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圆锥曲线综合大题


圆锥曲线综合大题
1、 已知直线 l 过椭圆 E: x 2 + 2 y 2 = 2 的右焦点 F , 且与 E 相交于 P, Q 两 点. uuu 1 uuu uuur r r ,求点 R 的轨迹方程; (1)设 OR = (OP + OQ ) ( O 为原点) 2 1 1 (2)若直线 l 的倾斜角为 60°,求 的值. + | PF | | QF | 2、双曲线 y

P o Q F x

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,O 为 a2 b2

坐标原点,点 A 在双曲线的右支上,点 B 在双曲线左准线上,

F2 O = AB, OF2 ? OA = OA ? OB.
(1)求双曲线的离心率 e; (2)若此双曲线过 C(2, 3 ) ,求双曲线的方程; (3)在(2)的条件下,D1、D2 分别是双曲线的虚轴端点(D2 在 y 轴正半轴上) ,过 D1 的直线 l 交双曲线 M、N, D2 M ⊥ D2 N , 求直线l 的方程。 3、直线 AB 过抛物线 x2=2py(p>0)的焦点 F,并与其相交于 A、B 两点,Q 是线段 AB 的中 点,M 是抛物线的准线与 y 轴的交点,O 是坐标原点.

uuuu r

uuur

(1)求 MN · MB 的取值范围; (2)过 A、B 两点分别作此抛物线的切线,两切线相交于 N 点.

uuuu r

uuu r

uuur

uuu r

求证: MN · OF =0, NQ ∥ OF . 4、设圆满足:(1)截直线 y=x 所得弦长为 2;(2)被直线 y=-x 分成的一段劣弧所在的扇形 1 、 面积是圆面积的 倍.在满足条件(1)(2)的所有圆中,求圆心到直线 x+3y=0 的距离最小 4 的圆的的方程. 5、已知椭圆 +y2=l 的左焦点为 F,O 为坐标原点.

( I )求过点 O、F,并且与椭圆的左准线 l 相切的圆的方程; (Ⅱ)设过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点,并且线段 AB 的中点在直线 x+y=0 上,求 直线 AB 的方程. 6 、 已 知 P (?3,0) , 点 R 在 y 轴 上 , 点 Q 在 x 的 正 半 轴 上 , 点 M 在 直 线 RQ 上 , 且

3 PR ? RM = 0 , RM = ? MQ . 2
(1)当 R 在 y 轴上移动时,求 M 点轨迹 C; (2)若曲线 C 的准线交 x 轴于 N ,过 N 的直线交曲线 C 于两点 AB ,又 AB 的中垂线

交 x 轴于点 E ,求 E 横坐标取值范围; (3)在(2)中, ?ABE 能否为正三角形. 7、已知 A,B 是抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0 ) 上的两个动点,O 为坐标原点,非零向量 OA, OB 满足
uuu uuu r r uuu uuu r r OA + OB = OA ? OB .
uuu uuu r r

(Ⅰ)求证:直线 AB 经过一定点; (Ⅱ)当 AB 的中点到直线 y ? 2 x = 0 的距离的最小值为
2 5 时,求 p 的值. 5

8、已知半圆 x 2 + y 2 = 4( y ≥ 0) ,动圆 M 与此半圆相切且与 x 轴相切。 (1)求动圆圆心 M 的轨迹方程。 (2)是否存在斜率为 3 的直线 l ,它与(1)中所得轨迹由左到右顺次交于 A、B、C、D 四个不同的点,且满足|AD|=2|BC|?若存在,求出 l 的方程,若不存在,说明理由。 9、已知椭圆
1

x2 y2 + = 1( a > b > 0) 的左、右焦点分别是 F1(-c,0) 2(c,0) 是 、F ,Q a2 b2

椭圆外的动点, 满足 | F1Q |= 2a. 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点, T 在线段 F2Q 上, 点 并且满足 PT ? TF2 = 0, | TF2 |≠ 0.
uuur c (Ⅰ)设 x 为点 P 的横坐标,证明 | F1 P |= a + x ; a

(Ⅱ)求点 T 的轨迹 C 的方程; (Ⅲ)试问:在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点 M,使△F1MF2 的面积 S= b 2 . 若存在,求 ∠F1MF2 的正切值;若不存在,请说明理由.

x2 y2 10、已知直线 x + y ? 1 = 0与椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0) 相交于 A、B 两点,M 是线段 a b
AB 上的一点, AM = ? BM ,且点 M 在直线 l : y = (Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)若椭圆的焦点关于直线 l 的对称点在单位圆 x 2 + y 2 = 1 上,求椭圆的方程. 11、在△ABC 中 AC = 2 3 ,B 是椭圆

1 x 上. 2

x2 y 2 + = 1 在 x 轴上方的顶点, l 是双曲线 5 4

x 2 ? y 2 = ?2 位于 x 轴下方的准线,当 AC 在直线 l 上运动时。
(1)求△ABC 外接圆的圆心 P 的轨迹 E 的方程; 分别交轨迹 E 于 M、 和 R、 求四边形 MRNQ N Q, (2)过定点 F (0, ) 作互相垂直的直线 l1 , l2 ,

3 2

面积的最小值。
2 2 12、已知 F1、F2 为双曲线 C: x 2 ? y2 = 1 的左、右焦点,O 为坐标原点,P 在双曲线的左支 a b uuur uuuu r uuur uuuu uuu r r OF1 OM (λ>0) 上,点 M 在右准线上,且满足: F1O = PM , OP = λ ? ( uuur + uuuu ) r | OF1 | | OM | (1)求此双曲线的离心率;

(2)若过点 N( 2 , 3 )的双曲线 C 的虚轴端点分别为 B1、 B2(B1 在 y 轴正半轴上) ,点 A、B 在双曲线上,且 B2 A = λ B2 B ,

uuuu r

uuuu r

uuur uuur B1 A ? B1 B = 0 ,求双曲线 C 和直线 AB 的方程.

13、如图,已知 E、F 为平面上的两个定点, G 为动点, | EF |= 6 ,

uuu r

uuur uuu uuu uuu r r r uuur | FG |= 10 且 2 EH = EG , HP GE = 0 ( P 是 HP 和 GF 的交点)
⑴建立适当的平面直角坐标系求出点 P 的轨迹方程; ⑵若点 P 的轨迹上存在两个不同的点 A、B ,且线段 AB 的中垂线与

uuur 9 EF (或 EF 的延长线)相交于一点 C ,证明:| OC |< ( O 为 EF 5
的中点) 14 、 已 知 方 向 向 量 为 e = (1, 3) 的 直 线 l 过 点 A(0, ?2 3) 和 椭 圆

r

x2 y2 C : 2 + 2 = 1 (a > b > 0) 的焦点,且椭圆 C 的中心 O 和椭圆的右准线上的点 B 满足: a b uuu r r uuu r uuur OB e = 0, AB = AO 。
⑴求椭圆 C 的方程; ⑵ 设 E 为 椭 圆 C 上 任 一 点 , 过 焦 点 F1 , F2 的 弦 分 别 为 ES , ET , 设

uuur uuu uuuu r r uuur EF1 = λ1 F1S , EF2 = λ2 F2T ,求 λ1 + λ2 的值。
15、已知圆 A: ( x + 2) + y =
2 2

25 1 2 2 ,圆 B: ( x ? 2) + y = ,动圆 P 与圆 A、圆 B 4 4

1 均外切,直线 l 的方程为 x=a(a≤ ). 2 (Ⅰ) 求动圆 P 的圆心的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 B 的直线与曲线 C 交于 M、N 两点, (1)求|MN|的最小值; (2)若 MN 的中点 R 在 l 上的射影 Q 满足 MQ⊥NQ,求 a 的取值范围. 16、已知抛物线 x2=4y 上的点 P(非原点)处切线与 x、y 轴分别交于 Q、R 点,F 为抛物线的 焦点。 (Ⅰ) 若 PQ = λ PR , 求λ的取值范围; (Ⅱ)若抛物线上的点 A满足 PF = 切线方程。

? FA .求△APR 面积的最小值,并写出此时过 P 点的

17、如图,ABCD 是边长为 2 的正方形纸片,沿某动直线 l 为折痕将正方形在其下方的 部分向上翻折,使得每次翻折后点 B 都落在边 AD 上,记为 B ′ ;折痕 l 与 AB 交于点 E,点 M 满足关系式 EM = EB + EB ′ 。若以 B 为原点,BC 所在直线为 x 轴建立直角坐标系(如 下图) : (Ⅰ) .求点 M 的轨迹方程; (Ⅱ)若曲线 S 是由点 M 的轨迹及其关于边 AB 对称的曲线组成的, . 等腰梯形 A1 B1C1 D1 的 三 边 A1 B1 , B1C1 , C1 D1 分 别 与 曲 线 S 切 于 点 P, Q, R . 求 梯 形 y

A1 B1C1 D1 面积的最小值.
18、已知圆 M: (x+ 5 )2+y2=36 及定点 N( 5 ,0) ,点 P 是 圆 M 上 的 动 点 , 点 Q 在 NP 上 , 点 G 在 MP 上 , 且 满 足

A

B′

D

E

C′
l

NP = 2 NQ, GQ ? NP = 0 .
(1)求点 G 的轨迹 C 的方程. (2)过点 K(2,0)作直线 l,与曲线 C 交于 A、B 两点,O 是 坐标原点,设 OS = OA + OB ,是否存在这样的直线 l ,使四边形 OASB 的对角线相等?若 存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 19、在平面直角坐标系中,已知 A1 ( ? 2, 0), A2 ( 2, 0), P ( x, y ), M ( x,1), N ( x, ?2) ,若实数 B O C x

uuuu uuur uuur uuuu r r λ 使得 λ 2 OM ? ON = A1P ? A2 P ( O 为坐标原点)

(I)求 P 点的轨迹方程,并讨论 P 点的轨迹类型; ) (Ⅱ)当 λ =

2 时,若过点 B (2, 0) 的直线 l (斜率不等于零)与(I)中 P 点的轨迹交于 2

不同的两点 E、F(E 在 B、F 之间) ,试求△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围. x2 20、已知直线 l: y=2x- 3与椭圆 C: 2 +y2= 1 (a>1)交于 P、Q 两点, 以 PQ 为直径的圆 a 过椭圆 C 的右顶点 A. 3 (1) 设 PQ 中点 M(x0,y0), 求证: x0< 2 (2)求椭圆 C 的方程.

x2 21、已知椭圆 + y 2 = 1 的左焦点为 F,O 为坐标原点。过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两 2
点. (1)若直线 l 的倾斜角 α =

π
4

,求 AB ;

(2)求弦 AB 的中点 M 的轨迹; (3)设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点, 线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G,求点 G 横坐标的取值范围.

22、抛物线 C 的方程为 y = ax (a < 0), 过抛物线C上一点P ( x 0 , y 0 )( x 0 ≠ 0) ,作斜率为
2

k1 , k 2 的两条直线,分别交抛物线 C 于 A ( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 两点(P、A、B 三点互不相同) ,
且满足 k 2 + λk1 = 0(λ ≠ 0且λ ≠ ?1). (1)求抛物线 C 的焦点坐标和准线方程; (2)设直线 AB 上一点 M 满足 BM = λ MA, 证明:线段 PM 的中点在 y 轴上; (3)当 λ = 1 时,若点 P 的坐标为(1,—1) ,求∠PAB 为钝角时,点 A 的纵坐标的取 值范围. 23、设 F1 , F2 分别是椭圆的

x2 + y 2 = 1 左,右焦点。 4
5 , 4

(Ⅰ)若 P 是第一象限内该椭圆上的一点,且 PF1 ? PF2 = 求点 P 的坐标。

(Ⅱ)设过定点 M (0,2) 的直线与椭圆交于不同的两点 A, B ,且 ∠AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围。 24、在 ?ABC 中,已知 A(0, 2) , B (0, ?2) , AC 、 BC 两边所在的直线分别与 x 轴交 于原点同侧的点 M 、 N ,且满足 OM ? ON = 4 。 (1)求点 C 的轨迹方程 E ; (2)若 Q 是 E 上任一点,动点 P 在线段 OQ 上,求 ( PA + PB ) ? PQ 的最小值。
y2 = 1(0 < b < 1) 的左焦点为 F,左、右顶点分别为 A、C,上顶点为 B.过 b2 F、B、C 作⊙P,其中圆心 P 的坐标为(m,n) . (Ⅰ)当 m+n>0 时,求椭圆离心率的范围; (Ⅱ)直线 AB 与⊙P 能否相切?证明你的结论.

uuu uuu r r

uuu r

25、已知椭圆 x 2 +

26、已知直线 y = ? x + 1 与椭圆 在直线 l : x ? 2 y = 0 上. (Ⅰ)求此椭圆的离心率;

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 相交于 A、B 两点,且线段 AB 的中点 a 2 b2

(Ⅱ)若椭圆的右焦点关于直线 l 的对称点的在圆 x 2 + y 2 = 4 上,求此椭圆的方程. 27、在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与抛物线 y 2 = 4 x 相交于不同的 A, B 两点. uuu uuu r r (Ⅰ)如果直线 l 过抛物线的焦点,求 OA ? OB 的值; uuu uuu r r (Ⅱ)如果 OA ? OB = ?4, 证明直线 l 必过一定点,并求出该定点.
28、倾斜角为 60°的一束平行光线,将一个半径为 3 的球投影在水平地面上,形成一个椭

圆.若以该椭圆的中心为原点,较长的对称轴为 x 轴,建立平面直角坐标系. (1)求椭圆的标准方程; (2)若球的某一条直径的两个端点在地面上的投影恰好分别落在椭圆边界的A、B两点上, → → 且已知C(-4,0) ,求CA ·CB 的取值范围. 29、椭圆 C:

x2 y2 + = 1, (a > b > 0) 的两个焦点分别为 a 2 b2 F1 (?c,0), F2 (c,0) , M 是椭圆上一点,且满足 F1 M ? F2 M = 0 。
(1)求离心率 e 的取值范围 (2)当离心率 e 取得最小值时,点 N( 0 , 3 )到椭圆上的点的最远距离为 5 2 (i)求此时椭圆 C 的方程 (ii)设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A、 Q 为 AB 的中点, A、 B, 问 3 B 两点能否关于过点 P(0,) 的直线对称?若能,求出 k 的取值范围;若不 、Q 3 能,请说明理由。

x2 30、如图,直线 y=kx+b 与椭圆 + y 2 = 1 交于 A、B 两点,记△AOB 的面积为 S. 4
(I)求在 k=0,0<b<1 的条件下,S 的最大值; (II)当|AB|=2,S=1 时,求直线 AB 的方程.

y A

31、已知定点 A(-2,0) ,动点 B 是圆 F: ( x ? 2) 2 + y 2 = 64 (F 为圆心)上一点,线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P. (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程; (2)直线 y =

O

x

B 3 x + 1与曲线E 交于 M,N 两点,试问在曲线 E 位于第二象限部分上是

否存在一点 C,使 OM + ON与OC 共线(O 为坐标原点)?若存在,求出点 C 的 坐标;若不存在,请说明理由.

x2 y 2 3 32、 已知椭圆 C1 : 2 + 2 = 1( a > b > 0) 的离心率为 , 直线 l : y = x + 2 与以原点为圆心、 3 a b 以椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆 C1 的方程; (2)设椭圆 C1 的左焦点为 F1 ,右焦点 F2 ,直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴,动直线

l2 垂直 l1 于点 P ,线段 PF2 垂直平分线交 l2 于点 M ,求点 M 的轨迹 C2 的方程; uuu r uuu uuu r r (3)设 C2 与 x 轴交于点 Q ,不同的两点 R, S 在 C2 上,且满足 QR ? RS = 0, 求 QS 的
取值范围. 33、已知曲线 C 上任意一点 M 到点 F(0,1)的距离比它到直线 l : y = ?2 的距离小 1. (1)求曲线 C 的方程; (2)过点 P ( 2,2)的直线m与曲线C交于A, B两点, 设 AP = λ PB. 当△AOB 的面积为 4 2时(O 为坐标原点) ,求 λ 的值. x2 y2 34、设 F1 , F2 分别是椭圆 C: 2 + 2 = 1 (a > b > 0) 的左右焦点 a b

3 ) 到 F1 , F2 两点距离之和等于 4,写出椭圆 C 的方程和焦点坐标 2 (2)设 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程 (3)设点 P 是椭圆 C 上的任意一点, 过原点的直线 L 与椭圆相交于 M, 两点, N 当直线 PM ,
(1)设椭圆 C 上的点 ( 3, PN 的斜率都存在,并记为 k PM , K PN 并证明你的结论。 试探究 k PM

? K PN 的值是否与点 P 及直线 L 有关,


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