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沪教版高一上数学期中复习


2014 学年第一学期 数学 期中考试复习资料 §第一章 集合与命题 1.1 集合及其子集 1 确定性 ○ 2 互异性 ○ 3 无序性 1.集合中元素的性质:○ + 2.数集的表示:自然数集 N、正整数集 N 、整数集 Z、有理数集 Q、实数集 R (上标+表示 为正,下标-表示为负) 3.注意 (1)??A 空集是任何集合的子集; (2)子集传递性:A?B,B?C,则 A?C; (3)空集是任何非空集合的真子集; (4)连接元素与集合的符号有:?; (5)连接集合与集合的符号有:?、?(符号下半部分是≠) 、=、≠.例如,??A,?∈ {?}. n n 4.若 A 含有 n 个元素,则 A 的子集有 2 个,A 的非空子集有(2 -1)个,A 的非空真子集 有 (2n-2)个. 1.2 集合的运算 1.交集与并集:注意:“且”、“或”的描述. 交集:A∩ B={x|x∈ A 且 x∈ B};并集:A∪ B={x|x∈ A 或 x∈ B}. 2.补集: (1)相对于全集而言的,全集根据题意判断 1 Cu(A∪B)=CuA∩ 2 Cu(A∩ (2)摩根定理:○ CuB;○ B)=CuA∪ CuB. 3.借助文氏图解题:

4.注意:A∩ B=?,存在 A=?或 B=?的情况,不能忽视; 同样当 A?B 时,也要记得 A=?的情形;进行列举法的集合计算时还需检验集合的互异性. 5.计算后需检验,区间的两个端点注意能否取等号。 6.看清题意,题目中问到取值范围则用不等式、集合(区间)表示都可以,当题目中提示写 解集时,切记要写成集合(区间)的形式. 1.3 命题与充要条件 1.“或命题”的真假特点是“一真即真,要假全假”; “且命题”的真假特点是“一假即假,要真全真”. 2. 若原命题是“若 p 则 q”, 则逆命题为“若 q 则 p”; 否命题为“若 p 则 q ” ; 逆否命题为“若 q 则 p ”。 做题时可以画出集合间推出关系的箭头,清晰明了. 3.(1)互为逆否关系的命题是等价命题,即原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命 题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价; (2)在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时,要注意“非或即且,非且即或”; (3)要注意区别“否命题”与“命题的否定”:否命题要对命题的条件和结论都否定,而命题 的否定仅对命题的结论否定. 4.对于条件或结论是不等关系或否定式的命题,一般利用等价关系“ A ? B ? B ? A ”判断其真 假,这也是反证法的理论依据。 5.充要条件的题目,第一步关键是分清条件和结论(题目上划好) ,看看从条件能否推出结

论,从结论能否推出条件. 从集合角度解释,若 A ? B ,则 A 是 B 的充分条件;若 B ? A ,则 A 是 B 的必要条件;若 A=B,则 A 是 B 的充要条件。 §第二章 不等式 2.1 解不等式 总体思路:高次化低次、分式化整式、无理化有理(初中学的一次不等式及一次不等式组在 不详细讲了) 1、简单的高次不等式 这里讲的简单高次不等式一般是能够因式分解的 (1)步骤:① 、把未知数统一化到不等号一边且不等号另一边为 0 ② 、对代数式进行因式分解 ③ 、标根穿线 ④ 、在数轴上找到对应范围得出解集 (2)注意: ① 、因式分解的常用方法: a、分组分解法; b、添项拆项法(不建议使用) ; c、公式法 常用公式:平方和差、立方和差、完全平方; d、因式定理:内容:对于一个整式 f(x) ,若有 x=使得 f()=0,则原整式 f(x)必定有一 个因式(x-) 第四种方法一般建议尝试范围是[-5,5]的整数 ② 、标根穿线 a、表根时注意能否取等 b、穿线注意奇穿偶不穿 2、分式不等式 (1)步骤: ① 、移项通分,化为>0 的形式② 、分别对 f(x) 、g(x)进行因式分解 ③ 、标根穿线,得出解集 (2)注意 ① 、移项通分后分子分母中未知数次数最高的一项系数必须为正 ② 、因为>0 与 f(x)g(x)>0 等价,因此因式分解完了可以直接标根穿线 ③ 、若不等号是≤或≥,则表根时注意分母不为零 3、无理不等式 一般题目中出现的是二次根式 原不等式等价于不等式组: (1)被开方数大于等于 0(2)把根号都去掉后的不等式 注意:若不等号两边一边是根式一边是整式,先讨论整式的正负 例 1:解不等式:> 解:原不等式等价于不等式组: (后面过程省略) 例 2:解不等式:> 解:≥0

-1≤x≤1 (1)若<0 即 x<-2 时 不等式恒成立 (2)若 则 (后面过程略) 4、绝对值不等式 方法: (1) 、零点分段 (2) 、两边平方 例、|x+1|-|x-4|0 解法一: (1)若 x<-1 则(-x-1)-(4-x)0 (2)若-1≤x≤4 则(x+1)-(4-x)>0 (3)若 x>4 则(x+1)-(x-4)>0 (解不等式的过程略) 解法二:原不等式等价于|x+1||x-4| 则 (后面过程略) 2.2 含参数的不等式 1、含参数的一次不等式 解题方法:通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为 ax ? b 的形式;

b ; a b 若 a ? 0 ,则 x ? ; a 若 a ? 0 ,则当 b ? 0 时, x ? R ;当 b ? 0 时, x ?? 。
若 a ? 0 ,则 x ? 2、含参数的二次不等式 1 解题:注意数形结合,有利分析. ○ 2 2 设 a ? 0 , x , x 是方程 ax ? bx ? c ? 0 的两实根,且 x ? x ,则其解集如下表: ○ 1 2 1 2

??0
??0

ax2 ? bx ? c ? 0 ax2 ? bx ? c ? 0 或 {x | x ? x1 或 x ? x2 } {x | x ? x1

ax2 ? bx ? c ? 0

ax2 ? bx ? c ? 0

x ? x2 }
{x | x ? ?
R

{x | x1 ? x ? x2}

{x | x1 ? x ? x2}
{x | x ? ? b } 2a

??0

b } 2a

R R

? ?

?

2 3 作出大致函数图像:设一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两实根为 x , x ,且 ○ 1 2

x1 ? x 2 。
(1)方程两根都大于 k ( k ? x1 ? x2 )

??0 ? a?0 ? ? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ; ? ?( x1 ? k ) ? ( x 2 ? k ) ? 0 ? ? b ? ? (x ? k) ? (x ? k) ? 0 ? ?k ? 2 ? 1 2a
? ? f (k ) ? 0

(2)方程两根都小于 k ( x1 ? x2 ? k )

??0 ? a?0 ? ? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ; ? ?( x1 ? k ) ? ( x 2 ? k ) ? 0 ? ? b ? ? (x ? k) ? (x ? k) ? 0 ? ? k ? 2 ? 1 2a
? ? f (k ) ? 0

(3)方程一根小于 k ,一根大于 k ( x1 ? k ? x2 )

??0 ? ? a?0 ; ?? ?? f ( k ) ? 0 ( x ? k ) ? ( x ? k ) ? 0 ? 2 ? 1
(4)方程一根小于 k 1 ,一根大于 k 2 ( x1 ? k1 ? k 2 ? x2 )

? a?0 ? ? ? f ( k1 ) ? 0 ? f (k ) ? 0 2 ?
( 5 ) 方 程 两 根 在 区 间 ?k1 , k 2 ? 内 ( k1 ? x1 ? x2 ? k 2 )

?a ? 0 ?? ? b ? 4ac ? 0 ? ? b ? ?k1 ? ? ? k2 2a ? ? f (k1 ) ? 0 ? ? f (k 2 ) ? 0
(6)方程两根分别在区间 ?k1 , k 2 ? 和 ?k 3 , k 4 ?内

?a ? 0 ? f (k ) ? 0 1 ? ? ( k1 ? x1 ? k 2 ? k3 ? x2 ? k 4 ) ? ? f ( k 2 ) ? 0 ? f (k ) ? 0 3 ? ? f ( k 4) ? 0 ?
(7)方程在区间 ?k1 , k 2 ? 有且仅有一根(不含等根) ( k1 ? x1 (或 x2 ) ? k 2 )

a?0 ? ?? ? f (k1 ) ? f (k 2 ) ? 0

4 注意:含参数的二次不等式的二次项系数、是否有实根都需要讨论.根据解集求原不等式, ○

可以利用韦达定理. 3、含参数的无理不等式 解题方法:左右分别平方,转换成二次不等式.核心思想是无理变有理. 例:关于 x 的不等式,>ax+的解集是(4,m) ,求 a、m 的值. 2.3 不等式证明 1、方法: (1) 、作差比较 (2) 、作商比较 (3) 、基本不等式 2、基本不等式: (1) 、重要不等式: (2) 、基本不等式:

(a,b∈ ) (iff a=b 时等号成立)
3、柯西不等式 ()≥ (iff 时等号成立) §第三章 函数的基本性质 1、函数五要素:对应法则、自变量、应变量、定义域(D) 、值域(A) 2、函数定义:在 D 上的自变量 x,每一个 x 只对应一个应变量 y 3、判断函数是否一致:对应法则、自变量、应变量完全相同 4、函数的性质; (1)奇偶性:对于函数 y=f(x) ,任取一个 x∈ D,若使 f(x)= f(-x) ,则 y=f(x)为偶函数; 若-f(x)= f(-x) ,则 y=f(x)为奇函数 (2)单调性(增减性) :注意写出单调区间 关于单调性的证明,老师没有细讲,这里罗列一下证明方法 例:求证:函数 f(x)=在[0,+∞)上是减函数 证明:设任意∈ [0,+∞)且 则:f()- f()=)-() ==-() ∵ ∴ <0 ∵ ∈ [0,+∞)

∴ ∴ -()>0 即 f()> f() ∴ f(x)在[0,+∞)上是减函数


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