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高二数学下学期数学联考


2014~2015 学年度下学期期中联考

高 二 数 学(文)
本试题卷共 4 页,三大题 22 小题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。

★ 祝考试顺利 ★
注意事项: 1、答卷前,先将自己的学校、班级、姓名、考号填写在试题卷和答题卡上,并将考号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置。 2、选择题的作答:每小

题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写 在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3、非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。 4、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答 题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5、考试结束后,请将答题卡上交。

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.若复数 z 满足 iz ? 1 ? i ,则 z 的虚部为 A.1 B. i C. ? 1 D.- i 2.抛物线 y ? 4x 的焦点坐标为
2

A. (1, 0)
x

B. (0,1)

C. (

1 , 0) 16

D. (0,

1 ) 16

2 3.命题“ ?x0 ? 0, 2 0 ? x0 ”的否定为

A. ?x ? 0, 2x ? x2 C. ?x ? 0, 2x ? x2

B. ?x ? 0, 2x ? x2 D. ?x ? 0, 2x ? x2
2 2

4.设点 p ( x, y ) ,则“ x ? 2 且 y ? ?1 ” 是“点 p 在圆 ( x ? 2) ? y ? 1上”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知 x , y 的一组数据如下表 x 2 3 4 5 6 y 3 4 6 8 9 则由表中的数据算得的线性回归方程可能是

8 2 x? 5 5 6.设 f ?( x ) 是 f ( x ) 的导函数, f ??( x) 是 f ?( x ) 的导函数,若函数 f ( x ) 在区间 I 上恒有 f ??( x) ? 0 ,则称 f ( x) 是区间 I 上的凸函数,则下列函数在 [?1,1] 上是凸函数的是 A. f ( x) ? sin x B. f ( x) ? ? cos x
A. y ? 2 x ? 2 B. y ? 2 x ? 1 C. y ? ? D. y ? C. f ( x) ? x ? x
3

3 x ? 12 2

D. f ( x) ? ?e

x

7.观察下列各式: a1 ? b1 ? c1 ? 2, a2 ? b2 ? c2 ? 3, a3 ? b3 ? c3 ? 5,
1

开始
s ? 2, n ? 1

a4 ? b4 ? c4 ? 8, a5 ? b5 ? c5 ? 13??? ,则 a10 ? b10 ? c10 ?
A.89 B.144 C.233 8.某程序框图如图所示,则输出的结果为 A. D .232 D. ? 3

1 2

B .2

C. ?

1 3

2 2 2 2 9.曲线 C 的方程为 ( x ? 1) ? y ? ( x ? 1) ? y ? 2 ,

若直线 l : y ? kx ? 1 ? 2k 的曲线 C 有公共点,则 k 的取值范围是 A. [ ,1] C. (??, ] ? [1, ??)

1 3

B. ( ,1)

1 3

1 1 D. (??, ) ? (1, ??) 3 3 x ?1 10.已知 f (x ?1) ? x ?1 ? e ,则函数 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线 l
xkb1.com

与坐标轴围成的三角形的面积为 A.

1 4

B.

1 2

C. 1

D. 2

11.已知 F1 , F2 分别是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点, A 是双曲线 9 5 左支上异于顶点的一动点,圆 C 为 ?AF1F2 的内切圆,若 M ( x,0)
xk|b|1

是其中的一个切点,则 A. x ? ?3 B. x ? ? 3 C. x ? ? 3 D. x 与 ?3 的大小不确定 12.已知集合 M 是由具有如下性质的函数 f ( x ) 组成的集合:对于函数 f ( x ) ,在定义域内存 在两个变量 x1 , x2 且 x1 ? x2 时有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 .则下列函数 ① f ( x) ? e x ( x ? 0) ③ f ( x) ? A.1 个

x
B.2 个

ln x x ④ f ( x ) ? 1 ? sin x 在集合 M 中的个数是
② f ( x) ? C.3 个 D.4 个

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡相应的位置上) 13.在区间 [?6, 6] 内任取一个元素 x0 ,若抛物线 x2 ? 2 y 在 x ? x0 处的切线的斜率为 k ,则

k ?[?1,1] 的概率为
14.已知椭圆 C:



x2 3 ? y 2 ? 1,现有命题 P:“若 m ? 4 ,则椭圆 C 的离心率为 ” ,记命题 m 2 P 和它的逆命题,否命题,逆否命题四种形式的命题中正确的命题的个数为 f ( P ) ,则 f ( P) ? . 15.若对区间 D 上的任意 x 都有 f1 ( x) ? f ( x) ? f 2 ( x) 成立,则称 f ( x ) 为 f1 ( x) 到 f 2 ( x) 在 1 2 区间 D 上的“任性函数”,已知 f1 ( x) ? ln x ? x , f 2 ( x) ? ? 3 x ,若 f ( x) ? x ? a 是 x 1 . f1 ( x) 到 f 2 ( x) 在 [ ,1] 上的“任性函数”,则 a 的取值范围是 2

2

16.方程

xx ? y y ? ?1 确定的曲线即为 y ? f ( x) 的图象,对于函数 f ( x) 有如下结论: 4 ① f ( x ) 单调递增;②函数 g ( x) ? 2 f ( x) ? x 不存在零点; y y ? x x ? 1确 ③ f ( x ) 的图象与 h( x) 的图象关于原点对称,则 h( x) 的图象就是方程 4 定的曲线;④ f ( x ) 的图象上的点到原点的最小距离为 1.
则上述结论正确的是 (只填序号)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)
2 已知命题 p :“ ?x ?[?1, 2] ,使得不等式 x ? 2 x ? m ? 0 成立”,命题 q : “方程

表示的曲线为双曲线”,若 p ? q 为假,求实数 m 的取值范围.

x2 y2 ? ?1 m m?3

18.(本小题满分 12 分) 某中学有甲乙两个文科班进行数学考试,按照大于或等于 120 分为优秀,120 分以下为非优 秀统计成绩后,得到如下列联表: 优秀 非优秀 合计 20 5 25 甲 10 15 25 乙 30 20 50 合计 (Ⅰ)用分层抽样的方法在优秀的学生中抽 6 人,其中甲班抽多少人? (Ⅱ)在上述抽取的 6 人中选 2 人,求恰有一名同学在乙班的概率; (Ⅲ)计算出统计量 k ,若按 95%可靠性要求能否认为“成绩与班级有关”. 下面的临界值表代参考:
2

P(k 2 ? k )
k
2

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841
2

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828
xkb1

(参考公式 k ?

n(ad ? bc) 其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19.(本小题满分 12 分) 新建的荆州中学拟模仿图甲建造一座体育馆,其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示:曲线 AB 是以点 E 为圆心的圆的一部分,其中 E (0, t )(0 ? t ? 8 单位:米 ) ;曲线 BC 是抛物线

y ? ax2 ?18( a ? 0)的一部分; CD ? AD ,且 CD 恰好等于圆 E 的半径.假定拟建体育馆 的高 OB ? 18 米.

3

(Ⅰ)若要求 CD ? 10 米, AD ? 14 米,求 t 与 a 的值;

1 ,将 AD 的长表示为点 E 的纵坐标 t 的函数 f (t ) ,并求 AD 的最大值. 36 1 并求 f (t ) 的最大值.(参考公式:若 f ( x) ? c ? x ,则 f ?( x) ? ? ,其中 c 为常数) 2 c?x
(Ⅱ)若 a ? ? 20.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? x2 ? x ? a(a ? R, e 是自然对数的底数) (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x) ? x2 ? x ? 2 在区间 [ , e ] 上恰有两相异实根,求 a 的取值范围; (Ⅲ)当 a ? 2 时,证明: f ( x) ? e x ? 1 ? 0 .

1 e

21.(本小题满分 12 分)

y x2 y2 ? ? 1(m ? 0) ,如图所示,在平面直 2 2 X C B m 4m 角坐标系 xoy 中, ?ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(1,0), B(0, 2), C(1, 2) x (Ⅰ)当椭圆 C 与直线 AB 相切时,求 m 的值; O A X (Ⅱ)若椭圆 C 与 ?ABC 三边无公共点,求 m 的取值范围; (Ⅲ)若椭圆 C 与 ?ABC 三边相交于不同的两点 M,N,求 ?OMN 的面积 S 的最大值.
已知椭圆 C 的方程为 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应模 块右边的方框涂黑。注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致,在答题卡选答区域指 定位置答题。如果多做则按所做的第一题记分。(10 分) 22.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 1 (Ⅰ)当 a ? 1 时,解不等式 f ( x) ? 3 ; (Ⅱ)若 f ( x ) 的最小值为 1,求 a 的值. 23.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2 , g ( x) ? ? x ? 3 ? m (Ⅰ)若关于 x 的不等式 g ( x) ? 0 的解集为 x ? 5 ? x ? ?1 ,求实数 m 的值; (Ⅱ)若 f ( x) ? g ( x) 对任意的 x ? R 恒成立,求实数 m 的取值范围. 24.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2 ? 2x ? a (a ? R) (Ⅰ) 当 a ? 2 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)当 x ? (??, 2) 时 f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

?

?

4

2014~2015 学年度下学期期中联考

高二数学(文)参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的) 1-12 CDBA D BBBAA CB

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡相应的位置 上) 13.

1 6
16. ②④

14. 2

15. 0 ? a ? 2 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. 解:化简命题 p : 令 f ( x) ? x2 ? 2x

x ?[?1, 2]

g ( x)min ? ?1
……………………4 分

? m ? ?1
化简命题 q :

m(m ? 3) ? 0

即 m ? 0 或 m ? ?3

……………………8 分

? m ? ?1 ? p ? q 为假,即 p 假且 q 假? ? ? ?3 ? m ? ?1 ??3 ? m ? 0
故所求实数 m 的取值范围是 ?3 ? m ? ?1 ……………………12 分

18. 解:(1) ? 6 ? 4 人

2 3

……………………3 分

5

(2)6 人中甲班 4 人分别记为 A1 , A2 , A3 , A4 乙班中 2 人分别记为 B1 , B2 在 6 人中选 2 人所有的情况为

( A1 , A2 )( A1 , A3 )( A1 , A4 )( A1 , B1 )( A1 , B2 ) ( A2 , A3 )( A2 , A4 )( A2 , B1 )( A2 , B2 )( A3 , A4 ) ( A3 , B1 )( A3 , B2 )( A4 , B1 )( A4 , B2 )(B1, B2 )
共 15 种选法,其中恰有 1 人有乙班的选法有 8 种,故所求概率为 分

8 15

………9

(3)利用公式计算 k 2 ?

25 ? 8.333 8

? p(k 2 ? 7.879) ? 0.005

故按 95%可靠性要求认为“成绩与班级有关” 19. 解:(1)由已知有 t ? OB ? EB ? OB ? CD ? 18 ? 10 ? 8

……………………12 分

? 圆 E 的方程为 x2 ? ( y ? 8)2 ? 100
令 y ? 0 得 A(?6, 0) 又 AD ? 14

……………………2 分

? OD ? 8

即 C (8,10) 在抛物线 y ? ax2 ? 18 上

?a ? ?

1 8

……………………4 分

(2)由题意得 CD ? 18 ? t

? 圆 E 的方程为 x2 ? ( y ? t )2 ? (18 ? t )2
令 y ? 0 得 x 2 ? 324 ? 36t ? A(? 324 ? 36t ,0)

?OA ? 6 9 ? t

6

由 18 ? t ? ?

1 2 x ? 18 得 x 2 ? 36t 36

?OD ? 6 t

又 AD ? AO ? OD ? 6 9 ? t ? 6 t

? f (t ) ? 6 9 ? t ? 6 t (0 ? t ? 8)
?1 1 9?t ? t ? ) ? 3? 2 9?t 2 t 9?t t
9 2
当0 ? t ?

……………………8 分

f ?(t ) ? 6(

令 f ?(t ) ? 0 得 t ?

9 时, f ?(t ) ? 0 2

f (t ) 递增



9 ? t ? 8 时, f ?(t ) ? 0 2 9 时 f (t )max ? 18 2 2

f (t ) 递减

……………………10 分

故t ?

……………………12 分

20.解:(1) f ?( x) ?

1 ?(2 x ? 1)( x ? 1) ? 2x ?1 ? x x
当 0 ? x ? 1 时 f ?( x) ? 0 ……………………4 分

当 x ? 1 时 f ?( x) ? 0

? f ( x) 的递增区间为 (0,1), 递减区间为 (1, ??)
(2)由方程 f ( x) ? x2 ? x ? 2 得 a ? 2 x 2 ? 2 ? ln x

1 令 g ( x) ? 2 x2 ? 2 ? ln x 则 g ?( x) ? 4 x ? ? x
当 x ? ( , ) 时, g ?( x) ? 0 g ( x) 递减

1 1 4( x ? )( x ? ) 2 2 x

w w w .x k b 1.c o m

1 1 e 2 1 2

当 x ? ( , e) 时, g ?( x) ? 0 g ( x) 递增

7

又 g ( ) ? ln 2 ?

1 2

3 2

1 2 g ( ) ? 2 ? 1 g (e) ? 2e2 ? 3 e e
……………………8 分

1 3 2 ? g (e) ? g ( ) ? ln 2 ? ? a ? 2 ? 1 e 2 e

(3)要证原不等式成立,只需证明 f ( x) ? e x ? 1成立 由(1)可知当 x ? 1 时, f ( x)max ? a ? 2 故 f ( x ) ? e x ? 1 即 f ( x) ? e x ? 1 ? 0 21.解:(1)直线 AB 的方程: y ? ?2 x ? 2 又 x ? 0 时, e x ? 1 ? e x ? 1 ? 2 ……………………12 分

? y ? ?2 x ? 2 ? 联立 ? x 2 消去 y 得 y2 ? 1 ? 2? ? m 4m 2
2 由 ? ? 4 ? 8(1 ? m2 ) ? 0 得 m ?

2 x 2 ? 2 x ? 1 ? m2 ? 0

1 又m ? 0 2

?m ?

2 2

……………………2 分

(2)由图可知当椭圆 C 在直线 AB 的左下方或 ?ABC 在椭圆内时,两者便无公共点 ①当椭圆 C 在直线 AB 的左下方时

? ? 4 ? 8(1 ? m2 ) ? 0 解得 0 ? m ?

2 2

…………… ………4 分

②当且当点 C (1, 2) 在椭圆内时, ?ABC 在椭圆内

?

1 4 ? ? 1 又 m ? 0 ?m ? 2 2 m 4m 2

综上所述,当 0 ? m

2 或 m ? 2 时,椭圆与 C 无公共点……………………6 分 2

8

(3)由(2)可知当

2 ? m ? 2 时,椭圆 C 与 ?ABC 相交于不同的两个点 M , N 2
y2 ? 1,此时椭圆恰好过点 A, B 4

又因为当 m ? 1 时,椭圆 C 方程为 x 2 ?

? ①当

2 ? m ? 1 时, M , N 在线段 A, B 上,此时 S ? S?ABC ? 1 ……………8 分 2

当且仅当 M , N 分别与 A, B 重合时等号成立 ②当 1 ? m ? 2 时,点 M , N 分别在线段 BC , AC 上易得 M ( m2 ? 1, 2) ,

N (1, 2 m2 ? 1) ? S ? S矩形OACB ? S?OBM ? S?OAN ? S?MNC
1 ? 2 ? m 2 ? 1 ? m 2 ? 1 ? (1 ? m 2 ? 1)(2 ? 2 m 2 ? 1) 2

? 2 ? 2 m2 ? 1 ? (1 ? m2 ? 1)2

……………………10 分

令 t ? m2 ?1 则 0 ? t ? 1 ? S ? ?t 2 ? 1 ? 1 综上可得 ?OMN 面积 S 的最大值为 1

w w w .x k b 1.c o m

……………………12 分

22. 解:(1) ? x ?

? ?

3 3? ?x? ? 2 2?

……………………5 分

(2) f ( x)min ? 1 ? a ? 1 解得 a ? ?2 或 a ? 0 23.解:(1) m ? 2

……………………10 分

……………………5 分

(2)由题意得 m ? x ? 2 ? x ? 3 恒成立 又 x ?2 ? x?3 ? 5

9

故所求 m 的范围是 m ? 5

……………………10 分

24.解:(1) ? x 0 ? x ? ?

? ?

4? 3?

……………………5 分

(2) a ? 8

……………………10 分

(如有不同解法,请酌情给分)

新课 标第 一 网

10


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