得 =0+ ,代入计算即可. 解 解:∵平面上三点 A,B,C 满足 答: ∴ ∴∠ABC=90°. 如图所示, , . . , +

2

∴ =0+ = =﹣169. 故答案为﹣169. +

点 熟练掌握勾股定理的逆定理、三角函数、数量积运算是解题的关键.注意向量的夹角不 评:要找错.

4. 分) (5 已知函数

, 则方程 (x) f =﹣3 的解为 1 或﹣2



考点: 函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数的解析式可得方程 f(x)=﹣3 可化为 求出这两个混合组的解,即为所求. 解答: 解:函数

,或

.分别

,则由方程 f(x)=﹣3 可得,







解得 x=1,或 x=﹣2, 故答案为 1 或﹣2. 点评: 本题主要考查根据分段函数的解析式求函数的值,体现了分类讨论的数学思想,属于 基础题. 5. 分)长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=3,AD=2,AA1=1,则从 A 点沿表面到 C1 点 (5 的最短距离为 3 . 考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据题意,画出三种展开的图形,求出 A、C1 两点间的距离,比较大小,从而找出最
3

小值即为所求. 解答: 解:长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的表面可如下图三种方法展开后,A、C1 两点间的距 离分别为: =3 =2 = , , .

三者比较得 3 是从点 A 沿表面到 C1 的最短距离, ∴最短距离是 3 . 故答案为:3 .

点评: 本题考查棱柱的结构特征,考查分类讨论思想,考查计算能力,属于中档题. 6. 分) (5 (2009?广东)某篮球队 6 名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表 所示: 123456 队员 i 三分球个数a1a2a3a4a5a6 如图是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图, 则图中判断框应填 i≤6 , 输出的 s= a1+a2+a3+a4+a5+a6 . (注: 框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“: =”)

考点: 循环结构. 专题: 计算题;阅读型;图表型. 分析: 根据程序框图设计意图是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数, 可知 循环体要执行 6 次,从而得到判断框应填,以及输出的 S. 解答: 解:∵统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图 ∴要求 a1+a2+a3+a4+a5+a6 的和
4

由题意可知循环体要执行 6 次 所以图中判断框应填 i≤6 故答案为:i≤6,a1+a2+a3+a4+a5+a6 点评: 本题主要考查了当型循环结构,循环结构有两种形式:当型循环结构和直到型循环结 构,当型循环是先判断后循环,直到型循环是先循环后判断,属于基础题. 7. 分)已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数,当 x∈[0,1],f(x)=x,那么在区间[﹣1, (5 3]内,关于 x 的方程 4f(x)=x+m(其中 m 为实常数)有四个不同的实根,则 m 的取值范 围是 (0,1] . 考点: 根的存在性及根的个数判断;函数奇偶性的性质;函数的周期性. 专题: 数形结合. 分析: 利用函数的奇偶性和周期性可画出函数的图象,利用数形结合的思想解答.由已知需 要先画出函数在[0,1]上的图象,再利用奇偶性画出在[﹣1,0]上的图象,利用周期 性可画出在区间[﹣1,3]内的函数图象,即可解答本题. 解答: 解:因为关于 x 的方程 4f(x)=x+m 有 4 个不同的根, 就是函数 y=f(x)的图象与 y= (x+m)的图象有 4 个不同的交点, f(x)是以 2 为周期的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x, 所以可以得到函数 f(x)的图象 又因为 y= (x+m)是一组斜率为 的平行直线系, 在同一坐标系内画出它们的图象如图, 由图得 y= (x+m)在过点 A(3,1)的直线 y= (x+1)和 y= x 中间时符合要求, 所以 m 的取值范围是 0<k≤1. 故答案为: (0,1].

点评: 本题考查根的个数的应用和数形结合思想的应用.数形结合的应用大致分两类:一是 以形解数,即借助数的精确性,深刻性来讲述形的某些属性;二是以形辅数,即借助 与形的直观性,形象性来揭示数之间的某种关系,用形作为探究解题途径,获得问题 结果的重要工具.

5

8. 分) (5 (2010?盐城三模)已知函数

,则

的值为

. 考点: 二倍角的正弦;同角三角函数基本关系的运用;二倍角的余弦. 专题: 计算题. 分析: 2 2 利用公式 tanx= 、sin2α=2sinαcosα、cos α=2cos α﹣1 即可化简求值. 解答: 解:因为 f(x)= 所以 f( )= . = ,

点评: 本题考查同角三角函数的基本关系及正余弦的倍角公式. 9. 分)已知数列{an}满足 as?t=as?at(s,t∈N*) (5 ,且 a2=2,则 a8= 8 . 考点: 数列递推式. 专题: 计算题. 分析: 由已知 as?t=as×at 可先求 a4,然后再进行求解 a8=a4×2=a4×a2 解答: 解:as?t=as×at 由已知可得 a2×2=a2×a2=4 a8=a4×a2=2×4=8 故答案为:8 点评: 本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的项,解决问题的关键是要先求出 a4 的值,才能进一步求解 a8

10. 分) (5 (2009?湖北模拟)向量 、 、 满足 + + =0, ⊥ , ﹣ )⊥ , ( M= + + ,则 M= 1+ .

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 计算题. 分析: 欲求 M 的值,须先判断 三向量的关系,根据 示,就可得出 解答: 解:∵ ∵

,把 用



的模相等,再代入 M 的表达式,化简,即可求出 M 的值. ,∴ =﹣ ,∴ ,

6



=0,∴



∴M=

+

+

=1+

+

=1+

+

=1+

=1+

故答案为 1+ 点评: 本题主要考查了向量的数量积的坐标运算,向量的模的求法,属于易错题. 11. 分) (5 若连续掷两次骰子, 第一次掷得的点数为 m, 第二次掷得的点数为 n, 则点 P (m, n)落在圆 x +y =16 内的概率是
2 2



考点: 等可能事件的概率. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,分析可得 m、n 都有 6 种情况,由分步计数原理可得点 P 的情况数目,进 而列举 P(m,n)落在圆 x +y =16 内,即 m +n <16 的情况,可得其情况数目,由 等可能事件的概率公式,计算可得答案. 解答: 解:由题意以连续掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的坐标(m,n) , 分析可得,m、n 都有 6 种情况,则点 P 共有 6×6=36 种情况; 点 P(m,n)落在圆 x +y =16 内,即 m +n <16 的情况有(1,1)(1,2)(1,3) , , , (2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2) , , , , ,共 8 种; 则点 P 落在圆内的概率 P= 故答案为 . 点评: 本题考查等可能事件的概率的计算, 解题的关键是计算出所有的基本事件的个数以及 所研究的事件所包含的基本事件总数. = ;
2 2 2 2 2 2 2 2

12. 分) (5 已知△ ABC, 为 AB 边上一点, D 若

=



考点: 向量数乘的运算及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 利用向量的加法的法则,以及其几何意义,把 比,求出 λ 值. 解答: 解:∵ = ,∴λ= ,

化为

,和已知的条件作对



=

=

+

=

+

故答案为: . 点评: 本题考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,利用向量的加法的法则,以及
7

其几何意义,把

化为

是解题的关键.

13. 分)已知奇函数 f(x)在 R 上单调递减,则 f(﹣1) > (5 空) 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用减函数的性质即可作出正确判断. 解答: 解:因为函数 f(x)在 R 上单调递减,且﹣1<3, 所以 f(﹣1)>f(3) , 故答案为:>. 点评: 本题考查函数单调性的应用,属基础题.

f(3) (用<、﹦、>填

14. 分)对于函数 f(x)=sin(2x+ (5 ①函数图象关于直线 x=﹣ 对称;

) ,下列命题: ②函数图象关于点( ,0)对称;

③函数图象可看作是把 y=sin2x 的图象向左平移个 ④函数图象可看作是把 y=sin(x+

单位而得到;

)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标

不变)而得到;其中正确的命题是 ②④ . 考点: 正弦函数的对称性;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 转化思想. 分析: 根据正弦函数的对称轴过顶点得①不正确. 根据点( 故②正确. 由于把 y=sin2x 的图象向左平移个 把 y=sin(x+ 故④正确. 解答: 解:当 x=﹣ 线 x=﹣ 因为当 x= 单位而得到 y=sin(2x+ ) ,故③不正确. ) , ,0)是函数图象与 x 轴的交点,故函数图象关于点( ,0)对称,

)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍得到 y=sin(2x+

时,函数 f(x)=sin(2x+

)=0,不是最值,故函数图象不关于直

对称,故①不正确. 时,函数 f(x)=sin(2x+ )=0,故点( ,0)是函数图象与 x

轴的交点,故函数图象关于
8

点(

,0)对称,故②正确. 单位而得到 y=sin2(x+ )=sin(2x+ ) ,故③不

把 y=sin2x 的图象向左平移个 正确. 把 y=sin(x+

)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍得到 y=sin(2x+

) ,

故④正确. 故答案为 ②④. 点评: 本题考查正弦函数的对称性,以及 y=Asin(ωx+?)图象的变换,掌握 y=Asin(ωx+?) 图象和性质是解题的关键. 二、解答题 15. (10 分)设函数 f(x)=ax +2x+blnx 在 x=1 和 x=2 时取得极值. (ln2≈0.7) (1)求 a、b 的值; (2)求函数 f(x)在 上的最大值和最小值.
2

考点: 函数在某点取得极值的条件;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题. 分析: (1)对函数求导,根据函数在 x=1 和 x=2 时取得极值,得到函数的导函数在这两个 点导函数等于 0,解关于 a,b 的方程,得到结果. (2)对函数求导,在所给的区间上写出各个区间上的导函数的符合和各个点的值, 比较两个端点处函数的值和极值,求得最值. 解答: 解:定义域为(0,+∞) ,

(1)由

,解得

经检验 (2)

符合题意

当 x 变化时,f'(x) ,f(x)的变化情况如下 x 1 f'(x) f(x) 因为 所以 , , ﹣ ↘

(1,2) 2 + ↗

点评: 本题考查函数的极值和最值,解题的关键是正确应用在某一点有极值点条件,它使得
9

导函数在这里等于 0. 16. (10 分)已知:a∈R,f(x)=(x ﹣4) (x﹣a) . (1)设 x=﹣1 是 f(x)的一个极值点.求 f(x)在区间[﹣2,2]上的最大值和最小值; (2)若 f(x)在区间[﹣1,1]上不是单调函数,求 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: (1)根据 x=﹣1 是 f(x)的一个极值点,则 f'(﹣1)=0 即可求出 a 的值,得到函数 f(x)的解析式,将 f(x)的各极值与其端点的函数值比较,其中最大的一个就是最 大值,最小的一个就是最小值; (2)可先考虑反面情形,求 f(x)在[﹣1,1]是单调函数,则 f'(x)的符号在(﹣1, 1)上是确定的,转化成 f'(x)<0 对于 x∈(﹣1,1)一恒成立,建立不等关系,求 出 a 的范围,最后求出补集即可. 解答: (1)f(x)=x3﹣ax2﹣4x+4a 解: ∴f'(x)=3x ﹣2ax﹣4 又 ∴ 由 由 得 f(x)在[﹣2,2]上的最大值为 ,最小值为
2 2 2

(2 分)

(4 分)

(7 分)

(2)由(1)知 f'(x)=3x ﹣2ax﹣4, 先考虑 f(x)在[﹣1,1]是单调函数 则 f'(x)的符号在(﹣1,1)上是确定的 ∵f'(0)=﹣4<0 ∴此时 f'(x)<0 对于 x∈(﹣1,1)一恒成立(10 分) ∴由二次函数性质,知

得:

(13 分) (15

∴当 f(x)在[﹣1,1]上不是单调函数时,a 的取值范围是:

分) 点评: 本题主要考查了利用导数研究函数的极值, 以及利用导数研究函数的单调性等有关基 础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、化归与转化思想, 属于中档题.

10

17. (10 分) (2010?湖北模拟)已知数列|an|满足: 使 .

,且存在大于 1 的整数 k

(1)用 a3 表示 m(不必化简) (2)用 k 表示 m(化成最简形式) (3)若 m 是正整数,求 k 与 m 的值. 考点: 数列递推式;数列的函数特性. 专题: 计算题. 分析: (1)根据数列|an|满足: (2)由于

,逐一迭代可求; ,所以 ,错位相减可求;

(3)由(2)知 故此有 k﹣7=0,从而可求. 解答: 解: (1) = = = (2) ∴ 由①﹣②得

,因为,k>1 时,|k﹣7|<7

n﹣1

,根据 m∈N

*

…(4 分) ①…(6 分) ② …(8 分)


n﹣1



…(10 分)

(3)由 k>1 知|k﹣7|<7 * 又∵m∈N 故此有 k﹣7=0 故 k=7,m=49…(13 分) 点评: 本题的考点是数列递推式,主要考查迭代法,考查错位相减法求数列的和,关键是题 意的等价转化.

11

18. (10 分)设平面内的向量 线 OM 上的一个动点,且 ,求





,点 P 是直

的坐标及∠APB 的余弦值.

考点: 平面向量的综合题. 专题: 计算题;方程思想;转化思想. 分析: 由题意,可设 ,再由点 P 在直线 OM 上,得到 线条件得到 x,y 之间的关系,代入



共线,由此共 的坐

,解出 x,y 的值,即可求出

标及

= (﹣3, , 5)

= (1, ﹣1) 再由夹角的向量表示公式 ,

求出∠APB 的余弦值 解答: 解: (1)由题意,可设 ∴ 与 共线,而 ,

,∵点 P 在直线 OM 上,

∴x﹣2y=0,即 x=2y,有 ∵ ∴ 又
2

=(2y,y) , = ﹣ =(5﹣2y,1﹣y) , =5y ﹣20y+12,
2

=



=(1﹣2y,7﹣y) ,

=(1﹣2y) (5﹣2y)+(7﹣y) (1﹣y) ,即 =﹣8,

∴5y ﹣20y+12=﹣8,解得 y=2,x=4 此时 ∴ 点评: 本题考查了向量共线的条件,向量的坐标运算,数量积的坐标表示,向量的模的求法 及利用数量积计算夹角的余弦,本题综合性强,运算量大,谨慎计算是正确解题的关 键 19. (10 分) (2009?湖北)已知数列{an}是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6=55, a2+a7=16 (1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{an}和数列{bn}满足等式 an= 和 Sn.
12

=(4,2) ,

=(﹣3,5) ,

=(1,﹣1) ,

(n∈N ) ,求数列{bn}的前 n 项

*

考点: 等差数列的通项公式;数列的求和. 专题: 计算题. 分析: (1)设等差数列{an}的公差为 d,分别表示出 a2a6=55,a2+a7=16 联立方程求得 d 和 a1 进而根据等差数列通项公式求得 an. (2)令 cn= ,则有 an=c1+c2+…+cn,an+1=c1+c2+…+cn+1 两式相减得 cn+1 等于常数 2,

进而可得 bn,进而根据 b1=2a1 求得 b1 则数列{bn}通项公式可得,进而根据从第二项 开始按等比数列求和公式求和再加上 b1. 解答: (1)设等差数列{an}的公差为 d, 解: 则依题意可知 d>0 由 a2+a7=16, 得 2a1+7d=16① 由 a3a6=55,得(a1+2d) 1+5d)=55② (a 由①②联立方程求得 得 d=2,a1=1 或 d=﹣2,a1= ∴an=1+(n﹣1)?2=2n﹣1 (2)令 cn= ,则有 an=c1+c2+…+cn (排除)

an+1=c1+c2+…+cn+1 两式相减得 an+1﹣an=cn+1,由(1)得 a1=1,an+1﹣an=2 ∴cn+1=2,即 cn=2(n≥2) , 即当 n≥2 时, bn=2
n+1

,又当 n=1 时,b1=2a1=2

∴bn= 于是 Sn=b1+b2+b3+…+bn=2+2 +2 +…2 . 点评: 本题主要考查等差数列的性质和等比数列的性质.考查了对数列问题的综合把握. 20. (10 分) (2012?上海)已知 f(x)=lg(x+1) (1)若 0<f(1﹣2x)﹣f(x)<1,求 x 的取值范围; (2) g 若 (x) 是以 2 为周期的偶函数, 且当 0≤x≤1 时, (x) (x) 求函数 y=g g =f , (x) (x∈[1, 2])的反函数. 考点: 函数的周期性;反函数;对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 计算题. 分析: (1)应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可;
13
3 4 n+1

=2

n+2

﹣6,n≥2,

(2)结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解. 解答: 解: (1)由 解得:﹣1<x<1.

由 0<lg(2﹣2x)﹣lg(x+1)=lg ∵x+1>0,∴x+1<2﹣2x<10x+10, ∴ .

<1 得:1<

<10,



得:



(2)当 x∈[1,2]时,2﹣x∈[0,1], ∴y=g(x)=g(x﹣2)=g(2﹣x)=f(2﹣x)=lg(3﹣x) , 由单调性可知 y∈[0,lg2], 又∵x=3﹣10 , x ∴所求反函数是 y=3﹣10 ,x∈[0,lg2]. 点评: 本题考查对数的运算以及反函数与原函数的定义域和值域相反等知识,属于易错题.
y

14


相关文章:
2 数学-金湖中学2012-2013学年高二下学期期初考试数学试题
2 数学-金湖中学2012-2013学年高二下学期期初考试数学试题 隐藏>> 金湖中学 2012-2013 学年高二下学期期初考试数学试题一、填空题 1.给出下列命题:①若 {a,...
2 数学-金湖中学2012-2013学年高一下学期期初考试数学试题
2 数学-金湖中学2012-2013学年高一下学期期初考试数学试题_高中教育_教育专区。金湖中学 2012-2013 学年高一下学期期初考试数学试题一、填空题 2 2 1.过点 P...
6 政治-金湖中学2012-2013学年高二下学期期初考试政治试题
6 政治-金湖中学2012-2013学年高二下学期期初考试政治试题_高中教育_教育专区。金湖中学 2012-2013 学年高二下学期期初考试政治试题第 I 卷(选择题) 一、单选题...
1 语文-金湖中学2012-2013学年高二下学期期初考试语文试题
金湖中学 2012-2013 学年高二下学期期初考试语文试题第 I 卷(选择题) 一、选择题 1.下列词语中划线的字,读音全都正确的一组是( A.龟裂(jūn) 洗涮(shuàn...
4 物理-金湖中学2012-2013学年高二下学期期初考试物理试题
4 物理-金湖中学2012-2013学年高二下学期期初考试物理试题_高中教育_教育专区。...衡水中学文科学霸高中数学笔记 清华附中文科学霸高中政治笔记 东北师大附中理科学霸...
江苏省金湖中学2012-2013学年高二上学期期末考试数学试题
金湖中学 2012-2013 学年高二学期期末考试数学试题一、填空题 1.点(2,3,4)关于 yoz 平面的对称点为---。 2. 若 a ? 0 , b ? 0 , a ? b ? ...
3 英语-金湖中学2012-2013学年高二下学期期初考试英语试题
2 数学-金湖中学2012-2013... 2 数学-金湖中学2013届高三... 2 数学-新坝...金湖中学 2012-2013 学年高二下学期期初考试英语试题第 I 卷(选择题) 一、单项...
金湖中学2012-2013学年高二下学期学业水平测试模拟考试(一)物理试题
金湖中学2012-2013学年高二下学期学业水平测试模拟考试(一)物理试题_高中教育_教育...A.提出猜想 B.数学推理 C.实验检验 D.合理外推 2.关于误差,下列说法正确的...
金湖中学2012-2013学年高二下学期学业水平测试模拟考试(一)历史试题
金湖中学2012-2013学年高二下学期学业水平测试模拟考试(一)历史试题_高中教育_教育...衡水中学文科学霸高中数学笔记 清华附中文科学霸高中政治笔记 东北师大附中理科学霸...
更多相关标签:
淮安市金湖县 | 江苏省淮安市金湖县 | 金湖县在淮安市怎么样 | 甘肃省 淮安市金湖县 | 淮安市金湖县政府网 | 淮安市金湖县地图 | 江苏淮安市金湖县 | 高二下学期数学 |