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2012学案与评测理数苏教版:第3单元 达标测评卷三)


达标测评卷三(导数及其应用)
班级:____________ 姓名:____________ 成绩:________ 时间:120 分钟 满分:160 分 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请把答案填写在题中横线上) f x0 -f x0+Δx 1. 在Δx 无限趋近于 0 时, 无限趋近于 1, 则 f′(x0)=________. Δx

1 3 2. f′(x)是 f(x)= x +2x+1 的导函数,则 f′(-1)的值是________. 3 2 3. (2010·全国Ⅱ改编)若曲线 y=x +ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x-y+1=0, 则 a=________,b=________. 3 2 4. (2011· 安徽两地三校联考)已知奇函数 f(x)=x +ax +bx+c 是定义在[-1,1]上的 增函数,则 b 的取值范围是________. 5. 做一个容积为 256 升的长方体无盖水箱,底面是正方形,则它的高为________时, 最省材料. 4 3 2 6. 已知使函数 y=x +ax - a 的导数为 0 的 x 值也使 y 值为 0,则常数 a 的值为 3 ________. 1? 1 ? 7. (2010·全国Ⅱ改编)若曲线 y=x- 在点?a,a- ?处的切线与两个坐标围成的三角 2? 2 ? 形的面积为 18,则 a=________. 8. 函数 f(x)=3ax-2a+1 在[-1,1]上存在一个零点,则 a 的取值范围是________. 3 2 9. 函数 f(x)=x +ax +3x-9,已知 f(x)在 x=-3 时取得极值,则 a=________. 4 2 10. 函数 y=x -2x +1 的单调增区间是________. 4 11. (2010· 辽宁改编)已知点 P 在曲线 y= x 上, α为曲线在点 P 处的切线的倾斜角, e +1 则α的取值范围是________. 2 12. 函数 f(x)=x -2ln x 的单调递减区间是________. 2 13. (2011·无锡调研)若曲线 f(x)=ax +ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取 值范围是________. 3 2 2 14. 已知函数 f(x)=kx +3(k-1)x -k +1(k>0)的单调递减区间是(0,4), 则 k 的值为 ________. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 3 2 15. (14 分)设函数 f(x)=x -3ax +3bx 的图象与直线 12x+y-1=0 相切于点(1,- 11). (1)求 a、b 的值; (2)讨论函数 f(x)的单调性.

16. (14 分)某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续 5 个月,预测上市初期 和后期会因供不应求使价格呈连续上涨势态, 而中期又将出现供大于求使价格连续下跌. 现 x 2 2 有三种价格模拟函数:①f(x)=p·q ;②f(x)=px +qx+1;③f(x)=x(x-q) +p.(以上 三式中 p、q 均为常数,且 q>1) (1)为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数,为什么? (2)若 f(0)=4,f(2)=6,求出所选函数 f(x)的解析式(注:函数的定义域是[0,5].其 中 x=0 表示 8 月 1 日,x=1 表示 9 月 1 日,…,以此类推); (3)为保证养殖户的经济收益,当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销,请你预测该海 鲜将在哪几个月份内价格下跌.

? 3 1? 2 17. (14 分)设函数 f(x)=ln(2x+3)+x ,求 f(x)在区间?- , ?上的最大值和最小 ? 4 4?
值.

18. (16 分)(2010·江西)设函数 f(x)=ln x+ln(2-x)+ax(a>0). (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间; 1 (2)若 f(x)在(0,1]上的最大值为 ,求 a 的值. 2

1 2 19. (16 分)已知函数 f(x)= x -ax+(a-1)·ln x,a>1. 2 (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)证明:若 a<5,则对任意 x1,x2∈(0,+≦),x1≠x2,有

f x1 -f x2 >-1. x1-x2

20. (16 分)已知函数 f(x)=(x +ax-2a +3a)·e (x∈R),其中 a∈R. (1)当 a=0 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率; 2 (2)当 a≠ 时,求函数 f(x)的单调区间与极值. 3

2

2

x

参考答案
1. -1 2. 3 3. 1 1 4. [0,+≦) 5. 0.4 m 6. 0 或±3 7. 64 ?1 ? 8. (-≦,-1]∪? ,+≦? 9. 5 ?5 ? ? 3π ? 10. (-1,0)∪(1,+≦) 11. ? ,π? ? 4 ? 1 12. (0,1] 13. (-≦,0) 14. 3 2 15. (1)f′(x)=3x -6ax+3b, f(1)=1-3a+3b=-11,① f′(1)=3-6a+3b=-12.② 解由①、②组成的关于 a,b 的方程组,得 a=1,b=-3. 3 2 2 (2)f(x)=x -3x -9x,f′(x)=3x -6x-9. 由 f′(x)=0 得 x1=-1,x2=3, ?f(x)在(-≦,-1]和[3,+≦)上是增函数,在(-1,3)上是减函数. 2 16. (1)根据题意,应选模拟函数 f(x)=x(x-q) +p. 2 2 下面给出分析:对此函数求导,得 f′(x)=3x -4qx+q ,令 f′(x)=0,得 x1=q,x2

? ? ? ? = ,由 q>1 知,f(x)在?-≦, ?和[q,+≦)上单调递增,在? ,q?上单调递减,符合题 3? 3 ? ?3 ? 意. (2)由 f(0)=4,f(2)=6,得
q q q
(其中 q=1 舍去). ? +p=6, ?q=3, 2 3 2 ?f(x)=x(x-3) +4,即 f(x)=x -6x +9x+4(0≤x≤5). 3 2 (3)海鲜价格下跌,则函数 f(x)=x -6x +9x+4 单调递减,对 f(x)求导,得 f′(x) 2 =3x -12x+9,则 f′(x)<0 得 1<x<3,即函数 f(x)在区间(1,3)上单调递减,于是,可 以预测这种海鲜将在 9、10 两个月份内价格下跌. 2 2 4x +6x+2 17. f′(x)= +2x= 2x+3 2x+3 2 2x+1 x+1 = . 2x+3 1 由 f′(x)=0 得 x1=- ,x2=-1, 2 3 1 ? ? ? 1 1? ?f(x)在?- ,- ?上为减函数,在?- , ?上为增函数, 2? ? 4 ? 2 4? 1 1 ? ? ?f(x)min=f?- ?=ln 2+ . 4 ? 2? ? 3? ?1? 又≧f?- ?-f? ? ? 4? ?4? 3 9 7 1 =ln + -ln - 2 16 2 16 49? 3 1 1? =ln + = ?1-ln ?<0, 9? 7 2 2? 7 ?1? 1 ?f(x)max=f? ?= +ln . 4 16 2 ? ? 1 1 18. 对函数求导得 f′(x)= - +a,定义域为(0,2). x 2-x
2

? ?p=4, ? ? ?2 2-q

解得?

? ?p=4,

1 1 -x +2 当 a=1 时,令 f′(x)=0 得 - +1=0 ? =0. x 2-x x 2-x 当 x∈(0, 2)时,f′(x)>0,(0, 2)为增区间; 当 x∈( 2,2)时,f′(x)<0,( 2,2)为减区间. 1 1 (2)f(x)在 x∈(0,1]上有最大值,则 f(x)必不为减函数,且 f′(x)= - +a>0, x 2-x 1 为单调递增区间,最大值在右端点取到,fmax=f(1)=a= . 2 19. (1)f(x)的定义域为(0,+≦), a-1 x2-ax+a-1 x-1 x+1-a f′(x)=x-a+ = = .

2

x

x

x

①若 a-1=1,即 a=2,则 f′(x)=

x-1 x

2

,故 f(x)在(0,+≦)上单调递增.

②若 a-1<1,而 a>1,故 1<a<2,则 当 x∈(a-1,1)时,f′(x)<0; 当 x∈(0,a-1)及 x∈(1,+≦)时,f′(x)>0, 故 f(x)在(a-1,1)上单调递减,在(0,a-1),(1,+≦)上单调递增. ③若 a-1>1,即 a>2,同理可得 f(x)在(1,a-1)上单调递减,在(0,1),(a-1,+ ≦)上单调递增. 1 2 (2)考虑函数 g(x)=f(x)+x= x -ax+(a-1)ln x+x, 2

a-1 2 -(a-1)=1-( a-1-1) . x 由于 1<a<5,故 g′(x)>0,即 g(x)在(0,+≦)单调增加,从而当 x1>x2>0 时,有 f x1 -f x2 g(x1)-g(x2)>0,即 f(x1)-f(x2)+x1-x2>0,故 >-1,当 0<x1<x2 时, x1-x2 f x1 -f x2 f x2 -f x1 有 = >-1. x1-x2 x2-x1 2 x 20. (1)当 a=0 时,f(x)=x e , 2 x f′(x)=(x +2x)e ,故 f′(1)=3e. 所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为 3e. 2 2 x (2)f′(x)=[x +(a+2)x-2a +4a]e . 令 f′(x)=0,解得 x=-2a 或 x=a-2.
则 g′(x)=x-(a-1)+

a-1 ≥2 x



2 由 a≠ 知,-2a≠a-2. 3 以下分两种情况讨论. 2 ①若 a> ,则-2a<a-2,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 3 (-≦, (-2a, (a-2, x -2a a-2 -2a) a-2) +≦) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 所以 f(x)在(-≦,-2a),(a-2,+≦)内是增函数,在(-2a,a-2)内是减函数. -2a 函数 f(x)在 x=-2a 处取得极大值 f(-2a),且 f(-2a)=3ae . a-2 函数 f(x)在 x=a-2 处取得极小值 f(a-2),且 f(a-2)=(4-3a)e . 2 ②若 a< ,则-2a>a-2,当 x 变化时, 3 f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (-≦, a-2 (a-2, -2a (-2a,

a-2) f′(x) f(x)


0 0 极大值 极小值 所以 f(x)在(-≦,a-2),(-2a,+≦)内是增函数,在(a-2,-2a)内是减函数. a-2 函数 f(x)在 x=a-2 处取得极大值 f(a-2),且 f(a-2)=(4-3a)e . -2a 函数 f(x)在 x=-2a 处取得极小值 f(-2a),且 f(-2a)=3ae .

-2a) -

+≦) +


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