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第六届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题参考解答


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2 0 0 3 年  第 5期  数学 通报 

4 3  

第 六 届北 京 高 中数 学知 识 应 用 竞 赛 决赛 试 题 参 考解 答 

1 . ( 满分 2 o分 )田径 队的小 刚 同学 , 在 教练 指  导 下 进行 3 0 0 0米跑 的训练 , 训练要求是 : 起跑后 ,   匀加速 , 1 O秒达 到 每秒 5 米 的速 度 , 然 后匀 速跑 到  2分 ; 接 着 开 始 均匀 减 速 , 到 5分 时 已减 到 每 秒 4   米, 再保 持 匀速 跑 4 分时间 ; 在1 分之内 , 逐 渐 加速  达 到每 秒 5 米 的速 度 , 保 持 匀速 跑 ; 最后 2 0 0米 , 均  匀 加速 冲刺 , 使 撞线 时 的速 度 达到 每 秒 8米 .   请 按 照上 面 的要求  ( 1 )画出 小 刚跑 步 的时 间与 速 度 的 函数 图像  的示意 图 ;   ‘   ( 2 ) 写 出小 刚 进 行 长 跑 训 练 时 , 跑 步 速 度 关  于时 间 的函数 解析 式 .   解  ( 1 )  

2 7 ( ) 。 , 于是 , 为 了“ 能 够 充 分 利 用 现 有 的雨 布 ” , 圆  锥 的母 线 长应 为 正方 形 雨 布边 长 的一 半 . ( 以上不  计分 )   正方 形 雨 布 的 中心 应 盖 在 圆锥 的顶 点 上 . 设  锥 体 底 面半 径 为 r , 高为 h, 于是 
3  :   +r   ① 



O  

r  

3  

r 2   ^ /0  

圆 锥:   2  





专 7 r 2 r 4 ( 9 一 r   ) =  7 [ . 2 r 2   r 2 ( 1 8 — 2 r   )  

1   r r 2 6   ≤

. 

当且仅 当 r  = 1 8—2 r   , 即 r=√ 6时 体积 最 
大( 能够 充 分利 用 雨 布 ) .  

此时 h: ̄ / 9一r  :√ 3 , t a n  O P A :√ 2<  
。 



f   E   E o , 1 0   J  

所 以 圆锥 顶 角小 于 1 2 0  ̄ .  

1 5分 

5 , t   E( 1 0 , 1 2 0 ]  
+  一一 1 8 0   +   5   ,   t   E( 1 2 0   , 3 0 0 ] J  
— —

所 以 取 圆锥顶 角 等 于 1 2 0  ̄ , 此 时 r:√ 3 h , 由 
① 式求 得 r:   2 . 6 , h:   :1 . 5 .  









4 , t   E( 3 0 0 , 5 4 0 ]  

南一 5 , f   E( 5 4 0 , 6 0 0 ]  
5 , t   E( 6 0 0 , 6 3 7 ]  
3 9  
.  

f一

.   一   5 7  

4 3  

,   t   E( 6 3 7 ,   6 6 8   ]


2 . ( 满分 2 o分 ) 一 农 户 收获 土豆 时 , 把 土豆 一  堆一 堆 地 临 时 放 在 地 边 , 以待 运 出 . 为 了 防 止 雨  淋, 需要 用 雨 布遮 盖 . 雨布 为 正方 形 , 边 长是 6米 ,   如 果把 土豆 堆 近似 地 看作 是 圆 锥 形 , 为 了能 够 充  分利 用 现有 的雨 布 , 问 圆 锥底 面 直 径 和 高 分 别 是  多 少米 ( 精确到 0 . 1 米) ?   注  ① 自然 堆积 物 的堆 积 角 ( 圆锥 顶 角 ) 不  小于 1 2 0  ̄ ;  
1  

答  圆锥 底 面 直 径 约 为 5 . 2米 、 高 约为 1 . 5   米时 , 能 够充 分使 用 现 有雨 布 .   3 . ( 满分 2 0分 )目前 市 场 上 销 售 一 种 “ 雷 达  牌 ”蚊 香 , 每 盘蚊 香如 图 1 所示 , 图 中标有 a , b数  值( 单位 : 毫米) , 使 用 时拆 成两 片 , 如图 2 所示 . 经  过实 验 发 现 , 该 蚊 香 的燃 烧 速 度 约 为 每 小 时 1 2 0   毫米 . 请 用 近似 的方 法 回答 下 列 问题 .  

问  ( 1 )每 一 片 蚊 香 大 约 可 以 燃 烧 多 长 时  间;  

② 锥体 的体积 ={ ×底面积 ×高.  
解  圆锥 的侧 面展 开 图是 扇 形 , 当圆锥 顶角  不小 于 1 2 0  ̄ 时, 该 扇 形 的顶 角不 小 于 3 1 2 。 , 即大 于 

( 2 ) 根据市场需求请设计持续燃烧 时间分别  为4 小时 、 8 小时 、 1 0 t J  ̄ 时 的蚊香 , 蚊香 燃 烧 速 度不  变. 分 别计 算 出它 们 的 a值 .  

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2 0 0 3年  第 5期  数 学通 报  解  ( 1 ) 先把蚊香 盘近似地看成一个 圆盘 .   取 直 径为 。和 b的算 术 平均 值 , 则  直径 = ( 0+ b )÷2 = 1 1 2 . 5 ( , 腑 ) .   由图可 知 , 蚊 香 条 的宽 度 = ( o— b )÷2 =   6 . 5 ( , 腑 ) ,   则  蚊 香 盘 的 面 积 : 丌( 1 1 2 . 5 / 2 )  =   9 9 3 5 . 2 ( , 腑 )   ,   蚊香 条 的 总 长 度 = 9 9 3 5 . 2 ÷ 6 . 5  
1 5 2 8 . 5 ( , 碱 ) .  

实 际 比例 为 1 : 2 5 , 单 位 是米 .   若 在 街 区 内设 立 一 个 1 1 0巡 警 站 , 巡 警 出动  章 程上 明确规 定 从接 到 报警 到 到达 出事 地 点不 得  超 过 5分钟 . 在这里 , 我们规定 : 不 论 案 件 发 生 在  地 块 内什 么位 置 , 警 员 到达 出事 地 块 的边 缘 , 就算  到达 了 出事 地 点 . 于是 , 按 照 实 际操 作 , 我们 进 一 

步规定 : 在路上行使时间为出警时间, 出警时间不  得超 过 3 分钟 , 又 警 车 的车速 恒 为 6 0 千 米 /小时 .  
问 

困围   团

每一 片蚊 香 中有 两 盘等 长 的蚊 香 , 于是 可 知 :   每一 盘 蚊 香 的 长 度 约 为 7 6 4 m m. 它 大 约 可 燃 烧  6 . 3小时 .   ( 2 ) 利用 上 面 的结 果知 ,   ( 蚊香 盘 直 径 )  : 4×( 蚊香 盘 的面 积 ÷ 丌 )   4×( 燃烧 时 间 ×燃 烧 速 度  ×蚊香 条 的宽 度 ×2÷丌 )   o = 蚊香 盘 直径 +蚊香 条 的宽 度  依 次将 结果 可 填入 下 表 ( 第一 列 填入 后 , 可 利  用 比例 和 相似 关 系填 写后 面 的数 据 ) .  


燃 烧 时 间  蚊 香 长 度  蚊 香 片 的 面 积  蚊 香 片 的 直 径 
n  

4小 时  4 8 0 , 肌  8 9 . 1 , 肌 
9 5. 6, 肌  

8小 时 

1 0小 时 

9 6 0 , 矾  1 2 0 0 , 矾  1 2 6 . 0, 矾  1 4 0 . 9 , 矾 
1 3 2. 5, 肌   1 4 7. 4mm  

6 2 4 0 n u n 2   1 2 4 8 0 m m2  1 5 6 0 0 m m2  

( 1 )哪些 路 口不 能设 为巡 警 站 ?   ( 2 )哪 个路 口设 为巡 警 站 可 以使 出警 至 最 远  地块 时 间 达到 最短 ? 说 明理 由 .   ( 3 ) 若 地块 ( 4 ) 、 ㈦ 是 事 件 多发 区 , 巡 警 站设 在  哪里好 呢? 请你提 出“ 好 ”的 原则 , 并 根 据 你 的原  则给 出答 案 .   解  为 了叙 述 的 方 便 , 我 们 先 明确 一 些 概  念, 并 给 出一 些 记号 .   定义 1 路 口  , l , 之 间 的距离 就 是 所有 连接  两个 路 口的路 径 中最 短路 径 的长 度 , 记做 d  .   定义 2   路口   与地 块 ( m) 之 间 的距 离是  到( m) 的边 缘 上各 点 距离 的最 小值 . 记做 S x   .   因为通 过 任何 一 条路 到 达 地 块 的 任一 边 缘 ,   都是 先 到达 属 于这 一 边缘 的某 一 路 口 , 所 以  S x (  )= m i n {d x r   I  l , 是( m)的边 缘 上 的路 
口} .  

( 注: 由于计算 顺 序 和 丌 的取 值 不 同 , 会 有 计  算误 差 , 误 差 不超 过 5 % 也算 正 确 )  

我 们将 路 口   至最 远 地块 的距离 记做 S ( X) .  
即 

S ( X): ma x {S x (  )I   m =1 ,2 ,… ,1 7 } .   ( 1 ) 按规定 , 出警 时 间不 得 超 过 3分钟 , 又 警  车 的车 速恒 为 6 0 千米 / 小时 , 所 以, 从巡 警 站到 任  何 一个 地块 的距离 不 能 超过 3 0 0 0米 , 那 么在 图 中  不超过 3 0 0 0÷2 5 , 即 不超过 1 2 0 . 为 了简 便 , 我们 只  需 研究 图 中的标 数 , 下 面 涉 及 的距 离 都 是 计 算 标  数 的结果 . 我们 先 分析 几 个 “ 角 ”的情 况 , 所 谓 的  “ 角” 是 路 口 A、 D、 F、 L、 O、 M, 易见 , 如 果 这 些 路  口都 满 足要 求 , 那 么其 它路 口也 就 满 足要 求 ; 如果  它们 中的某 个路 口不满 足 要求 , 则 去掉 这 个 “ 角” ,   于是 出现 了新 的“ 角” , 再 考 察这 些 “ 角” .  
S( A)= S A ㈦ =d a L=3 0+1 5 +6 5 +2 0=  

4 . ( 满分 2 0分 ) 上 图是 北 京 市 宣 武 区 某 街 区  草图, 街 区内部 横 向从 上 到下 有平 行 的 5条路 , 从  左 到右有 平 行 的 7条路 . 路 口处都 标 有字 母 , 这 些  道路将 街 区分 成 1 7个 地 块 ( 1 ) , ( 2 ) , …,   . 路 的宽  度忽 略不 计 , 每 段 的长 度 可 以从 图 中得 知 . 例如 ,   D E =2 0 , 又 A G=3 0 , 所 以  = 1 0 . 图 中标 数 与 

1 3 0 , 不适合规定 ; 去掉它 , 出现新“ 角” B , G ;   S ( B)= s 口 ㈦=d s L= 1 3 0—1 5= :1 1 5 , 适合 
规定 ;   S ( G)= S o ( 4 1 =d c . o= 1 5+5 5+3 0= 1 0 0 , 适 

合规 定 ;  
S( M )= S M ( 4 1= d M o= 2 5+ 1 5+5 5+3 0=  

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4 5  

1 2 5 , 不适 合 规定 ; 去 掉它 , Ⅳ 成 为“ 角” .   同理 判 断其 它路 口 , 可得 , 只 有 A、   两个路  口不能设 巡 警 站 .   ( 2 )从 路 口出警 至最 远地 块 时 间 达 到 最 短 就  是距 离 最短 .   我们 考 虑 这样 一 条路 , 除 了这 条路 上 的路 口 ,   图中 的所有 路 口分 别 位 于 它 的两 侧 ( 这 条 路 可 能  是 一条 折线 ) . 为了方便起见 , 我 们 称 这 样 的一 条  路 为通 路 . 如果一条通 路上有 m 个路 口P   , P 2 ,   P m , 且 与每一 个 P   距 离最 远 的地 块 都 在 这 条  路 的一 侧 , 设 口=m i n { s ( P   i :1 , 2 ,… ,m} ,   则对 于 这条 路 另 一 侧 的 任 一 路 口 X, 存在 P   , 有  S ( X)= d x p+S (  ) ≥d x p+口 > 口 . 那么 , 至最 


次后 再 旋 转 刀具 , 如 何 切 割 这 块 石 材 可以保 证 切  割 的费用 最 小 ?   解法 : 令 L   ( i= 1 , 2 , 3 )分别 表 示原 料 长 方  体 的长 , 宽 和高 , z   ( i= 1 , 2 , 3 ) 分 别 表示 精 品部  分 长方 体 的 长 , 宽和高 . d   ( i= 1 , 2 , 3 ) 分别 表示  原料 石材 与 精 品部 分 的左 侧 面 , 前 面 和底 面 之 间  的距离 , D  :   f 广 d   (   =l , 2 , 3 ) 则分 别 表示 原  料石 材 与精 品部 分 的 右 侧 面 , 后 面 和 上 面 之 间 的  距离. 切割 的费用 为 口元 .   根 据题 意 可 知 , 整个 切 割 的过程 分 为六 次 , 即  切 割上 面 ( I) 、 切割底面 ( I I ) 、 切 割左 面 ( I l 1 ) 、 切  割右 面 ( I V) 、 切割前 面( V) 和切 割后面 ( V I ) . 这  六 次 切割 可 以按 照任 意 的顺 序 来 安 排 , 总共有 6   1   7 2 0种 不 同的 切 割 顺 序 . 由 于 每 一 次 切 割 都 使  远地 块距 离 最短 的路 口就 不可 能在 通 路 的 的这一  石 材 的形 状发 生 变 化 , 影 响 到 后 面需 要 切 割 的 面  侧. 于是 , 为 了尽 快 地 找 到 满 足 要 求 的路 口 , 我 们  积 , 因此 , 采 用枚 举 的算 法 在没 有 计算 机 的条 件下  在街 区 中央 附近 找 几 条 通 路 , 使 每一 条通 路 上 的  我 们 尝试 寻找规 律 .   每一 个路 口距 离 最 远 的地 块 都 在 这 条 路 的 一侧 , ,   是 困难 的 . 经分 析 , 不 难 确认 如下 事 实 : 在这 六 次有 顺序  这些 通路 围成一 条 封 闭 的 环 路 , 则 所 求 路 口就 在  的切 割 中 , 如 果 前 面几 次 ( 例 如 两 次 )切割 的方 式  这 条环 路 上或 在其 围成 的 区域 内 .   确定 了( 如 I 和 Ⅲ , 但 切 割 的顺 序 可 以任 意 ) , 则  在 图中, 过 日,H,Ⅳ的通 路 , 过 A, 日,C,D   经 过这 几 次 切 割 以后 石 材 的形 状 将 是 唯 一 确 定  的通路 , 过 D,E,, ,J ,O 的通 路 , 过 G,H,, ,   的, 与这 几 次切 割 的顺 序 无关 .   的通 路就 围成 了一条 上述 环 路 , B、  、 ,、 E、   首 先 , 讨 论 前 两 次 切 割 的顺 序 对 切 割 费 用 的  D、 C是 环路 上 的路 口.   对 经过 两 次 切 割后 剩 余 的 石 材选 定 一 种 切  经 计 算 和 比较 , S ( C )= S ( H)= S ( , ) , 且 是  影 响 . 割 方案 ( 即后 四种 切 割 的顺 序 ) . 并 记 后 面 这 四次  所 有路 口至最 远 地 块 距 离 的最 小 值 . 故 巡 警 站 设  切 割所 需 的费 用 为 A.   在 c、  、 , , 可 以 使 出 警 至 最 远 地 块 时 间 达 到 最  如 果前 两 次 切 割 的 面 是 相 互 平 行 的 ( 如 I、   短.   Ⅱ 组 合 , Ⅲ 、 Ⅳ 组 合 或 V、 Ⅵ 组 合 ) , 无 论 次 序 先  ( 3 ) 若 地块 ( 4 ) 、 ㈦ 是 事 件 多发 区 , 我们 规定 最  先次 切 割 不改 变 后次 切割 面 , 则 两次 切 割 的顺  好 的标 准 是 : 首 先 巡 警 站 到 这 两 处 的最 远 处 距 离  后 , 序 不影 响 整个 切 割 的费用 .   8分  最小 , 然 后再 要 求 巡 警 站 到 这 两 处 的距 离 之 和最  再 分 析 前 两 次 的切 割 面互 不 平 行 的情 况 , 切  小.     类似 前 面 的解 答 过程 可 得 , 巡警站设在路 口   割 的顺 序对 费 用 的影 响 . 不 妨设 这 两 次切 割 为切 割 I和 Ⅲ , 这 时有 两  B最 好 .   “ 先 I后 I l l ” ( 记 做 [I, Ⅲ] ) 和“ 先  ( 此 题 是开 放 的 , 如果 自己能 给 出合理 的“ 好”   种 切割 方 案 : Ⅲ 后 I” ( [ Ⅲ , I] ) . 它们 的切 割费 用 分别 为 :   的原 则 , 且 能按 此得 到 相应 的结 论 , 即为 正确 )   A 1 3   口 ( L 1   L 2+ L 2 L 3 - L 2 D 3 )+ A 和 A 3 l=   5 . ( 满分 2 o 分) 初赛时 曾经讨论过石材切割  的问题 , 这 是对 实 际 问题化 简后 的特殊 情 况 , 我们  口 ( L 2 L 3+L 1 L 2 - d 1 L 2 )+A,  




,  

进一步考虑如下 问题 ( 实际问题还要 比它复杂) .   对于 一块 长 × 宽 ×高 的 尺 寸 分 别 为 2 0× 1 4×   1 2 ( C r a , )  的 长方 体 的 原 料 石 材 , 需 要 切 割 下 来 的  精 品部 分相 应 的尺 寸 为 5×4×2 ( C / 7 / , ) 0 的小 长方  体, 且二 者 的左 侧 面 、 前 面 和底 面相 互 平 行 , 距离  分别为 6 c m, 7 c m, 2 c m. 切 割 的 加 工 费 用 为 3元  / c m   ( 不 区分 切 割 的 方 向 ) . 为操 作方便 , 每 次 切  割都 要把 石 材切 断 . 这 里 不要 求 同 向切 割 连 续 两 

于是 , A l 3 一A 3 l= 口   2 ( d l —D3 ) 。   这 表 明只有 当 d 】< D3 时才 有 A】 3< A   也  就 是说 , 当先 切上 面时所 切 下 的长 方 体 的厚 度 D   大于 先切 左 面时 所 切 下 的 长方 体 的厚 度 d  时先  I后 Ⅲ 的切 割费 用要 低 于 先 Ⅲ 后 I 【的切 割 费  用, 即在后 面 四 次 切 割 的 顺 序 相 同 的条 件 下 先 切  上面 时 的费用 要 低 于先切 左 面 的费 用 .  

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2 0 0 3 年  第 5期  数 学 通报 

理 清 概 念 
— —

防 微 杜 渐 

纠正一个广 为流传 的典 型错解 

张金 良   ( 浙江海盐元济高级中 学  3 1 4 3 0 0 )  
理 清 概念 是解 题 的第 一 步 , 概 念 不 清 往 往是  解 题失 误 之源 , 下 面 看 一 个 流 传 很 广 的典 型错 解  案例 .   案 例  已 知 两 个 复 数 集 合  =   { z   i   z: c o s 0+( 4一 m   ) i , m   E   R, 0   E   R) ,   Ⅳ :{ z   I   z = m +(   +s i n 0 ) i , m   E   R, 0   E   R) ,   且  n   N≠  , 求实 数  的取 值范 围 .   分析  这是 2 0 0 0年北 京 海 淀 区六 月 份 高考  模 拟试 题 , 也 是许 多 复 习资 料上 广 为流传 的题 目.   常 见 的解 法 就是模 拟 试 题参 考 答案 , 由 已知 , 集合  Ⅳ 中至少 有一 相等 元 素 , 于 是  c o s 0+( 4+m   ) i= m +(   +s i n 0 ) i , 由复数 相等  的定 义得 


时,   i  =  

所 以  <   <5 . 粗看 一 下 , 上述 解 

答 无 懈可 击 . 但 细 细一 看 , 却有 漏洞 , 集合  中 的  0 , m 与集 合 Ⅳ中 的0 , m是 相互 独 立 的 , 换言之 , 未  必相 等 , 所 以要 据  n Ⅳ ≠   所 得 到 的式子 只 能  是 o= c o s 0 1+( 4一 m   ) i   且 o= m 2+ (  +   s i n 0 2 ) i ( m1 , m 2 , 0 1 , 0 2   E   R) , 于 是  c o s 0 1=  

, n 2 , 4一m }=   +s i n 0 2 .   所以   =4一m } 一s i n 0 2 ≤5 , 即   E( 一∞,  
5 ] . 下 面我们 从 数形 结 合 的角度 再 作 深入 的分析 ,   很 明显 集合  在 复 平 面上 对应 点 是 实部 在 [ 一1 ,   1 ] , 虚部 在 ( 一∞, 4 ]的 区域 , 而集 合 Ⅳ 对 应 点 是  实部 属 于  , 虚部属于 [ 一1   d b  4   +  , 1 +  ] 的带 形 . 如图, 要  1 +  使  n   N≠   , 只要 一1+  
^  

{ 4 C O S — 0 m = 2 m :   + s i n   消 去 m 得   = 4 - c o s 2 0 一 s i n  
:s i n 2 0一s i n 0+3: ( s i n 0一  1 )  +  


≤ 4.  

另一 方 面 ,  

当s i n 0=一1 , 即 0=2 k - z—   7 I " ( K   E   Z) 时,  一 =  

所 以  ≤ 5 所 以第 一 个  解法 是 错 误 的 , 其 根 源 对 集  合 的概 念理 解 出现 了偏差 .  



1 +入  

『  

5 . 当s i n 0=告, 即0=k - z+( 一1 )   . 詈(  E   Z )  

类 似地 , 对 于 任 意 两 次 连 续 切 割 互 不 平 行 的切 割  面 的情 形 , 均 可得 到 与前 面 相 同 的结 论 .   综上所述 , 如果 我 们 称 每 次 所 切 割 下 的长 方  体 的厚 度 为切 割 量 , 则 使 切 割 费 用 最 小 的切 割 策  略应该 是 依 次 选 择 切 割 量 大 的首 先 切 割 就 可 以  了, 我 们 不妨 称 之为 大切 割 量 原理 .   按照 我 们 所 得 到 的大 切 割 量 原理 , 我 们 只需  计 算 出六 次 切 割 的切割 量 d   和D   ( i= 1 ,2 ,3 ) ,   将 它们 按 数 值 的大 小排 序 就可 以得到 最优 的切 割  顺序 . 此题中 ,  
d 】 = 6c m, d 2   7 c m, d 3 = 2c m, D】 = 9 c m,  

D2 = 3c m, D3 = 8 c m,  

排 序 可得 
D1= 9c m, D3= 8c m, d 2 = 7c m, dl= 6c m,   D2 = 3c m. d3 = 2c m.  

最优 的切 割顺 序 是 : Ⅳ( 切右 面) , I( 切 上  面) , V( 切前面) , Ⅲ( 切 左面 ) , Ⅵ( 切后面) , Ⅱ( 切 
下面) .  

所 需 的 费用 是 :   A =a [  2  3 +( L 1 一 D1 )  2 +( L 1 一 D1 ) ( L 3 - D 3 )   +( L 2 - d 2 ) ( L 3 - D 3 )+ 2 1 ( L 3 - D3 )+2 1   2 2 ]  


1 3 0 2 ( 元) .  


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