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新课标高中数学必修一至必修五知识点总结可直接打印版


高中数学常用公式及结论大全(新课标) 必修 1 1、集合的含义与表示 一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。它具有三大特性:确定性、互异性、无序性。 集合的表示有列举法、描述法。 描述法格式为:{元素|元素的特征},例如 {x | 2、常用数集及其表示方法 (1)自然数集 N(又称非负整数集) :0、1、2、3、?? (3)整数集 Z:-2、-1、0、1、?? 3、元素与集合的关系:属于∈,不属于 ? 4、集合与集合的关系:子集、真子集、相等 (1)子集的概念 如果集合 A 中的每一个元素都是集合 B 中的元素,那么集合 A 叫做集合 B 的子集(如 图 1),记作 A ? (5)实数集 R:全体实数的集合 (2)正整数集 N*或 N+ :1、2、3、?? (4)有理数集 Q:包含分数、整数、有限小数等 (6)空集Ф :不含任何元素的集合

②偶次方根的被开方数大于或等于零; 如 : ③对数的底数大于0且不等于1; 如 : ④对数的真数大于0; 如 :

y ? 5 ? x , 则5 ? x ? 0

y ? loga ( x ? 2),则a ? 0且a ? 1

y ? loga ( x ? 2),则x ? 2 ? 0 y ? (m ? 1) x ,则 m ? 1 ? 0

x ? 5, 且x ? N}

⑤指数为0的底不能为零; 如 :

11、函数的奇偶性(在整个定义域内考虑) (1)奇函数满足 (2)偶函数满足

f ( ? x ) ? ? f ( x) , f ( ? x) ? f ( x) ,

奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于 y 轴对称; ②若奇函数在原点有定义,则

例如:a 是集合 A 的元素,就说 a 属于 A,记作 a∈A

注:①具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称;

f (0) ? 0

③根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

B 或 B ? A.

B A

或 (图 1)

A,B

12、函数的单调性(在定义域的某个区间内考虑) 当 x1 当 x1

若集合 P 中存在元素不是集合 Q 的元素,那么 P 不包含于 Q,记作 P (2)真子集的概念

?Q

? x 2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x) 在该区间上是增函数,图象从左到右上升;
? x 2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x) 在该区间上是减函数,图象从左到右下降。
f ( x) 在某区间上是增函数或减函数,那么说 f ( x) 在该区间具有单调性,该区间叫做单调(增/减)区间
2

集合 B 的真子集(如图 2). A ? ? B或B? ? A. (3)集合相等:若集合 A 中的元素与集合 B 中的元素完全相同则称集合 A 等于集合 B,记作 A=B.

若集合 A 是集合 B 的子集,且 B 中至少有一个元素不属于 A,那么集合 A 叫做

B A (图 2)

函数

A ? B, B ? A ? A ? B

13、一元二次方程 ax

? bx ? c ? 0 (a ? 0)

5、重要结论(1)传递性:若 A ?

B , B ? C ,则 A ? C
真子集.
n n n

(2)空Ф 集是任意集合的子集,是任意非空集合的 6、含有 n 个元素的集合,它的子集个数共有 2 子集有 2 –2 个. 7、集合的运算:交集、并集、补集
n

(1)求根公式: x1, 2 (3) ?

?

个;真子集有 2 –1 个;非空子集有 2 –1 个(即不计空集);非空的真

? b ? b 2 ? 4ac 2a

(2)判别式: ?

? b 2 ? 4ac

? 0 时方程有两个不等实根; ? ? 0 时方程有一个实根; ? ? 0 时方程无实根。

(1)一般地,由所有属于 A 又属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集. 记作 A∩B(读作"A 交 B") ,即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B} . (2)一般地,对于给定的两个集合 A,B 把它们所有的元素并在一起所组成的集合, 叫做 A,B 的并集.记作 A∪B(读作"A 并 B") ,即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B} . (3)若 A 是全集 U 的子集,由 U 中不属于 A 的元素构成的集合, 叫做 A 在 U 中的补集,记作 CU

A?B A?B

(4)根与系数的关系——韦达定理: x1

? x2 ? ?

b c , x1 ? x 2 ? a a
两根式

14、二次函数:一般式

y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) ;

y ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) (a ? 0)
y x 0
2

A , C U A ? ?x | x ? U, 且x ? A?
A ? ? 的情况。

CU A

A

b b 4ac ? b2 (1)顶点坐标为 (? (2)对称轴方程为:x= ? ; , ); 2a 2a 4a
(3)当 a

注:讨论集合的情况时,不要发遗忘了 8、映射观点下的函数概念

? 0 时,图象是开口向上的抛物线,在 x= ?

b 4ac ? b 处取得最小值 2a 4a

如果 A,B 都是非空的数集,那么 A 到 B 的映射 f:A→B 就叫做 A 到 B 的函数,记作 y=f(x),其中 x∈A,y∈B.原象 的集合 A 叫做函数 y=f(x)的定义域,象的集合 C(C ? B)叫做函数 y=f(x)的值域.函数符号 y=f(x)表示“y 是 x 的函数” , 有时简记作函数 f(x). 9、分段函数:在定义域的不同部分,有不同的对应法则的函数。如 当a

? 0 时,图象是开口向下的抛物线,在 x= ?

b 4ac ? b 2 处取得最大值 2a 4a

?2 x ? 1 y?? 2 ?? x ? 3

x?0 x?0

(4)二次函数图象与 x 轴的交点个数和判别式 ? 的关系:

? ? 0 时,有两个交点; ? ? 0 时,有一个交点(即顶点) ; ? ? 0 时,无交点。
15、函数的零点 使

10、求函数的定义域的原则: (解决任何函数问题,必须要考虑其定义域)

1 , 则x ? 1 ? 0 ①分式的分母不为零; 如 : y ? x ?1

f ( x) ? 0 的实数 x0 叫做函数的零点。例如 x0 ? ?1 是函数 f ( x) ? x 2 ? 1 的一个零点。

注:函数 y ? f ? x ? 有零点 16、函数零点的判定:

?

函数 y ? f ? x ? 的图象与 x 轴有交点

?

方程 f ? x ? ? 0 有实根 1

如果函数 y ? f ? x ? 在区间 ?a, b? 上的图象是连续不断的一条曲线, 并且有 区间 ?a, b ? 内有零点,即存在 c ?

f (a) ? f (b) ? 0 。那么,函数 y ? f ?x ? 在

(1) loga (MN ) ? loga (3) loga

M ? loga N (2) log a

M ? log a M ? log a N ; N

?a, b?, 使得f ?c? ? 0 。
?

M n ? n loga M (n ? R) (注意公式的逆用)
log a N ? log m N log m a
(a

17、分数指数幂 ( a ? 0, m, n ? N ,且 n
m 3

?1)
m n

25、对数的换底公式

? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ).

(1) a n

? n am

.如

x 3 ? x 2 ;(2) a

?

?

1
m an

?

1
n

a

m

. 如

1 x
3

?x

?

3 2

; (3 ) (

n

a )n ? a ;
推论① 或 log a b ?

(4)当 n 为奇数时,

n

an ? a ;

当 n 为偶数时,

n

? a, a ? 0 . a n ?| a |? ? ? a , a ? 0 ?

1 ; logb a

② log

am

bn ?

n log a b . m

26、对数函数

:其中, x 是自变量, a 叫做底数,定义域是 (0,??) y ? loga x ( a ? 0 ,且 a ? 1 )

18、有理指数幂的运算性质( a (1) a
r

? 0, r , s ? Q )
(2) (a
r s

a ?1
(3) (ab)
r

0 ? a ?1

? as ? ar ? s ;

) ? a rs ;

? ar br
0 ? a ?1
y x

y
图像

19、指数函数

, y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1)

a ?1
y
图 象

x 0 1 x 0 1

其中 x 是自变量, a 叫做底数, 定义域是 R

1 0
(1)定义域:R

定义域:(0, ∞)

1 0

x

性质

值域:R 过定点(1,0) 增函数 0<x<1 时,y<0 减函数 0<x<1 时,y>0 x>1 时,y<0

性 质

(2)值域: (0,+∞) (3)过定点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数 27、指数函数 28、幂函数 取值范围

x>1 时,y>0

20、若 a

b

? N ,则

叫做以

为底 N 的对数。记作: loga

N ? b ( a ? 0, a ? 1 , N ? 0 )

y ? a x 与对数函数 y ? loga x 互为反函数;它们图象关于直线 y ? x 对称.

其中, a 叫做对数的底数, N 叫做对数的真数。 注:指数式与对数式的互化公式: loga 21、对数的性质 (1)零和负数没有对数,即 loga (2)1 的对数等于 0,即

N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0)

1 ,其中 x 是自变量。要求掌握 ? ? ?1, ,1,2,3 这五种情况(如下图) y ? x? ( ? ? R ) 2 ? 29、幂函数 y ? x 的性质及图象变化规律:
(Ⅰ)所有幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1) ; (Ⅱ)当 ? ? 0 时,幂函数的图象都通过原点,并且在区间 [0,??) 上是增函数. (Ⅲ)当 ? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.

N 中 N ? 0;
底数的对数等于 1,即 loga ;

loga 1 ? 0

a ?1

3

3

2

y?x
2

y ? x2

y ? x3
2

22、常用对数 lg N :以 10 为底的对数叫做常用对数,记为: log10

N ? lg N N ? ln N
-2

1
1

1
1

y? x
-2

1
1

y ? x ?1
1
2

自然对数 ln N :以 e(e=2.71828?)为底的对数叫做自然对数,记为: loge 23、对数恒等式: a
loga N

-1

1

2

-1
-2

-2

1
-1

2

?N

-2

-3

24、对数的运算性质(a>0,a≠1,M>0,N>0) 2

必修 2 30、边长为 a 的等边三角形面积 S 正?

40、直线的斜率: (1) 过 A

?

3 2 a 4
1 S 底 h 球表面积公式: S球 ? 4?R 2 , 3
球体积公式: V

?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ? 两点的直线,斜率 k ?
? tan ?
(?

y 2 ? y1 x2 ? x1

, ( x1

? x2 )

31、柱体体积: V柱=S底 h ,锥体体积: V锥 = 32、四个公理: ① ② ③ ④

?

4 3 ?R 3

(2)已知倾斜角为 ? 的直线,斜率 k (3)曲线

? 900 )

y ? f ( x) 在点( x0 , y0 ) 处的切线,其斜率 k ? f ?( x0 )

如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。 过不在一条直线上的三点,有且仅有一个平面。 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且仅有一条过该点的公共直线。 平行于同一直线的两条直线平行(平行的传递性) 。

41、直线位置关系:已知两直线 l1

: y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 ,则
(2)当 k 1 不存在而 k 2 ? 0 时, l1 ? l 2 // l 2 ;

l1 // l 2 ? k1 ? k 2 且b1 ? b2     l1 ? l 2 ? k1 k 2 ? ?1
特殊情况: (1)当 k1 , k 2 都不存在时, l1

33、等角定理: 空间中如果两个角的两边对应平行,那么这两个角相等或互补(如图)

1

2

3

42、直线的五种方程 : ①点斜式 ②斜截式 ③两点式

? : (在同一平面内,没有公共点) 平行 ?共面直线? ?相交 34、两条直线的位置关系: ? : (在同一平面内,有一个公共点) ? ? 异面直线   : (不同在任何一个平面内的两条直线,没有公共点) ?
直线与平面的位置关系: (1)直线在平面上; (2)直线在平面外(包括直线与平面平行,直线与平面相交) 两个平面的位置关系: (1)两个平面平行; (2)两个平面相交 35、直线与平面平行: 定义 判定 性质 定义 判定 性质 一条直线与一个平面没有公共点,则这条直线与这个平面平行。 平面外一条直线与此平面内的一直线平行,则该直线与此平面平行。 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 两个平面没有公共点,则这两平面平行。 若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平 行。 ① ② 定义 判定 性质 如果两个平面平行,则其中一个面内的任一直线与另一个平面平行。 如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们交线平行。

④截距式 ⑤一般式

y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 ( x1 , y1 ) ,斜率为 k ). y ? kx ? b (直线 l 在 y 轴上的截距为 b ,斜率为 k ). y ? y1 x ? x1 (直线过两点 ( x1 , y1 ) 与 ( x2 , y 2 ) ). ? y2 ? y1 x2 ? x1 x y ? ? 1 ( a , b 分别是直线在 x 轴和 y 轴上的截距,均不为 0) a b
Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0);可化为斜截式: y ? ?
A C x? B B

43、 (1)平面上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 间的距离公式:|AB|= (2)空间两点

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2

36、平面与平面平行:

A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z 2 ) 距离公式|AB|= ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2
d? | Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2
(点 P( x0 , y0 ) ,直线 l :

(3)点到直线的距离

Ax ? By ? C ? 0 ).

37、直线与平面垂直: 如果一条直线与一个平面内的任一直线都垂直,则这条直线与这个平面垂直。 一条直线与一个平面内的两相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直。 ①垂直于同一平面的两条直线平行。 ②两平行直线中的一条与一个平面垂直,则另一条也与这个平面垂直。 38、平面与平面垂直: 定义 判定 性质 两个平行相交,如果它们所成的二面角是直二面角,则这两个平面垂直。 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

44、两条平行直线 Ax ? By ? C1 注:求直线 Ax ? By ? C

? 0 与 Ax ? By ? C 2 ? 0 间的距离公式: d ?

C1 ? C 2 A2 ? B 2

? 0 的平行线,可设平行线为 Ax ? By ? m ? 0 ,求出 m 即得。
A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ?A 2 x ? B2 y ? C2 ? 0

45、求两相交直线 A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 与 A 2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点:解方程组 ? ? 46、圆的方程: ①圆的标准方程 ②圆的一般方程 其中圆心为 ( ?

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 .

其中圆心为 ( a, b) ,半径为 r

39、三角形的五“心” (1) O 为 ?ABC 的外心(各边垂直平分线的交点).外心到三个顶点的距离相等 (2) O 为 ?ABC 的重心(各边中线的交点).重心将中线分成 2:1 的两段 (3) O 为 ?ABC 的垂心(各边高的交点). (4) O 为 ?ABC 的内心(各内角平分线的交点). 内心到三边的距离相等 (5) O 为 ?ABC 的 ? A 的旁心(各外角平分线的交点).

x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .
D E ,? ) ,半径为 r ? 2 2

D 2 ? E 2 ? 4F 2

,其中 D

2

? E 2 ? 4 F >0

47、直线 Ax ? By ? C

? 0 与圆的 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 位置关系 Aa ? Bb ? C 其中 d 是圆心到直线的距离,且 d ? A2 ? B 2

3

(1) d (2) d

? r ? 相离 ? ? ? 0 ; ? r ? 相切 ? ? ? 0 ;
(3) d

平均数: x ?

1 ?x1 ? x2 ? ? ? xn ? n

方差:

1 s 2 = [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ( x3 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] n

? r ? 相交 ? ? ? 0 .

标准差: s ?

2 2 2 1? x ? x ? x2 ? x ? ? ? xn ? x ? ? ? 1 ? n?

?

? ?

?

?

?

注:通过标准差或方差可以判断一组数据的分散程度;其

48、直线与圆相交于 (2) |

2 2 (1) | AB |? 2 r ? d A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 两点,求弦 AB 长度的公式:

值越小,数据越集中;其值越大,数据越分散。

AB |? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2

(结合韦达定理使用) ,其中 k 是直线的斜率

回归直线方程:

? ? bx ? a ,其中 b ? y

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y
,a

49、两个圆的位置关系:设两圆的圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, 1) d 3)

O1O2 ? d
55、事件的分类:

?x
i ?1

? y ? bx

2 i

? nx

2

? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线;

2) d

? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线;

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线;
? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线

4) d

? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线;

(1)必然事件:必然事件是每次试验都一定出现的事件。P(必然事件)=1 (2)不可能事件:任何一次试验都不可能出现的事件称为不可能事件。P(不可能事件)=0 (3)随机事件:随机试验的每一种结果或随机现象的每一种表现称作随机事件,简称为事件 基本事件:一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上事件,称作基本事件。 56、在 n 次重复实验中,事件 A 发生的次数为 m,则事件 A 发生的频率为 m/n,当 n 很大时,m 总是在某个常数值附近摆 动,就把这个常数叫做事件 A 的概率。 (概率范围: 0 ? P?A ? ? 1 ) 57、互斥事件概念:在一次随机事件中,不可能同时发生的两个事件,叫做互斥事件(如图 1) 。 如果事件 A、B 是互斥事件,则 P(A+B)=P(A)+P(B) 58、对立事件(如图 2) :指两个事件不可能同时发生,但必有一个发生。 对立事件性质:P(A)+P( A )=1,其中 A 表示事件 A 的对立事件。 59、古典概型是最简单的随机试验模型,古典概型有两个特征: (1)基本事件个数是有限的; (2)各基本事件的出现是等可能的,即它们发生的概率相同. 60 、设一试验有 n 个等可能的基本事件,而事件 A 恰包含其中的 m 个基本事件,则事件 A 的概率 P(A) 公式为

5) 0 ? d

必修③公式表 50、算法:是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限 步之内完成. 51、程序框图及结构 程序框 名称 起止框 输入、 输出 框 处理框 判断框 功能 表示一个算法的起始和结束 表示一个算法输入和输出的信息

赋值、计算 判断某一条件是否成立,成立时在出 口处标明“是”或“Y” ;不成立时标 明“否”或“N”

52、算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。 53、三种抽样方法的区别与联系 类别 简单随机抽样 分层 抽样 抽取过程中 每个个体被抽 取的概率相等 共同点 各自特点 从总体中逐个抽取 将总体分成几层进 行抽取 将总体平均分成几 部分,按事先确定的 规则分别在各部分抽 取 各层抽样可采用简 单随机抽样或系统 抽样 在起始部分抽样时 采用简单随机抽样 相互联系 适用范围 总体中个体数较少 总体有差异明显的几部分 组成

m 运用互斥事件的概率加法公式时,首先要判断它们是否互斥,再由随机事件的概率公式分别求它们的概率,然后计算。 在 n
计算某些事件的概率较复杂时,可转而先示对立事件的概率。 61、几何概型的概率公式: P?A? ?

P?A? ?

A包含的基本事件的个数 = 基本事件的总数

构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果构成的 区域长度(面积或体积)
必修④公式表

62、终边相同角构成的集合: ?? | ? ? ? ? 2k? , k ? Z ? 63、弧度计算公式: ? ? 64、扇形面积公式: S

r
)

l r

l

系统抽样

总体中的个体较多

?

65、三角函数的定义:已知 P?x, y ? 是 ? 的终边上除原点外的任一点 则 sin ?

1 1 lr ? ? ? r 2 ( ? 为弧度) 2 2
,其中 r
2

54、 (1)频率分布直方图(注意其纵坐标是“频率/组距)

? 极差 ? 频数 组数 ? ? , ? , 频率 ? ? 组距 ? 样本容量

?

y x y , cos ? ? , tan ? ? r r x

? x2 ? y2

P(x,y) r y )? x

66、三角函数值的符号

小矩形面积 ? 组距 ?
(2)数字特征

频率 ? 频率 。 组距

+

+


v —

+ + cos?



+

众数:一组数据中,出现次数最多的数。

中位数:一组数从小到大排列,最中间的那个数(若最中间有两个数,则取其平均数) 。

— sin ? —

+tan ? —
4

67、特殊角的三角函数值:

74、正弦定理:在一个三角形中,各边与对应角正弦的比相等。

?
sin ?

0

? 6
1 2

? 4
2 2

? 3
3 2
1 2

? 2
1

2? 3

3? 4

5? 6

?
0

3? 2
-1

a b c ? ? ? 2 R (R 是三角形外接圆半径) sin A sin B sinC
75、余弦定理:

0

3 2
1 2
-

2 2

1 2
-

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B,
推论

cos ?

1

3 2
3 3
2

2 2
1

0

2 2
-1

3 2
3 3

-1

0

c ? a ? b ? 2ab cosC.
2 2 2

b2 ? c2 ? a2 , 2bc c2 ? a2 ? b2 cos B? , 2ca a2 ? b2 ? c2 cos C? . 2ab cos A?

tan ?

0

3

不存 在

3
sin ? cos ?

-

0

不存 在 76、三角形的面积公式: S ?ABC

?

1 1 1 ab sin C ? ac sin B ? bc sin A. 2 2 2
y ? cos x
y -? 0 ? 2 -1 2 1 x

68、同角三角函数的关系: sin 69、和角与差角公式:

? ? cos 2 ? ? 1, tan ? ?

77、三角函数的图象与性质和性质 三角函数

y ? sin x
y 1 0 ? -1 2

y ? tan x
y x

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;
tan(? ? ? ) ? tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

sin 2? ? 2 sin ? cos ?

二倍角公式:

图象
2 2 2

cos2? ? cos ? ? sin ? ? 1 ? 2 sin ? ? 2 cos ? ? 1
2

-?
定义域 值域 最大值

?

2?

x

?

2?

tan 2? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

(??,??)
[-1,1]

(??,??)
[-1,1]

? 70、诱导公式 记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限;其中,奇偶是指 的个数,符号参考第 66 条. 2 sin ?? ? 2k? ? ? sin ? sin?? ? ? ? ? ? sin ? sin?? ? ? ? ? sin ? sin?? ? ? ? ? sin ? cos?? ? 2k? ? ? cos? cos?? ? ? ? ? ? cos? cos?? ? ? ? cos? cos?? ? ? ? ? ? cos? tan?? ? 2k? ? ? tan? tan?? ? ? ? ? tan? tan?? ? ? ? ? tan? tan?? ? ? ? ? ? tan? ? ? ? ? sin( ? ? ) ? cos ? cos( ? ? ) ? sin ? sin( ? ? ) ? cos ? cos( ? ? ) ? ? sin ? 2 2 2 2
71 、 辅 助 角 公 式 :

3? -? 0 ? 2 2 2 ? ? ( k? ? , k? ? ) 2 2 (??,??)

x?

?
2

? 2k?



ymax ? 1

x ? 2k?



ymax ? 1


x??
最小值

?
2

? 2k? ,

x ? ? ? 2k?

y min? ?1
周期 奇偶性 在 [? 单调性

ymin ? ?1
2?
偶函数

2?
奇函数

?
奇函数 在 (?

a sin ? ? b cos ?

=

a 2 ? b2 sin(? ? ? ) ( 辅 助 角 ?

所在象限与点

( a, b) 的 象 限 相 同 , 且

b tan ? ? a

).主要在求周期、单调性、最值时运用。
2

如 y ? 3 sin x ? cos x ? 2 sin( x ?

?
6

?
2

)

? 2k? ,

?
2

? 2k? ]

在 [??

? 2k? ,2k? ]

?
2

? k? ,

?
2

? 2k? )

1 ? cos? ? 1 ? cos? 72、半角公式(降幂公式): sin , cos2 ? ? 2 2 2 2

?

上是增函数 在[

上是增函数

上都是增函数

k ?Z

?
2

? 2k? ,

y ? A sin(?x ? ? ) 的性质( A ? 0, ? ? 0 ) 1 2? (1)最小正周期 T ? ;振幅为 A;频率 f ? ;相位: ?x ? ? ;初相: ? T ?
73、三角函数 对称轴:由 ?x ? ?

3? ? 2k? ] 2

在 [2k? , ? 上是减函数

? 2k? ]

上是减函数 ;值域: [? A, A] ; 78、向量的三角形法则:

?

?

79、向量的平行四边形法则:

(2)图象平移: x 左加右减、

2

? k?

解得 x ;对称中心:由 ?x ? ?

? k? 解得 x 组成的点 ( x,0)

a+b a

y 上加下减。

b

b a

b-a

b a

a+b

y ? A sin[? ( x ? 1) ? ? ] 向下平移 3 个单位,解析式变为 y ? A sin(?x ? ? ) ? 3 ? (3)函数 y ? tan(? x ? ? ) 的最小正周期 T ? . ?
例如:向左平移 1 个单位,解析式变为

80、平面向量的坐标运算:设向量 a= ( x1 , y1 ) ,向量 b= ( x2 , y2 ) (1)加法 a+b= ( x1 ? x2 , y1 ?

y2 ) .(2)减法 a-b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) .
5

(3)数乘 ? a= ? ( x1 , y1 )

? (?x1 , ?y1 ) ? y1 y2 ,其中 ? 是这两个向量的夹角

④ a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;⑤ a ? b, c ? d ⑥a ⑧a

?a?c ?b?d ;

(4)数量积 a·b=|a||b|cosθ = x1 x2

? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;⑦ a ? b ? 0 ? an ? bn ? n ??, n ? 1? ;
? b ? 0 ? n a ? n b ? n ? ? , n ? 1? .
2

(5)已知两点 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则向量 81、向量 a= ( x,

??? ? ??? ? ??? ? AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) .
2

y ) 的模:|a|= (a) 2 ? a ? a ? x 2 ? y 2 ,即 | a | 2 ? a ? ? x1 x2 ? y1 y2 a? b 82、两向量的夹角公式 cos ? ? ? ? ? 2 2 a b x12 ? y12 ? x2 ? y2
83、向量的平行与垂直 (b ? 0) (1)a||b ? b=λ a a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 )

88、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系: 判别式 ? ? b

? 4ac

??0

??0

??0

二次函数

y ? ax2 ? bx ? c

? a ? 0? 的图象
有两个相异实数根 一元二次方程 ax
2

? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 .

(2)a ? b

?

a·b=0

? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

必修⑤公式表 84、数列前 n 项和与通项公式的关系:

? a ? 0? 的根

? bx ? c ? 0

?b ? ? x1,2 ? 2a ? x1 ? x2 ?

有两个相等实数根

x1 ? x2 ? ?

b 2a

没有实数根

,n ? 1; ?S1 ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ). an ? ? ?S n ? S n ?1 , n ? 2.
85、等差、等比数列公式对比

n? N?
定义式 通项公式及推 广公式 中项公式

等差数列

等比数列

an ? an?1 ? d

an (q a n ?1 ? q

? 0)

an ? a1 ? ?n ? 1?d an ? am ? ?n ? m ?d
若 a, A, b 成等差,则 A ? 若m?n ?

an ? a1q n ?1 an ? am q n ? m
a?b 2
若 a, G, b 成等比,则 G 若m?n ?
2

ax2 ? bx ? c ? 0 ? ? ? x x1 ? x ? x2 ? ? a ? 0? 89、线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线性约束条件. 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式. 线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式.
线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 可行解:满足线性约束条件的解

一元二次不 等式的解集

ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0?

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

? ab

? x, y ? .

可行域:所有可行解组成的集合.

最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解.

p ? q ? 2r ,则

p ? q ? 2r ,则

运算性质

90、设 a 、 b 是两个正数,则 91、均值不等式定理:

an ? am ? a p ? aq ? 2ar
n?a1 ? a n ? 2 n?n ? 1? ? na1 ? d 2 Sn ?

an am ? ap aq ? ar2
q ? 1, ?na1 ? n S n ? ? a1 1-q a1 ? an q ? 1 ? q ? 1 ? q ,q ? 1. ?

a?b 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、 b 的几何平均数. 2 a?b ? ab . 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即 2

前 n 项和公式

?

?

92、常用的基本不等式: ①a
2

? b2 ? 2ab ? a, b ? R? ;② ab ?
2

a 2 ? b2 ? a, b ? R ? ; 2
2

一个性质 86、 a ? b

Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m 成等差数列

Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m 成等比数列

? 0 ? a ? b ;a ?b ? 0 ? a ? b ;a ?b ? 0 ? a ? b. ? b ? b ? a ;② a ? b, b ? c ? a ? c ;③ a ? b ? a ? c ? b ? c ;

a 2 ? b2 ? a ? b ? ? a?b ? ③ ab ? ? ?? ? ? a ? 0, b ? 0? ;④ ? ? a, b ? R ? . 2 ? 2 ? ? 2 ? 93、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有
s2 . 4 ⑵若 xy ? p (积为定值) ,则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p .
⑴若 x ?

比较两个数的大小可以用相减法;相除法;平方法;开方法;倒数法等等。 87、不等式的性质: ① a

y ? s (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值

6


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