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数系的扩充及复数的概念


第 1 课时

数系的扩充与复数的概念

1.在问题的情境中了解把实数系扩充到复数系的过程,体会实际 需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中 的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系. 2.理解复数的基本概念和代数表示,能利用复数的有关概念对复 数进行分类. 3.掌握两个复数相等的充要条件. 4.理解复数

集和复平面上的点集的一一对应关系,知道实轴、 虚轴 及各象限内的点所对应的复数的特征;会用复平面内的点和向量来表 示复数,体会复数与向量之间的关系.

由于解方程的需要推动了数的发展,为了使类似 x+5=3 的方程有 解,引入了负数;为了使类似 5x=3 的方程有解,引入了分数;为了使类似 x2=3 的方程有解,引入了无理数.但引入无理数后,类似 x2=-1 的方程在 实数集内仍然无解. 问题 1:(1)虚数单位 i 的引进 为了得到方程 x2=-1 的解,需引入虚数单位 i,试给出虚数单位 i 的 定义. 虚数单位 i 满足它的平方等于 -1 ,即 i2= -1 . (2)复数的有关概念 复数:形如 a+bi(a,b∈R) 的数叫作复数. 复数集:全体复数所组成的集合叫作复数集,用字母 C 表示. 复数的代数形式:复数通常用字母 z 表示,把复数表示成 a+bi(a,b∈R)的形式,其中 a 与 b 分别叫作复数 z 的 实部 与 虚 部 . (3)两个复数相等的定义

如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数 相等.这就是说,如果 a,b,c,d∈R,那么 a+bi=c+di?a=c,b=d. 问题 2:复数 z=a+bi(a,b∈R), 当 b=0 时,复数 z 是实数;当 b≠0 时,复数 z 是虚数; = 0, 当 时,复数 z 是 纯虚数 . ≠ 0 问题 3:复平面的概念、复数的几何意义 点 Z 的横坐标是 a,纵坐标是 b,复数 z=a+bi(a,b∈R)可用点 Z(a,b) 表示,当用直角坐标平面内的点表示复数时,我们称这个直角坐标平 面为 复平面 ,x 轴叫作 实轴 ,y 轴叫作 虚轴 . 实轴上的点都表示 实数 ,虚轴上的点 除原点外 都表示 纯虚数 . 复数集 C 和复平面内所有的点构成的集合是 一一对应 关系, 即复数 Z=a+bi 复平面内的点 Z(a,b).

这是因为每一个复数在复平面内都有唯一的一个点与它对应;反 过来,复平面内的每一个点都有唯一的一个复数与它对应. 这就是复数的一种几何意义,也就是复数的另一种表示方法,即几 何表示方法. 问题 4:复数 a+bi、点 Z(a,b)(复数的几何形式)、向量 (复数的 向量形式,以 O 为始点的向量.规定:相等的向量表示同一个复数)三者 之间的关系和复数的模.

①三者的关系如下:

②复数的模(或绝对值)
向量的模||叫作复数 z=a+bi 的 模(或绝对值) ,记作

|z|或|a+bi|.如果 b=0,那么 z=a+bi 就是实数 a,它的模等于|a|(即实
数 a 的绝对值).

|z|= |a+bi| = 2 + 2

.

基础学习交流 1.“a=0”是“复数 a+bi(a,b∈R)为纯虚数”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.复数 z=-3-10i 的实部是( ). A.3 B.-3 C.-10i D.10 3.若复数 z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a、b、c、d∈R),则 z1=z2 的充要 条件是 . 4.判断下列命题的真假: (1)-1 的平方根只有一个; (2)i 是 1 的 4 次方根; (3)i 是方程 x6-1=0 的根; (4)方程 x3-x2+x-1=0 的根只有一个.

对复数概念的理解 已知下列命题: ①复数 a+bi 一定不是实数; ②两个复数不能比较大小; ③若(x2-4)+(x2+3x+2)i 是纯虚数,其中 x∈R,则 x=±2; ④若复数 z=a+bi,则当且仅当 b≠0 时,z 为虚数; ⑤若 a+bi=c+di,则 a=c 且 b=d. 其中真命题的个数是( ). A.0 B.1 C.3 D.4

复数概念的应用

+ (m2+5m+6)i(m∈R),当实数 m 为何值时, +3 (1)z 是实数?(2)z 是虚数?(3)z 是纯虚数?
已知 z=

2 -m -6

复数相等与复数的模 (1)已知关于 x 的方程 x2+(m+2i)x+2+2i=0(m∈R)有实数根 n 且 z=m+ni,求复数 z. (2)设 z1=1+sin θ-icos θ,z2= 和|z1|的值.
1 1+sin

+(cos θ-2)i,若 z1=z2,求 θ

1.(2014 年·湖南卷)复数

3+i i2

(i 为虚数单位)的实部等于

.

考题变式(我来改编):

2.(2014 年·重庆卷)实部为-2,虚部为 1 的复数所对应的点位于复平面 的( ).

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考题变式(我来改编):

参考答案 知识体系梳理 问题 1:(1)-1 -1 (2)a+bi(a,b∈R) 实部 虚部 问题 2:b≠0 纯虚数 问题 3:复平面 实轴 虚轴 实数 除原点外 纯虚数 一一 对应 问题 4:模(或绝对值) |a+bi| 重点难点探究 探究一 【解析】 : ①是假命题,因为当 a∈R 且 b=0 时,a+bi 是实数;② 是假命题,因为两个复数都是实数时,可以比较大小;③是假命题,因为 2 + 2

2 -4 = 0, 由纯虚数的条件,得 2 解得 x=2;④是假命题,因为没有 + 3x + 2 ≠ 0, 强调 a,b∈R;⑤是假命题,因为没有强调 a,b,c,d∈R,故选 A. 【答案】A 【小结】对概念的理解要注意一些小细节,比如 a+bi 中要求 a,b∈R. 2 + 5m + 6 = 0, 探究二:【解析】(1)若 z 是实数,则 得 m=-2. + 3 ≠ 0, (2)若 z 是虚数,则 2 + 5m + 6 ≠ 0, 得 m≠-2 且 m≠-3 且 m∈R. + 3 ≠ 0,
2 -m-6 +3 2

+ 5m + 6 ≠ 0, 【小结】①本题考查复数集的分类,给出的是复数的标准代数形 式,即 z=a+bi(a,b∈R),若不然,应先将其化为标准形式,再根据需满足的 条件去解答问题;②解题中要时刻注意应使式子有意义. 探究三:【解析】(1)由题意,知 n2+(m+2i)n+2+2i=0, = 3, 2 + mn + 2 = 0, 即 解得 2 + 2 = 0, = -1. 故 z=3-i. (2)由已知,得 1 + sin =
1 1+sin

(3)若 z 是纯虚数,则

= 0,

得 m=3.

,

cos = 2-cos,



sin = 0, cos = 1,

解得 θ=2kπ(k∈Z),此时 z1=1-i,|z1|= 1 + 1= 2. 【小结】 复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重 要的思想方法,转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路是: ①等式两边整理为 a+bi(a,b∈R)的形式; ②由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方 程组; ③解方程组,求出相应的参数. 全新视角拓展 1.【解析】∵
3+i 3+i i2

【答案】-3 2.【解析】由题意,可得复数 z=-2+i,故在复平面内对应的点为 (-2,1),在第二象限,故选 B. 【答案】B 思维导图构建 a+bi(a,b∈R) a=0

= -1 =-3-i,∴-3-i 的实部等于-3.


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